中考数学培优（含解析）之整式与因式分解

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1、整式与因式分解 聚焦考点温习理解来源:1.代数式：代数式是用 （加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示 的 连接而成的式式，单独一个数或一个字母也是代数式2代数式的值：用数值代替代数式里的 ，计算后所得的结果3列代数式：列代数式时关键是弄清 关系和 顺序，正确使用 ，原则上先读的先写，规范书写4由数与字母的 组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个 也是单项式单项式中的 因数叫做这个单项式的系数，单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数 5几个单项式的 叫做多项式多项式中，如果字母相同，相同字母的指数也分别相同的每一项，叫 合并同类项时，字母和字母的 不变，把同类项的系数 作为新的系数。6去

2、括号的依据是 ，去括号时，括号前面 是“+”号，把括号和它前面的“+”去掉，括号各项的符号都 ；括号前面是“”号，把括号和它前面的“”去掉，括号里各项的符号都要 。即要乘都乘，要变都变，要不变都不变7幂的运算及性质：同底数幂相乘，底数 ，指数 ；即 nmanma；幂的乘方，底数 ，指数 ，即 nma)(；积的乘方，等于积中每个因式分别 ，即 nab)(；同底数幂相除，底数 ，指数 ，即 nma （注意 10， ,0b且 m,n 都为整 数）8单项式与单项式相乘，把它们的系数 ，相同字母分 别 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个 ；单项式乘多项式，用这个单项式去乘多项式

3、的每一项，再把所 得的积 ，即 m(a+b+c)=ma+mb+mc；多项式与多项式相乘，先用一个多项式 的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m+n)(a+b)=m(a+b)+n(a+b)=ma+mb+na+nb；单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别 ，作为商的 ，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加减 ，9平方差公式 ： 完全平 方公式： 10整式混合运算，先算 ，再 算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号内的部分或用去括号法则。11把一个多项式化成几个整式的 的形式，就是

4、因式分解，因式分解一般是先提公因式，即 ，若符合平方差公式或完全平方公式特点的，一般用公式法进行分解，即 或 分解因式，要检 查各因式能否继续分解，必须分解到每一个因式 为止。名师点睛典例分类考向一：列代数式解决实际问题典例 1：（2018柳州）苹果原价是每斤 a 元，现在按 8 折出售，假如现在要买一斤，那么需要付费( )A0.8a 元 B0.2a 元 C1.8a 元 D( a0.8)元考向二：整式的运算典例 2：（2017安微）计算 32)(的结果是（ ）A 6a B 6a C 5a D 5a典例 3：(2018 盐城）下列运算正确的是（ ） Aa 2a 2a 4 Ba 3aa 3 Ca

5、2a3a 5 D （a 2） 4a 6典例 4:（2018江西）计算( a)2 的结果为( )ba2Ab Bb Cab Dba考向三：乘法公式与因式分解典例 5：（2018济宁）多项式 34a分解因式的结果 （ ）A2(4)aB (2)C (2)aD2()a典例 6：（2018 安 顺） 若 x22（m3 ）x16 是关于 x 的完全平方式，则 m .考向四：代数式的化简求值 来源:Zxxk.Com典例 7： (2016临夏)若 042，则 )1(6)2(3的值为（ ）A -6 B 6 C 18 D 30考向五：因式分解常用方法 典例 8：2015贺州把多项式 3224xyx分解因式的结果是(

6、 )A 3)(4xyB )( C )2xy D )4(2xy课时作业能力提升一、单选题（共 7 题，每题 4 分；共 28 分）1 下列说法正确的是（ ）A 单项式25xy的系数是 51，次数是 4 次 B 代数式 是 6 次单项式C 12x是 整式D 3是二次二项式，其二次项系数为 3，一次项系数为 2，常数项是 02 （ 2018广州）下列计算正确的是（ ） A (ab) 2a 2b 2 B a22a 23a 4C x2y 1x 2（y0） D (2x 2)38 x63在实数范围内，下列从左到右的变形中，是因式分解的是( )A )1(2x B(y 1)(y3)(3y)(y1)C zyzyz

