中考数学培优（含解析）之与圆有关的位置关系

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1、与圆有关的位置关系聚焦考点温习理解一、点和圆的位置关系设O 的半径是 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则有：dr 点 P 在O 外。二、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d,那么：直线 l 与O 相交 = dr；切线的判定和性质 ： （1） 、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是

2、圆的切线。（2） 、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，OD 垂直于切线。切线长定理 ： （1） 、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点 到圆的切线长。（2） 、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。（3） 、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。如图圆 O 是ABC的内切圆。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。三、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系如果两个圆没

3、有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为 R 和 r，圆心距为 d，那么两圆外离 dR+r两圆外切 d=R+r两圆相交 R-rr）两圆内含 dr）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。名师点睛典例分类考向一：点与圆的位置关系典例 1：（2017枣庄） 如图，在网格（

4、每个小正方形的边长均为 1）中选取 9 个格点（格线的交点称为格点） ，如果以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有3 个在圆内，则 r 的取值范围为（ ）A 2r 17B r 23C 17r 5D r 29考向二：直线与圆的位置关系典例 2：（2018 眉山）如图所示， AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，线段 PO 交O 于点 C，连结 BC，若P 36 ，则 B 等于（ ）A27 B32 C36 D54考向三：圆的切线判定与性质典例 3：(2018武汉)如图，PA 是O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接PB、PC，PC 交 AB 于点 E，且

5、 PAPB.（1 ）求证：PB 是O 的切线；（2 ）若APC3BPC，求 CEP的值.考向四：圆与全等(相似)形 典例 4：（2.018上海）已知圆 O 的直径 AB=2，弦 AC 与弦 BD，交于点 E，且 ODAC，垂足为点 F(1)图 11，如果 AC=BD，求弦 AC 的长；(2)如图 12，如果 E 为 BD 的中点，求ABD 的余切值(3)联结 BC、CD 、DA ，如果 BC 是圆 O 的内接正 n 边形的一边， CD 是的内接正(n +4)边形的一边，求ACD 的面积 考向五：圆与函数 典例 5：（2018 宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 )30)(xaxy的图像与

6、 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 D，过其顶点 C 作直线 CPx 轴，垂足为点 P，连接 AD、BC（1 ）求点 A、B、D 的坐标；（2 ）若AOD 与BPC 相似，求 a 的值；（3 ）点 D、O、C、B 能否在同一个圆上，若能，求出 a 的值，若不能，请说明理由y xPODCBA课时作业能力提升一选择题1 （ 2017吉林）如图，直线 l 是O 的切线，A 为切点，B 为直线 l 上一点，连接 OB 交O 于点 C若 AB=12，OA=5，则 BC 的长为（ ）A5 B6 C7 D82 （ 2018泰安）如图，BM 与O 相切于点 B，若MBA14

7、0 ，则ACB 的度数为（ ）A40 B50 C60 D703 （ 2018内江）已知的半径为 3cm，的半径为 2cm，圆心距 =4cm，则与的位置关系是（ ）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切4 在 ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有： AB2+AC2=2AO2+2BO2 成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE=4，EF=3，点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动，则 PF2 +PG2 的最小值为（ ）A. B. C.34 D.10 10192C A BM O 5 （ 2017百色）以坐标原点 O 为圆心，作半径为 2 的圆，若直线 y=x

8、+b 与O 相交，则b 的取值范围是（ ）A 20 B 2b C 3b D 22b6 （ 2018 重庆）如图，已知 AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 与O 相切于点 D，过点 B 作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C，若O 的半径为 4，BC6，则 PA 的长为( )A4 B 32 C3 D2.57 (2018鄂州)如图，PA、PB 是O 的切线，切点为 A、B，AC 是O 的直径，OP 与 AB 交于点 D，连接 BC，下列结论：APB2BAC OPBC 若 tanC3，则 OP5 BC AC 24OD OP 其中正确结论的个数为（ ）A4 个 B3 个 C2

9、个 D1 个二、填空题8 （ 2018宁波， 17，4 分）如图，正方形 ABCD的边长为 8， M是 AB的中点， P是BC边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作P.当P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 9 （ 2017衢州）如图，在直角坐标系中， A 的圆心 A 的坐标为（ 1，0） ，半径为 1，点P 为直线 y 43x3 上的动点，过点 P 作A 的切线，切点为 Q，则切线长 PQ 的最小值是 10 2018玉林）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为 2cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“1

