中考数学培优（含解析）之实数

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1、实数聚焦考点温习理解1. 实数： 和 统称为实数有理数分为 和 ，无理数是指 2. 数轴：规定了 、 、 的直线称为数轴。实数和数轴上的点是一一对应的关系。3. 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相 反数是零，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 4. 绝对值：一个数的绝对值就是表示 ，| a|0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若 a0，则|a|= ；若 a0，则|a |= 。正数大于零，负数小 于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。5. 倒数：如果 a 与 b 互为倒数，则有 ，反之亦成立倒数等于本

2、身的数是 ， 没有倒数6. 实数大小比较：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小除此之外还有以下的几种常用方法；数轴比较、求差比较、求商比较法、绝对值比较法、平方法来源:ZXXK7. 科学记数法：把一个数写成a10 n 的形式，其中 ，n 是 ，这种记数法叫做科学记数法通过测量和估计得到的数字是 ，不用测量和估计得到的数字是 8. 平方根：如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根。一个正数有 平方根，他们互为相反数；零的平方根是 ； 没有平方根。9. 算术平方根： 叫做 a 的算术平方根，记作 。正数和零的算术平方 根都只有 ，零的算术平方根是 。

3、10. 立方根：如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫 a 的立方根。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意： ，这33a说明三次根号内的负号可以移到根号外面。11. 实数的运算：实数范围内混合运算顺序是先 ，然后 ，最后 。同级运算从左到右依次进行，有括号的先算括号里面的。名师点睛典例分类考向一：会用正负数表示相反意义的量典例 1：如果水位上升 3 米记作+3 米,那么水位下降 5 米记作( )米A+3 B3 C+5 D -5考向二：相反数典例 2：(2018永州)2018 的相反数是( )A2018 B2018 C D 20182018考向三：倒数典例

4、3：（2018 孝感） 的倒数是（ ）14A4 B-4 C D1614考向四：绝对值典例 4：（2017嘉兴）-2 的绝对值为（ ）A B C D考向五：实数大小比较 典 例 5：（2017北京）实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） Aa -4 B bd0 C|a |d | Db+c0考向六：实数分类 典例 6：（2018菏泽）下列各数： 2，0， ，0.020020002， ，其中无理数的319个数是（ ）A4 B3 C2 D1考向七：科学记数法来源:ZXXK典例 7：（2018 广东）据有关部门统计， 2018 年“五一小长假 ”期间，广东各大景点

5、共接待游客约 14 420 000 人次，将 14 420 000 用科学记数法表示为 （ ） 来源:Z+xx+k.ComA B C D71.4207.142081.4208.1420考向八：近似数与准确数典例 8：（2017宜昌）5 月 18 日，新华社电讯：我国利用世界唯一的“蓝鲸 1号” ，在南海实现了可燃冰（即天然气水合物）的安全可控开采据介绍， “蓝鲸 1 号”拥有 27354 台设备，约 40 000 根管路，约 50 000 个 MCC 报验点，电缆拉放长度估计 1200 千米其中准确数是（ ）A 27354 B 40 000 C 50 000 D 1200 考向九：实数的运算典

6、例 9:（2017 达州）计算：2017 0|1 |+（ ） 1+2cos45 考向十：规律探索典例 10：（2014邵阳）如图， A 点的初始位置位于数轴上的原点，现对 A 点做如下移动：第 1 次从原点向右移动 1 个单位长度至 B 点，第 2 次从 B 点向左移动 3 个单位长度至 C 点，第 3 次从 C 点向右移动 6 个单位长度至 D 点，第 4 次从 D 点向左移动 9 个单位长度至 E 点，依此类推，这样至少移动 次后该点到原点的距离不小于 41课时作业能力提升一、单选题（共 7 题，每题 4 分；共 28 分）1.(2018临沂)自 2013 年 10 月习近平总书记提出“精

7、准扶贫 ”的重要思想以来，各地积极推进精准扶贫.加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，仅 2017 年我国减少的贫困人口就接近 1100 万人， 将 1100 万人用科学记数法表示为( )A1.110 3 人 B1.110 7 人 C1.110 8 人 D1.110 6 人2. （2018河北)若 22nn，则 n=（ ） A.1 B.2 C.0 D.143. (2018乐山) 如图，在数轴上点 A 表示的数为-1，点 B 表示的数为 4，C 是点 B 关于点A 的对称点，则点 C 表示的数为 A.3 B.4 C.-5 D.-64( 2016自 贡 )若 +b24 b+4=0，则 ab 的值等