7、)(42D 218xx4 （ 2017泰州） 若 ab， 3c，则 ac等于( )A 1 B C. 5 D 55 （ 2015崇左）下列各组中，不是同类项的是（ ）A 2与 5 B ab与 C ba2.0与21D 32与 26 (2018 乐山) 已知实数 a， b 满足 a+b=2，ab= 34，则 a-b=A.1 B.- 52C.1 D.527 （ 2017怀化）下列运算正确的是( )A. 31m-=B. )236m=C.(33m-=D. 24m+=二、填空题（共 3 题，每题 4 分；共 12 分）8 （ 2018抚顺） 分解因因式： xy24 x .9 当 x=1 时，代数式 ax33

8、bx+4 的值是 7，则当 x=1 时，这个代数式的值是 10 （ 2018成都） 已知 x+y=0.2，x+3y=1，则代数式 x2+4xy+4y2 的值为 .三、解答题（共 6 题，每题 10 分；共 60 分） 来源:11 （ 2018长沙）先化简，再求值：（ab） 2b（ab）4ab，其中 a2，b 1.12 （ 2018宜昌）先化简，再求值： (1)(xx，其中 64x13 (2018乐山) 先化简，再求值：（2 m+1）(2m-1）-(m-1 ） 2+(2m） 3(-8m） ，其中 m 是方程 x2+x-2=0 的根。14 （2015内江）已知实数 a， b 满足 a21 ， b2

9、1 ，求 2 015|a b|的值.1a 1b15已知 A、B 是关于 x的整式，其中 A= x，B= 5n.来源:ZXXK（1 ）若 AB 化简的结果是 p742，求 m、n、p 的值；（2 ）若 AB 的值与 x 的取值无关，求 m2n 的值；（3 ）若当 x 2 时，AB 的值为 5，求式子 n2(m 1)的值.来源:Z#xx#k.Com16如图，是一种包装盒的 表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型(1)这个几何体模型的名称是_ 长方体或底面为长方形的直棱柱_；(2)如图 42是根据 a，b，h 的取值画出的几何体的主视图和俯视图(即图中实线表示的长方形)，请在网格中画出该几何体

10、的左视图；(3)若 hab，且 a，b 满足 a2b2a6b100，求该几何体的表面积14整式与因式分解 聚焦考点温习理解1.代数式：代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式式，单独一个数或一个字母也是代数式2代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果3列代数式：列代数式时关键是弄清数量关系和运算顺序，正确使用 多项式，原则上先读的先写，规范书写4由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 5几个单项式的和叫做多项式多项式中，如果

11、字母相同，相同字母的指数也分别相同的每一项，叫同类项合并同类项时，字母和字母的指数不变，把同类项的系数相加减作为新的系数。6去括号的依据是乘法分配律，去括号时，括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”去掉，括号各项的符号都不变；括号前面是“”号，把括号和它前面的“”去掉，括号里各项的符号都要改变。即要乘都乘，要变都变，要不变都不变7幂的运算及性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；即 nma；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 nma)(；积的乘方，等于积中每个因式分别乘方的积，即 nab)(；同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 n （注意10， ,0且 m,n 都为整数）8单项式与单项式相

12、乘，把它们的系数相乘，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；单项式乘多项式，用这个单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m(a+b+c)=ma+mb+mc；多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m+n)(a+b)=m(a+b)+n(a+b)=ma+mb+na+nb；单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加减 ，来源:Zxxk.Com9平方

13、差公式2)(baba： 完全平方公式：22)(baba10整式混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号内的部分或用去括号法则。11把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，就是因式分解，因式 分解一般是先提公因式，即 ma+mb+m(a+b)，若符合平方差公式或完全平方公式特点的，一般用公式法进行分解，即 )(2baba或222)(ba分解因式，要检查各因式能否继续分解，必须分解到每一个因式不能再分解为止。名师点睛典例分类考向一：列代数式解决实际问题典例 1：（2018柳州）苹果原价是每斤 a 元，现在按 8 折出售，假如现在要买一斤，那么需要付费( )A0.8a 元 B0.2