10、6”（单位：cm ） ，请你帮小华算出圆盘的半径是 cm 三、解答题 11 （ 2018盐城）如图，在以线段 AB 为直径的O 上取一点 C，连接 AC、BC将ABC沿 AB 翻折后得到AB D（1 ）试说明点 D 在O 上；（2 ）在线段 AD 的延长线上取一点 E，使 AB2ACAE求证：BE 为O 的切线；（3 ）在（2 ）的条件下，分别延长线段 AE、CB 相交于点 F，若 BC2，AC4 ，求线段 EF的长 12 （ 2018烟台）如图，已知 D、E 分别为ABC 的边 AB、BC 上两点，点 A、C、E 在ADCFEBOD 上，点 B、 D 在E 上，点 F 为 上一点，连接 EF

11、 并延长交 AC 的延长线于点 N，交 BDAB 于点 M（1 ）若EBD 为 ，请将CAD 用含 的代数式表示；（2 ）若 EM=MB，请说明当CAD 为多少度时，直线 EF 为D 的切线；（3 ）在（2 ）的条件下，若 AD= 3，求MNF的值NMFEDC BA13 (2018永州 )如图，线段 AB 为O 的直径，点 C、E 在O 上，CDAB，垂足为点 D，连接 BE，弦 BE 与线段 CD 相交于点 F（1 ）求证：CF BF ；（2 ）若 cosABE 54，在 AB 的延长线上取一点 M，使 BM4 ，O 的半径为 6求证：直线 CM 是O 的切线14 （ 2018成都）如图，在

12、 RtABC 中，C =90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的O 分别交 AB，AC 于点 E，F ，连接 OF 交 AD 于点 G.(1)求证：BC 是O 的切线；(2) 设 AB=x，AF=y，试用 x， y 的代数式表示线段 AD 的长；(3)若 BE=8，sinB= 135，求 DG 的长.15 （ 2018苏州）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为 D，CE 垂直 AB，垂足为 E延长 DA 交O 于点 F，连接 FC，FC 与 AB 相交于点 G，连接 OC（1 ）求证：CDCE；（2 ）若

13、AEGE，求证：CEO 是等腰直角三角形16（ 2018孝感）如图，ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AC 于点E，过点 D 作 DFAC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G.（1 ）求证：DF 是O 的切线；（2 ）已知 BD2 5，CF2，求 AE 和 BG 的长.(第 16 题 ) (备用图)与圆有关的位置关系聚焦考点温习理解一、点和圆的位置关系设O 的半径是 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则有：dr 点 P 在O 外。二、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做

14、圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d,那么：直线 l 与O 相交 = dr；切线的判定和性质 ： （1） 、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2） 、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，OD 垂直于切线。切线长定理 ： （1） 、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点 到圆的切线长。（2） 、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线

15、长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。（3） 、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。如图圆 O 是ABC的内切圆。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。三、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别

16、为 R 和 r，圆心距为 d，那么两圆外离 dR+r两圆外切 d=R+r两圆相交 R-rr）两圆内含 dr）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。名师点睛典例分类考向一：点与圆的位置关系典例 1：（2017枣庄） 如图，在网格（每个小正方形的边长均为 1）中选取 9 个格点（格线的交点称为格点） ，如果以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有3 个在圆内，则 r 的取值范围为（ ）A 2r 17B r 23C 17r 5D r 29【分析】考查点与圆的位置关系以及

17、勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点 A 的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论【解答】解：给各点标上字母，如图所示AB 22，ACAD 1742，AE 232，AF95，AGAMAN 53， 17r 3时，以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内故答案：B考向二：直线与圆的位置关系典例 2：（2018 眉山）如图所示， AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，线段 PO 交O 于点 C，连结 BC，若P 36 ，则 B 等于（ ）A27 B32 C36 D54【分析】考查直线与圆的位置关系【解答】解：由 PA 是O 的切线，可得 OAP90， AOP

18、54 ，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得B27故答案：A，考向三：圆的切线判定与性质典例 3：(2018武汉)如图，PA 是O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接PB、PC，PC 交 AB 于点 E，且 PAPB.（1 ）求证：PB 是O 的切线；（2 ）若APC3BPC，求 CP的值.【分析】 （1）方法一：由切线的性质得到 OAP90，再通过OAPOBP 得到OBP OAP，从而判断出 PB 是O 的切线.；方法二：由等边对等角的性质得到PBO与OAP 的关系；（2 ）根据切线长定理得到 OPBC，再根据条件APC 3BPC 得到 CBBP.由PBFPOB ，判断