8、于（ ）A2 B0 C1 D25 （2017滨州） （2017 山东滨州）下列计算：（1）( )22， （2 ） 2()2 ， （3）(23)212 ， （ 4） 23)()1，其中结果正确的个数 为A1 B2 C3 D46 (2018福建)已知 m=，则以下对 m 的估算正确的是（ ）A2 m3 B3m4 C4 m5 D5m67 （ 2018北京）实数 a， b， c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 c b a 10 32 1 4234A |4aB cbC aD 0ac二、填空题（共 3 题，每题 4 分；共 12 分）8 （2018 威海） 用若干个形状，大 小完全相同的矩形

9、纸片围成正方形，4 个矩形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为 12；8 个矩形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为 8；12 个矩形纸片围成如图 所示的正方形，其阴影部分的面积为_来源:9. （2018 潍坊）用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下 ，把显示结果输入右侧的程序中，则输出的结果是 输入显示结果 3 2 是 否 )23(输出 )(大于 1 10 （2017天水）定义一种新的运算：x*y= ，如：3*1= = ，则（2*3 ）*2=_ 三、解答题（共 6 题，每题 10 分；共 60 分） 11. （2018 宿迁）计算： 60sin23)7()2012.(201

10、8孝感）计算（3） 2|4| 124cos30 .13.（ 2018曲靖）计算（2）0(3.4) 37114已知在纸面上有一数轴（如图） ，折叠纸面（1 ）若 1 表示的点与1 表示的点重合，则 2 表示的点与数 表示的点重合；（2 ）若2 表示的点与 4 表示的点重合，回答以下问题：7 表示的点与数 表示的点重合；若数轴上 A、B 两点之间的距离为 17（A 在 B 的左侧） ，且 A、B 两点经折叠后重合，求A、B 两点表示的数是多少？15若约定：a 是不为 1 的有理数，我们把 称为 a 的差倒数如：2 的差倒数是=1，1 的差倒数是 = 已知 a1= ，a 2 是 a1 的差倒数，a

11、3 是 a2 的差倒数，a 4 是 a3 的差倒数，依此类推，试求 a201316.如图，动点 A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点 B 也从原点出发向数轴正方向运动，运动到 3 秒钟时，两点相距 15 个单位长度已知动点 A、B 的运动速度比之是3： 2（速度单位：1 个单位长度/秒） （1 ）求两个动点运动的速度；（2 ） A、B 两点运动到 3 秒时停止运动，请在数轴上标出此时 A、B 两点的位置；（3 ）若 A、B 两点分别从（2 ）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动的速度不变，运动的方向不限，问：经过几秒钟，A、B 两点之间相距 4 个单位长度？实数聚焦考点温习理解12

12、. 实数：有理数和无理数统称为实数有理数分为整 数和分数，无理数是指无限不循环小数13. 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。实数 和数 轴上的点是一一对应的关系。14. 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有a+b=015. 绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，| a|0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若 a0，则|a|=a；若 a0，则| a|=-a。正数大于零，负数小 于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。16. 倒数：

13、如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立倒数等于本身的数是 1 和-1，零没有倒数17. 实数大小比较：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小除此之外还有以下的几种常用方法；数轴比较、求差比较、求商比较法、绝对值比较法、平方法18. 科学记数法：把一个数写成a10 n 的形式，其中 1a10，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法通过测量和估计得到的数字是近似数，不用测量和估计得到的数字是准确数19. 平方根：如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根。一个正数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。20. 算术平方

14、根：正数 a 的正的平方根 叫做 a 的算术平方根，记作 。正数和零的算术平方 根都只有一个，零的算术平方根是 零。21. 立方根：如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫 a 的立方根。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注 意： 33a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。22. 实数的运算：实数范围内混合运算顺序是先乘方、开方，然后乘除，最后加减。同级运算从左到右依次进行，有括号的先算括 号里面的。名 师点睛典例分类考向一：会用正负数表示相反意义的量典例 1：如果水位上升 3 米记作+3 米,那么水位下降 5 米记作( )米A+3 B3 C+5 D -

15、5【分析】根据正负数意义即可得答案【解答】解：水位上升和下降是一对相反意义的量,水位上升 3 米记作+3 米,那么水位下降5 米记作-5 米故答案为 D考向二：相反数典例 2：(2018永州)2018 的相反数是( )A2018 B2018 C 2018 D 2018考向三：倒数典例 3：（2018 孝感） 14的倒数是（ ）A4 B-4 C 14 D16【分析】利用倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数 0 没有倒数;需要注意的是负数的倒数还是负数【解答】解：1)4(，- 的倒数是4，故答案为 A考向四：绝对值典例 4：（2017嘉兴）-2 的绝对值为（ ）A B C D