14、a 元 C1.8a 元 D( a0.8)元【分析】根据“质量单价支付费用”可求付费【解答】解：1a0.80.8a (元)考向二：整式的运算典例 2：（2017安微）计算 32)(a的结果是（ ）A 6a B 6 C 5a D 5a【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则即可求解【解答】因为 32)( 632)(1a，故选 B典例 3：( 2018盐城）下列运算正确的是（ ） Aa 2a 2a 4 Ba 3aa 3 Ca 2a3a 5 D （a 2） 4a 6【分析】利用同底数幂的运算法则即可求解故答案:C典例 4:（2018江西）计算( a)2 的结果为( )ba2A b Bb Cab Dba【分析

15、】利用整式运算法则和运算顺序,结合负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数即可求解【解答】解：得22()baba考向三：乘法公式与因式分解典例 5：（2018济宁）多项式 34分解因式的结果 （ ）A2(4)aB (2)aC (2)aD2()a【分析】观察发现，多项式 3的各项含有公因式 ，用提公因式法分解为 342(4)a，因式 24a还可运用平方差公式分解为 (2)a，而因式 2a与 都不能再分解，所以 3因式分解的结果是 【解答】解： = ()a故答案为：B典例 6：（2018 安顺） 若 x22 （m3）x16 是关于 x 的完全平方式，则 m .【分析】考查完全平方公式,因式分解定义及

16、与整式乘法区别考向四：代数式的化简求值 典例 7： (2016临夏)若 042x，则 )1(6)2(3xx的值为（ ）A -6 B 6 C 18 D 30【分析】由已 知条件求出 x 值，计算量很大，故可先利用完全平方公式和平方差公式进行化简，再整体代入求解【解答】解：由 1823)1(6)4(3)1(6)2(3 22 xxxx 84故正确答案选 B考向五：因式分解常用方法 典例 8：2015贺州把多项式 3224xyx分解因式的结果是( )A 3)(4xyB )( C )2xy D )4(2xy【分析】考查提公因式法和公式法分解因式 【解答】解 4x2y4xy 2x 3x (x24xy4y

17、2)x (x2y) 2故正确答案选 B课时作业能力提升一、单选题（共 7 题，每题 4 分；共 28 分）1 下列说法正确的是（ ）A 单项式25xy的系数是 51，次数是 4 次 B 代数式 是 6 次单项式C 12x是整式D 3是二次二项式，其二次项系数为 3，一次项系数为 2，常数项是 0【分析】 依据单项式的系数是指前面的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数和，单项式与 多项式统称为整式；多项式一般考查项数和次数【解答】解：251xy的系数是 51，次数是 3 次，故 A 错；代数式2yx是 4次单项式，故 B 错；是分式故 C 错；D 正确故选：D2 （ 2018广州）下列计算正确

18、的是（ ） A.(ab) 2a 2b 2 B. a22a 23 a4C x2y 1x 2（y0） D.(2 x2)38x 6【分析】考查整式运算 3在实数范围内，下列从左到右的变形中，是因式分解的是( )A )1(2x B(y 1)(y3)(3y)(y1)C zyzyz)(42D 218xx【分析】本题考查因式分解定义及提公因式和公式法分解因式【 解答】解：A 答案中 ： 2 还可以用平方差公式继续分解，故 A 错；B 答案不是因式分解，是恒等变形；C 答案混淆了公因式的概念；只有 D 先提公因式，再用完全平方公式分解，是正确的故选：D4 （ 2017泰州） 若 2ab， 3c，则 ac等于(

19、 )A 1 B 1 C. 5 D 5【分析】本题考查代数式的求值，可消元化归，也可整体加减变形求值【解答】解：两式相加可消去 b，得 a-c=-1故选：B5 （ 2015崇左）下列各组中，不是同类项的是（ ）A 25与 B ab与 C ba2.0与21D 32与 2【分析】利用同类项的定义判断即可【解答】解：不是同类项的是 a2b3 与a3b2 故选：D6 (2018 乐山) 已知实数 a， b 满足 a+b=2，ab= 34，则 a-b=A.1 B.- 52C.1 D.52【分析】本题完全平方公式【解答】解：（a-b） 2=（a+b ） 2-4 ab=22-434=1，a-b=1，故选：C7