19、出 PF 与 OF 的关系，再由PFE CBE 将 PF 与 OF 的关系转移到 PE与 CE 的关系 .【解答】解: （1）证明：方法一:分别连接 OB，OP，在OAP 和OBP 中，OABP，OAP OBP(SSS) ，OBPOAP ， PA 是O 的切线，OBP OAP90 ，PB 是O 的切线.方法二：连接 OB.PA 是O 的切线， PAO90.OAOB，PAPB，OABOBA， PAB PBA.PBO PAO90 ，PB 是O 的切线.连接 BC，设 AB 与 OP 交于点 F，AC 是O 的直径，ABC90，PA，PB 是O 的切线，PO 垂直平分 AB， PO 平分APB .O

20、PBC， OPCPCB.APC3BPC， OPCCPB ， PCBCPB.CB BP设 OFt，则 CBBP2t ，由PBFPOB ，得 PB2PFPO.即(2t) 2 PF(PFt).解得 PF 17t.(取正值)PFECBE， PEFCB， 174.考向四：圆与全等(相似)形 典例 4：（2.018上海）已知圆 O 的直径 AB=2，弦 AC 与弦 BD，交于点 E，且 ODAC，垂足为点 F(1)图 11，如果 AC=BD，求弦 AC 的长；(2)如图 12，如果 E 为 BD 的中点，求ABD 的余切值(3)联结 BC、CD 、DA ，如果 BC 是圆 O 的内接正 n 边形的一边，

21、CD 是的内接正(n +4)边形的一边，求ACD 的面积 【分析】(1)连结 CB 可以证明弧 AD、弧 DC、弧 CB 相等，从而得到ABC=60 在ABC中求出 AC 长 (2)运用中位线及全等转化求出 CB 长，再把直角三角形 OBE 中的两个直角边求出，即可ABD 的余切值 (3) 根据“BC 是圆 O 的内接正 n 边形的一边， CD 是的内接正(n+4)边形的一边 ”求出 n 值，从而求出AOD=45，可得各线段长，再求ACD 的面积 【解答】解: （1 ）连结 CBAC=BD，弧 AC=弧 BD，ODAC，弧 AD=弧 DC=12弧 AC，弧 AD=弧 DC=弧 CB，ABC=6

22、0在 Rt ABC 中 , ABC=60，AB=2，AC= 3 （2 ） ODAC，AFO=90，AF=FCAO=OB，FO CB ，FO=12CBE 为 BD 的中点， DE =EBFOCB，DEF BEC，DF=CB=2FOFO=13，CB=2在 Rt ABC 中，AB=2 ，CB = 3，AC =42，EC = 3EB =6，E 为 BD 的中点， OD=OB，OEB=90，EO= ，cot ABD =EBO= 2 （3 ） BC 是圆 O 的内接正 n 边形的一边，COB=360nCD 是的内接正(n +4)边形的一边，COD = 4弧 AD=弧 DC，AOD=360nCOB+COD+

23、AOD=180， + 4+360n=180，解得 n=4 AOD=COD=3604n=45OD=OA= OC=1，AC= 2，OF= ，DF= 1-2，S ACD= 2ACDF= 考向五：圆与函数 典例 5：（2018 宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 )30)(xaxy的图像与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 D，过其顶点 C 作直线 CPx 轴，垂足为点 P，连接 AD、BC（1 ）求点 A、B、D 的坐标；（2 ）若AOD 与BPC 相似，求 a 的值；（3 ）点 D、O、C、B 能否在同一个圆上，若能，求出 a 的值，若不能，请说明理由yx

24、PODCBA【分析】 （1）令 y0 ，得 A（a，0） ，B（3 ，0） ；（2 ）根据AODPBC90，所以分AOD BPC 和AODCPB 两种情况讨论即可；（3 ）根据BOD90得 B、O 、D 三点共圆，其圆心 M 为 BD 中点，若 C 也在圆上，则MCMB，即 MC2MB 2，列出方程求解即可【解答】解：（1） 2()3(3)yxaxa， （0x3）A（a，0） ，B（3，0 ） ；D（0 ，3a ）（2 ） A（a，0） ，B（3 ，0） ，对称轴为 2，C（ a， 2)3(） ，PB ，PC 2)(，当AODBPC 时，则 POA，即 2)3(2a，解得 a3 （舍）当AOD