16、【分析】-2 是负数，它的绝对值是它的相反数【解答】解：-2 的绝对值是|-2|=2，故选 A考向五：实数大小比较 典例 5：（2017北京）实数 a，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） Aa -4 B bd0 C|a |d | Db+c 0【分析】根据数轴上点的位置关系，可得 a，b，c，d 大小，再根据有理数运算，绝对值性质可得答案【解答】解：由数轴可知：a-4b0c1 d，故答案选 C 考向六：实数分类 典例 6：（2018菏泽）下列各数： 2，0， 31，0.020020002， 9，其中无理数的个数是（ ）A4 B3 C2 D1考向七：科学记数法

17、典例 7：（2018 广东）据有关部门统计， 2018 年“五一小长假 ”期间，广东各大景点共接待游客约 14 420 000 人次，将 14 420 000 用科学记数法表示为 （ ）A 71.420 B 7.1420 C 81.420 D 8.1420【分析】科学计数法的定义：将一个数字表示成 a10n 的形式；其中 1|a|10，n 为整数，由此可得出正确答案 【解答】解： 714 201.420，故答案 A考向八：近似数与准确数典例 8：（2017宜昌）5 月 18 日，新华社电讯：我国利用世界唯一的“蓝鲸 1号” ，在南海实现了可燃冰（即天然气水合物）的安全可控开采据介绍， “蓝鲸

18、1 号”拥有 27354 台设备 ，约 40 000 根管路，约 50 000 个 MCC 报验点，电缆拉放长度估计 1200 千米其中准确数是（ ）A 27354 B 40 000 C 50 000 D 1200 【分析】近似数是通过测量和估计得到的，而准确数是具体的不用测量和估计得到的【解答】拥有 27354 台设备是具体的不用测量，其他数字是通过测量和估计得到的，故答案为 A考向九：实数的运算典例 9:（2017 达州）计算：2017 0|1 |+（ ） 1+2cos45 【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质化简，进而求出答案此题主要考查了实数运算，正确

19、记忆特殊角的三角函数值是解题关键【解答】解：2017 0|1 |+（ ） 1+2cos45=1 +1+3+2=5 +=5考向十：规律探索典例 10：（2014邵阳）如图， A 点的初始位置位于数轴上的原点，现对 A 点做如下移动：第 1 次从原点向右移动 1 个单位长度至 B点，第 2 次从 B 点向左移动 3 个单位长度至 C 点，第 3 次从 C 点向右移动 6 个单位长度至 D 点，第 4 次从 D 点向左移动 9 个单位长度至 E 点，依此类推，这样至少移动 次后该点到原点的距离不小于 41【分析】根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加） ，分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的

20、距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差 3） ，写出表达式；然后根据点到原点的距离不小于 41 建立不等式，就可解决问题移动（2n 1）次后该点到原点的距离为 3n2；移动 2n 次后该点到原点的距离为 3n1当 3n241 时，解得：nn 是正整数，n 最小值为 15，此时移动了 29 次当 3n141 时，解得：n14n 是正整数，n 最小值为 14，此时移动了 28 次纵上所述：至少移动 28 次后该点到原点的距离不小 于 41故答案为：28课时作业能力提升一、单选题（共 7 题，每题 4 分；共 28 分）1.(2018临沂)自 2013 年 10 月习近平

21、总书记提出“精准扶贫 ”的重要思想以来，各地积极推进精准扶贫.加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，仅 2017 年我国减少的贫困人口就接近 1100 万人， 将 1100 万人用科学记数法表示为( )A1.110 3 人 B1.110 7 人 C1.1 108 人 D1.110 6 人【分析】理解科学计数法的表示方法，特别注意单位亿的转换2.（2018河北)若 22nn，则 n=（ ） A.1 B.2 C.0 D.14【分析】利用乘方意义和方程思想求解【解答】解：由 22nn可得： 42n，即12n，所以 n=1,故选 A3. (2018乐山) 如图，在数轴上点 A 表示的数为-1，点 B

22、表示的数为 4，C 是点 B 关于点A 的对称点，则点 C 表示的数为 A.3 B.4 C.-5 D.-6【分析】实数与数轴上的点一一对应及数轴上两点距离和对称性质,可转化为方程求解【解答】解：BA=5，CA=5，则点 C 表示的数为-1-5=-6故 选 ： D4( 2016自 贡 )若 +b24 b+4=0，则 ab 的值等于（ ）A2 B0 C1 D2【分析】根据非负数的和为零，可得 a、 b 的值，根据有理数的乘法，可得答案【解答】解：由 +b24 b+4=0，得a1=0， b2=0 解得 a=1， b=2 ab=2故选：D5 （2017滨州） （2017 山东滨州）下列计算：（1）(

