中考数学培优（含解析）之分式方程

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1、分式方程聚焦考点温习理解1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。2、解分式方程的基本思想是转化为整式方程，其依据是利用 等式的基本性质进行方程的同解变形；常用转化方法是去分母或换元法等3、在用去分母转化时，一般 步骤是先对分子分母进行因式 分解、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化 1、验根 等4、解分式方程验根的方法是：将根代入最简公分母中，其值为零是增根，舍去5、列分式方程解应用题要注意双重检验，即先检验是不是分式方程的根 ，再检验是否符合实际意义名师点睛典例分类来源:Zxxk.Com考向一：解分式方程与分式方程的解典例 1：(2018常德)分式方程 0 的解为 x 12x34

2、考向二：由增根确定有关字母的值典例 2：如果解关于 x 的分 式方程 =1 时出现增根，那么 m 的值为（ ）2xmA 2 B2 C4 D4典例 3：（2018兰州）关于 x 的分式方程 的解为负数，则 a 的取值范围为1xa（ ）A. a1 Ba 1 Ca1 且 a 2 Da 1 且 a 2考向三：列分式方程解决实际问题 典例 4：（2018毕节）某商厦进货员预测一种应季衬衫国畅销市场,就用 10000 元购进这种衬衫，面市后果然供不应求,商厦又用 22000 元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的 2 倍.但单价贵了 4 元,求这两批衬衫的购进单价,若设第一批衬衫购进单价为元,则

3、所列方程正确的是( )xA. B. C. D.401x4201x4201x4201x课时作业能力提升一、单选题（共 7 题，每题 4 分；共 2 8 分）1 （ 2018荆州）解分式方程 时，去分母可得( ) xx431A.13 （x2）4 B.13 （ x2） 4来源:Z*xx*k.ComC.13（2 x）4 D. 13 （2x ）42 (2018株洲) 关于 x 的分式方程 的解为 x=4，则常数 a 的值为( ) 0aAa=1 B a=2 C a=4 D a=10 3 （ 2017聊城）如果解关于 x 的分式方程 =1 时出现增根，那么 m 的值为（ 2xm）A 2 B2 C4 D44

4、（2018哈尔滨）方程 的解为( )31xA x 1 B x0 C x D x l55 （ 2017重庆 B 卷）若数 a 使关于 x 的不等式组 有且仅有四个整数解，2174xa 且使关于 y 的分式方程 2 有 非负数解，则所以满足条件的整数 a 的值之和yy是（ ）A3 B1 C0 D36 （ 2017毕节）关于 x 的分式方程 +5= 有增根，则 m 的值为（ ）71x2A1 B3 C4 D57 （ 2018绥化） 某工厂新引进一批电子产品， 甲工人比乙工人每小时多搬运 30 件电子产品，已知甲工来源:ZXXK人搬运 300 件电子产品所用的时间与乙工人搬运 200 件电子产品所用的时

5、间相同.若设乙工人每小时搬运 x件电子产品，可列方程为（ ）A B C D302xx203x203302x二、填空题（共 3 题，每题 4 分；共 12 分）8 （ 2017泰安）分式 与 的和为 4，则 x 的值为 27xx9 （ 2017杭州 ）若 |m| ，则 m 1m3110 （2018 岳阳 ） 九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边) 长为 5 步，股(长直角边) 长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？ ”该问题的答案是 步三、解答题（共 6 题，每题 10 分；共 60

6、 分） 来源:ZXXK11(2018 黄石 )分式方程 的解来源:2415()x12 （ 2017攀枝花）若关于 x 的分式方程 +3= 无解，求实数 m 71xmx13 (2018邵阳 )某公司计划购买 A，B 两种型号的机器人搬运材料已知 A 型机器人比 B型机器人每小时多搬运 30kg 材料，且 A 型机器人搬运 1000kg 材料所用的时间与 B 型机器人搬运 800kg 材料所用的时间相同(1)求 A，B 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；(2)该公司计划采购 A，B 两种型号的机器人共 20 台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进 A 型机器人多少台？14 (

7、2018桂林)某校利用暑假进行田径场地的改造维修，项目承包单位派遣一号施工 队场施工，计划用 40 天时间完成整个工程当一号施工队工作 5 天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该校田径场举行，要求比原计划提前 14 天完成整个工程，于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程(1)若由二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？(2)若此项工程由一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？15 （2018玉林）山地自行车越来越受中学生的喜爱,一网店经营的一个型号的山地自行车,今年一月份销售额为 30000 元, 二月份每辆车售价比一月份每

8、辆车售价降低 100 元,若销售的数量与上一月销售的数量相同,则销售额是 27000 元(1)求二月份每辆车售价是多少元?(2)为了促销,三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了 10%销售,网店仍可获利 35%,求每辆山地自行车的进价是多少元?16 (2018宁夏) 某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需 A 种原料 12千克、B 种原料 1千克已知 A 种原料每千克的价格比 B 种原料每千克的价格多 10 元（1 ）为使每件产品 的成本价不超过 34 元，那么购入的 B 种原料每千克的价格最高不超过多少元？（2 ）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，