25、CPB 时，则 BDC，即 )(，解得 a13（舍） ，372a；（3 ）能，如图，连接 BD，取中点 M； BOD90 ，B、O、D 三点共圆，且圆心 M（ 23， a） ，若 C 也在圆上，则 MCMB ，即 222)03()()()23( aa，整理得： 045124a，即（ 5） （ 92）0，解得 51a，52a（舍） ， 3（舍） ， 34a（舍） ，当 时，D、O、C、B 四点共圆MyxPODCBA课时作业能力提升一选择题1 （ 2017吉林）如图，直线 l 是O 的切线，A 为切点，B 为直线 l 上一点，连接 OB 交O 于点 C若 AB=12，OA=5，则 BC 的长为（

26、）A5 B6 C7 D8【分析】考查切线的性质，根据勾股定理，可得 OB 的长，根据线段的和差即可求解【解答】解：由勾股定理，得 OB= 132ABO，CB=OBOC=135=8 ，故答案：D 2 （ 2018泰安）如图，BM 与O 相切于点 B，若MBA140 ，则ACB 的度数为（ ）A40 B50 C60 D70【分析】考查了切线的性质、等腰三角形的性质；由切线的性质得：PAB90，根据直角三角形的两锐角互余计算POA 50，最后利用同圆的半径相等得结论【解答】解：如图，连接 OA，OB，则 OBBM，BAO=ABO=MBA OBM =14090=50， AOB=180502=80，AC

27、B= 21AOB =40故答案：A3 （ 2018内江）已知的半径为 3cm，的半径为 2cm，圆心距 =4cm，则与的位置关系是（ ）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切【分析】考查了直线与圆的位置关系【解答】解：O 1 的半径为 3cm， O2 的半径为 2cm，圆心距 O1O2 为 4cm，又2+3=5，32=1，145，O 1 与 O2 的位置关系是相交故答案：C4 在 ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有： AB2+AC2=2AO2+2BO2 成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE=4，EF=3，点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动，则

28、 PF2 +PG2 的最小值为（ ）A. B. C.34 D.10 10192【分析】考查的是切线的性质、直角三角形性质取 GF 的中点 M，半圆圆心为 O，连接MP，,利用勾股定理及两点之间线段最短进行转化,【解答】解：取 GF 的中点 M，半圆圆心为 O，连接 MP，则根据题意，可得C A B M O C A B M O PF2+PG2=2PM2+2GM2=2PM2+8，当 O、P 、M 三点共线时， PM 的值最小，此时 PM=3-2=1， PF 2+PG2=212+8=10.故答案：D5 （ 2017百色）以坐标原点 O 为圆心，作半径为 2 的圆，若直线 y=x+b 与O 相交，则b

29、 的取值范围是（ ）A 20 B 2b C 3b D 22b【分析】考查直线与圆的位置关系；一次函数图象与系数的关系；【解答】解：当直线 y=x+b 与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图在 y=x+b 中，令 x=0 时，y=b，则与 y 轴的交点是（0 ，b） ，当 y=0 时，x=b ，则 A 的交点是（b，0） ，则 OA=OB，即OAB 是等腰直角三角形连接圆心 O 和切点 C则 OC=2则 OB= 2OC=2 即 b=2 2；同理，当直线 y=x+b 与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b= 2 则若直线 y=x+b 与 O 相交，则 b 的取值范围是 b 故答案：D6 （

30、2018 重庆）如图，已知 AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 与O 相切于点 D，过点 B 作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C，若O 的半径为 4，BC6，则 PA 的长为( )A4 B 32 C3 D2.5【分析】作 OHPC 于点 H利用切线性质导角易证POHPBC 即可【解答】解：作 OHPC 于点 H易证POHPBC， BCOP， 648A，PA4 故答案：A7 (2018鄂州)如图，PA、PB 是O 的切线，切点为 A、B，AC 是O 的直径，OP 与 AB 交于点 D，连接 BC，下列结论：APB2BAC OPBC 若 tanC3，则 OP5 BC A

31、C 24OD OP 其中正确结论的个数为（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【分析】连接 OB，由切线长定理得 APBP，易证 OP 是 AB 的垂直平分线，导角得APB2 BAC，故正确；由 AC 是直径，导角ADO ABC 90则 OPBC，故正确；由APO BAC，PAOABC，得OPA CAB，再由 tanC3，设 BCa ，则AC3 a，AC 10a，可求得 OP5 a，即 OP5BC ，故 正确；易证AOD POA ，得OA2OD OP，由 AC2OA，得 AC24OD OP，故正确【解答】解：连接 OB，PA、PB 是O 的切线，APBP，又OAOB，OP 是 AB 的垂