23、2)22， （2 ） 2()2， （3）(23)212 ，（4 ） (3)1，其中结果正确的个数为A1 B2 C3 D4【分析】结合二次根式的性质及运算可得6 (2018福建)已知 m=43，则以下对 m 的估算正确的是（ ）A2 m3 B3m4 C4 m5 D5m6【分析】结合算术平方根的定义及实数估算方法,利用不等式性质即可求解【解答】解：1 2， ， 3 4，故选：B7 （ 2018北京）实数 a， b， c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 来源: c b a 10 32 1 4234A |4aB cbC aD 0ac【分析】利用实数与数轴一一对应和绝对值定义,确定各个字母

24、所代表的数的符号【解答】解： 3a， 4，故 A 选项错误；数轴上表示 b的点在表示 c的点的左侧，故 B 选项正确； 0， c， 0ac，故选项错误； 0a， ，ac， 0，故 D 选项错误 故选 B二、填空题（共 3 题，每题 4 分；共 12 分）8 （2018 威海）用若干个形状，大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4 个矩形纸片围成如图所示的正方形，其阴影部分的面积为 12；8 个矩形纸片围成如图 所示的正方形，其阴影部分的面积为 8； 12 个矩形纸片围成如图 所示的正方形，其阴影部分的面积为_来源:ZXXK【分析】利用算术根的意义及方程思想求解9. （2018 潍坊）用教材中的计算

25、器进行计算，开机后依次按下 ，把显示结果输入右侧的程序中，则输出的结果是 【分析】理解题意,运用实数运算法则和运算顺序即可求解 【解答】解：3 29，输入 9 后，得 93 23 1，再按程序要求计算(3 2)(3 )3 2( )27故答案为：7输入显示结果 3 2 是 否 )23(输出 )(大于 1 10 （2017天水）定义一种新的运算：x*y= ，如：3*1= = ，则（2*3 ）*2=_ 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果 【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（ ）*2=4*2= =2， 故答案为：2 三、解答题（共 6 题，每题 10 分；共 60 分） 来源:

26、11. （2018 宿迁）计算： 60sin23)7()20【分析】利用零指数幂，绝对值的代数意义以及特殊角的三角函数值然后从左向右依次计算，求出算式的值即可【解答】解原式 2314 3214512.(2018孝感）计算（3） 2|4| 124cos30 .【分析】按绝对值、立方根、乘方和实数运算法则分别计算.13.（ 2018曲靖）计算（2）0(3.14) 3271【分析】按去括号法则,负指数幂, 零指数幂、立方根、乘方和实数运算法则分别计算.【解答】解:原式2 13(-3) 6（3）314已知在纸面上有一数轴（如图） ，折叠纸面（1 ）若 1 表示的点与1 表示的点重合，则2 表示的点与数

27、 表示的点重合；（2 ）若2 表示的点与 4 表示的点重合，回答以下问题：7 表示的点与数 表示的点重合； 若数轴上 A、B 两点之间的距离为 17（A 在 B 的左侧） ，且 A、B 两点经折叠后重合，求A、B 两点表示的数是多少？【分析】理解数轴上的实数与数轴上的点一一对应，会根据对折进行动手操作，从而推理求出答案15若约定：a 是不为 1 的有理数，我们把 称为 a 的差倒数如：2 的差倒数是=1，1 的差倒数是 = 已知 a1= ，a 2 是 a1 的差倒数，a 3 是 a2 的差倒数，a 4 是 a3 的差倒数，依此类推，试求 a2013【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化

28、简 3 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：a 1= ，a 2= = ，a 3= =4，a 4= = ，20133=671a 2013 与 a3 相同，为 416.如图，动点 A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点 B 也从原点出发向数轴正方向运动，运动到 3 秒钟时，两点相距 15 个单位长度已知动点 A、B 的运动速度比之是3： 2（速度单位：1 个单位长度/秒） （1 ）求两个动点运动的速度；（2 ） A、B 两点运动到 3 秒时停止运动，请在数轴上标出此时 A、B 两点的位置；（3 ）若 A、B 两点分别从（2 ）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动的速度不变，运动的方向不限，问：经过几秒钟，A、B 两点之间相距 4 个单位长度？【分析】本题属动点问题，关键是会用数轴上的数表示出动点对应的位置，然后转化为方程求解【解答】 （1）设点 A 的速度为每秒 3t 个单位长度，则点 B 的速度为每秒 2t 个单位长度依题意有：3t 3+2t3=15，解得 t=1，答：点 A 的速度为每秒 3 个单位长度，点 B 的速度为每秒 2 个单位长度（2 ） 33=9，23=6，画图：；