20、 （ 2017怀化）下列运算正确的是( )A. 321m-=B. )236m=C.(332m-=D. 24m+=【分析】本题考查合并同类项及幂的运算二、填空题（共 3 题，每题 4 分；共 12 分）8 （ 2018抚顺） 分解因因式： xy24 x .【分析】考查提公因式法和运用公式法分解因式【解答】解： 原式= x（ y2-4）= x（ y+2） （ y-2）.答案: x（ y+2） （ y-2）9 当 x=1 时，代数式 ax33bx+4 的值是 7，则当 x=1 时，这个代数式的值是 【分析】考查代数式的值的含义及整体求值方法【解答】解： 把 x=1 代入可得421ba，则32ba；当

21、 x=-1 时，原代数式的值为来源: 13)(4321ba10 （2018成都） 已知 x+y=0.2，x+3y=1，则代数式 x2+4xy+4y2 的值为 .【分析】考查利用整体思想求代数式的值三、解答题（共 6 题，每题 10 分；共 60 分）11 （ 2018长沙）先化简，再求值：（ab） 2b（ab）4ab，其中 a2，b 1.【分析】 考查代数式化简求值，灵活运用公式进行整式乘法运算【解答】解：原式a 22ab b2abb 24 ab a2ab当 a2，b 1时，原式 222（1）512 （ 2018宜昌）先化简，再求值： ()2)(xx，其中 64x【分析】 考查整式乘法及用平方

22、差公式进行整式运算【解答】解：原式 原式 2244x；当 6时，原式 613 (2018乐山) 先化简，再求值：（2 m+1）(2m-1）-(m-1 ） 2+(2m） 3(-8m） ，其中 m 是方程 x2+x-2=0 的根。【分析】 首先利用平方差公式和完全平方公式计算，进一步合并，最后代入求得答案即可【解答】解：原式=4m 2-1- m2+2m-1+8m3(-8m）=4 m2-1- m2+2m-1- m2=2 m2+2m-2由“m 是方程 x2+x-2=0 的根”可得，m 2+m-2=0，m 2+m=2，所以，原式=2（ m2+m）-2=22-2=214 （2015内江）已知实数 a， b

23、 满足 a21 ， b21 ，求 2 015|a b|的值.1a 1b【分析】考查非零的零指数幂、用整体思想对代数式进行变形及求值15已知 A、B 是关于 x的整式，其中 A= 2xm，B= 5nx.（1 ）若 AB 化简的结果是 px742，求 m、n、p 的值；（2 ）若 AB 的值与 x 的取值无关，求 m2n 的值；（3 ）若当 x 2 时，AB 的值为 5，求式子 n2(m 1)的值.【分析】考查整式加减运算及运用整式加减解决代数式的值，理解无关及定值等【解答】解：（1）A-B= 4)2()1()5(122 xnxxx而 px742,则有 pn74)2比较系数可得 m-1=4；-2+

24、n=-7，p=-4 解得 m=5,n=-5,p=-4（2 ）因为 6)2()1(xmBA，而 A+B 的值与 x 无关，所以可得m+1=0,-2-n=0,从而解得 m=-1,n=-2(3）若当 x2 时，AB 的值为 5.因为 4)2()1(xnm 所以得 4)2()1(45nm所以得9,94n得所以 n2(m 1)n-2m+2=-4.5+2=-2.516如图，是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体 的模型(1)这个几何体模型的名称是_ 长方体或底面为长方形的直棱柱_；(2)如图 42是根据 a，b，h 的取值画出的几何体的主视图和俯视图(即图中实线表示的长方形)，请在网格中画出该几 何体的左视图；(3)若 hab，且 a，b 满足 a2b2a6b100，求该几何体的表面积14【分析】利用整式运算考查分析解决问题的能力，以及动手操作能力，理解非负数性质