32、直平分线，APOPAB 90 ，APOBPO，APB2APOPA 是O的切线，PAC90，PABBAC90，APB2BAC，故正确；AC 是直径， ABC90，ADOABC90，OPBC，故正确；APO BAC，PAOABC，OPA CAB，OPAC BtanC 3，设BC a，则 AC3a，AC 10a，OP10a2，OP5a ，即 OP5BC，故正确；OAP ODA，AOPAOD，AOD POA，OAPD，OA 2 ODOP，AC2 OA，AC 24OD OP，故正确综上所述，故选 D二、填空题8 （ 2018宁波， 17，4 分）如图，正方形 ABCD的边长为 8， M是 AB的中点，

33、P是BC边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作P.当P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 【分析】考查圆与圆的位置关系；分两种情况， （1）与 CD 相切， （2）与 AD 相切,再利用切线性质及勾股定理列方程即可【解答】解：由题意知，BM=4，分两种情况， （1 ）与 CD 相切时，设 PM=PC=x，由勾股定理得，x 2=42(8x) 2,解得 x=5,所以 BP=3；（2）与 AD 相切时，PM=8，由勾股定理得，BP2=824 2，即 BP= 3。故答案：3 或 9 （ 2017衢州）如图，在直角坐标系中， A 的圆心 A 的坐标为（ 1，0） ，半径为

34、 1，点P 为直线 y 43x3 上的动点，过点 P 作A 的切线，切点为 Q，则切线长 PQ 的最小值是 【分析】连接 AP，PQ，当 AP 最小时，PQ 最小，当 AP直线 y 43x3 时，PQ 最小，根据全等三角形的性质得到 AP3，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：如图，作 AP直线 y 4x3 ，垂足为 P，作A 的切线 PQ，切点为 Q，此时切线长 PQ 最小 A 的坐标为（ 1，0） ，设直线与 x 轴，y 轴分别交于B，C ， B（0，3） ，C（4 ，0） ，OB3，AC5 ， BC 52OCB，AC BC，在APC 与BOC 中， BAOP9，APC OBC， APOB

35、3 ，2132PQ故答案： 210 2018玉林）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为 2cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm ） ，请你帮小华算出圆盘的半径是 cm 【分析】连接 OC，交 AB 于点 D，设O 的半径为 r,利用切线性质及垂径定理,用勾股定理转化为方程求解【解答】解：如图，O 的切点为 C，AB164 12 连接 OC，交 AB 于点 D，设O 的半径为 r，OCAB ，BD 12AB6 ，ODr2，22()6r，解得 r10三、解答题 11 （ 2018盐城）如图，在以线段 AB 为直径的O

36、上取一点 C，连接 AC、BC将ABC沿 AB 翻折后得到AB D（1 ）试说明点 D 在O 上；（2 ）在线段 AD 的延长线上取一点 E，使 AB2ACAE求证：BE 为O 的切线；（3 ）在（2 ）的条件下，分别延长线段 AE、CB 相交于点 F，若 BC2，AC4 ，求线段 EF的长 【分析】 （1）由直径所对的圆周角为 90得：ACB90，由轴对称性质得：ADBACB 90 ，即可证得点 D 在O 上；（2 ）由轴对称性质得： DAB CAB，将 AB2ACAE 可转化为 ABCE，综合两个条件可得 ABCAEB，再由相似的性质得ABEACB 90 ，即证得 BE 为O 的切线；（3

37、 ）设 EFx ，通过观察、分析发现EBF BAF，由相似的性质可得 BF2x ，在 RtBDF 中，由勾股定理建立方程解之【解答】解：（1）点 C 在以线段 AB 为直径的O 上，ACB90 ，将ABC 沿AB 翻折后得到ABD ，ADB ACB90，点 D 在O 上（2 ）由轴对称性质得：DABCAB，又AB 2ACAE， ABCE，在ABC 和AEB 中， ABCE，DABCAB ，ABCAEB，ABEACB90 ，BE 为 O 的切线（3 ）设 EFx，BC2，AC4，由轴对称的性质得 BDBC2，ADAC4，在 Rt ABC 中，由勾股定理得：AB 2BCA 5，AB 2ACAE，A

38、E5， DEAEAD54 1，ADCFEBO在 Rt ABE 中，由勾股定理得：BE 2ABE 25 ，ABEACB 90 ，FBE ABC90，CABABC90，FBE CAB，又DABCAB，FBE DAB，在EBF 和BAF 中，FBE DAB ，BFE AFB ，EBFBAF ， 215ABEF，即BF2EF2 x，在 Rt BDF 中，由勾股定理得：BD 2DF 2EF 2，即 4（1x） 24x 2得 x1 63，x 21（舍）：线段 EF 的长为 6312 （ 2018烟台）如图，已知 D、E 分别为ABC 的边 AB、BC 上两点，点 A、C、E 在D 上，点 B、 D 在E

39、上，点 F 为 上一点，连接 EF 并延长交 AC 的延长线于点 N，交 BDAB 于点 M（1 ）若EBD 为 ，请将CAD 用含 的代数式表示；（2 ）若 EM=MB，请说明当CAD 为多少度时，直线 EF 为D 的切线；（3 ）在（2 ）的条件下，若 AD= 3，求MNF的值NMFEDC BA【分析】 （1）连接 CD、DE ，用含 的代数式表示CDB,由等边对等角，结合三角形在内角和定理可解决；（2 ）先根据直线 EF 为D 的切线确定 在大小，再利用（ 1）的结论求解（3 ）由（2 ）的特殊角的度数得到等腰三角形和直角三角形，利用特殊三角形的边角关系求得 NE,EM 和 MF 即可【

40、解答】解：（1）连接 CD、DE DE =EB，EDB=EBDCED=EDB +EBD=2同理，CDB =2CAD DC=DE ，DCE=CED =2DCE +CED+ CDE =180，即 2CAD+2+2 =180，CAD=3902（2 ）当 EM=MB 时， MEB=MBE=EMD=2当 EDM+EMD=90，即 3=90，=30时，直线 EF 为D 的切线此时CAD=3902=45（3 ）在（2 ）的条件下，DCE=CED =2 =60，CE=DENCE =A+ABC =45+30=75又CEN= MEB=30，N =75NE=CE= DE=AD= 3EDB=30， DEM=90，EM

41、=DE tan30=1 DM=2MF=EF-EM= 3-1321MFN13 (2018永州 )如图，线段 AB 为O 的直径，点 C、E 在O 上，CDAB，垂足为点 D，连接 BE，弦 BE 与线段 CD 相交于点 F（1 ）求证：CF BF ；（2 ）若 cosABE 54，在 AB 的延长线上取一点 M，使 BM4 ，O 的半径为 6求证：直线 CM 是O 的切线【分析】 （1） 连接 AC，根据等角对等边证明BCDCBE 根据直径所对的圆周角是直角及直角三角形两锐角互余证明CABBCD；根据同弧所对的圆周角相等可得CAB BEC，从而BEC BCD；根据等弧所对的圆周角相等可得BECC

42、BE，于是有BCD CBE ，问题得到证明 （2 ）连接 OC，交 BE 于点 G，利用勾股定理的逆定理证明OCM90，在 RtOGB 中，根据 cosOBG OB求出 BG 的长，在OBCNMFEDC BA中，根据 SOBC 21OCBG OBCD，求得 CD 的长， 在 RtOCD 中，根据勾股定理求得 OD 的长，从而可得 DM 的长；在 RtCDM 中，根据勾股定理求得 CM 的长；在OCM 中，根据勾股定理的逆定理证明 OCM 90，于是可得结论【解答】解：（1）连接 AC，AB 为O 的直径，ACB90，CABABC 90，CDAB ，BDC90，BCDABC 90， CABBCD

43、，又CAB BEC，BEC BCD，BEC CBE ，BCD CBE，CFBF； （2 ）连接 OC，交 BE 于点 G，BEOC，OGB90 ，在 RtOGB 中，cosOBG OB， BGOBcosOBG 6 542在OBC 中，S OBC 21OCBG OBCD，OCOB ，CD BG 在 RtOCD 中，OD2CDO2)54(618，DM OMODOBBMOD6 4 51853，在 RtCDM 中，CM 2CDM22)54(38 OC 2CM 2 62 82 100，OM 2(6 4) 2100，OC 2CM 2 OM2，OCM 是直角三角形，OCM90， OCCM， 直线 CM 是O 的切线14 （ 2018成都）如图，在 RtABC 中，C =90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D