9、每件产品的零售价比批发价多 30 元现用 10000 元通过批发价购买该产品的件数与用 16000 元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？分式方程聚焦考点温习理解1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。2、解分式方程的基本思想是转化为整式方程，其依据是利用 等式的基本性质进行方程的同解变形；常用转化方法是去分母或换元法等3、在用去分母转化时，一般步骤是先对分子分母进行因式分解、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化 1、验根 等4、解分式方程验根的方法是：将根代入最简公分母中，其值为零是增根，舍去5、列分式方程解应用题要注意双重检验， 即先检验是不是分式方程

10、的根，再检验是否符合实际意义名师点睛典例分类考向一：解分式方程与分式方程的解典例 1：(2018常德)分式方程 0 的解为 x 12x34【分析】根据分式方程的解法即可求出答案考向二：由增根确定有关字母的值典例 2：如果解关于 x 的分式方程 =1 时出现增根，那么 m 的值为（ ）2xmA 2 B2 C4 D4【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值，让最简公分母 x2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案【解答】解： =1，去分母，方程两边同时乘以 x2，得： m+2x=x2，2xm由分母可知，分式方程的增根可能是 2，

11、当 x=2 时，m+4=22， m=4，故选 D典例 3：（2018兰州）关于 x 的分式方程 的解为负数，则 a 的取值范围为1xa（ ）B. a1 Ba1 Ca1 且 a 2 Da1 且 a 2考向三：列分式方程解决实际问题 典例 4：（2018毕节）某商厦进货员预测一种应季衬衫国畅销市场,就用 10000 元购进这种衬衫，面市后果然供不应求,商厦又用 22000 元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的 2 倍.但单价贵了 4 元,求这两批衬衫的购进单价,若设第一批衬衫购进单价为元,则所列方程正确的是( )xA. B. C. D.401x4201x4201x4201x【分析】分析

12、题目信息可知：等式关系是：第二次购买衬衫数=两倍第一次购买衬衫数，两次购买钱数分别是 22000 元， 10000 元，两次每件衬衫进价分别是（ x+4）元，x 元【解答】解：设去年居民用水价格为 x 元/cm3，根据题意列方程： 4201x故选：A课时作业能力提升一、单选题（共 7 题，每题 4 分；共 28 分）1 （ 2018荆州）解分式方程 时，去分母可得( ) xx2431A.13 （x2）4 B.13 （x2）4C.13（2 x）4 D. 13 （2x ）4【分析】方程的两边都乘以（x2 ） ，把分式方程变成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可【解答】解：方程的两边都乘以（x2

13、）得：13（x 2）4故选 B2 (2018株洲) 关于 x 的分式方程 的解为 x=4，则常数 a 的值为( ) 来源:ZXXK02axAa=1 B a=2 C a=4 D a=10 【分析】将 x=4 代入原方程即可求出 k 的值解方程即可 【答案】解：把 x=4 代入分式方程 得 ，解得 a=10，经检验，032ax0432a=10 是分式方程 的解0432a故选 D3 （ 2017聊城）如果解关于 x 的分式方程 =1 时出现增根，那么 m 的值为（ 2xm）A 2 B2 C4 D4来4 （2018哈尔滨）方程 的解为( )31xA x 1 B x0 C x D x l5【分析】先去分

14、母，再解答一元一次方程，解得 x l，经检验 x l 是原分式方程的解，所以选择 D【解答】解方程两边同乘 2x(x+3)得:x+3=4x,移项得 4x-x=3,解得 x=1,经检验 x=1 是原方程的根故答案为 D5 （ 2017重庆 B 卷）若数 a 使关于 x 的不等式组 有且仅有四个整数解，2174xxa 且使关于 y 的分式方程 2 有非负数解，则所以满足条件的整数 a 的值之和yy是（ ）A3 B1 C0 D3【分析】先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出 a3，再解分式方程程 2，根据分式方程有非负数解，得到 a2 ，进而得到满足条件的整数 a 的ayy值之和【答案

15、】解：解不等式 组 ，可得 ，2174xxa 347xa不等式组有且仅有四个整数解， 1，a3，解分式方程 2，可得 y (a2)，又分式方程有非负数解，ayy2y0，即 (a2)0 ，解得 a2， 2a3， 满足条件的整数 a 的值为122 ，1 ，0，1，2，3，满足条件的整数 a 的值之和是 3，故选 A6 （ 2017毕节）关于 x 的分式方程 +5= 有增根，则 m 的值为（ ）71x2A1 B3 C4 D57 （ 2018绥化） 某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运 30 件电子产品，已知甲工人搬运 300 件电子产品所用的时间与乙工人搬运 200 件电子产品所用的

16、时间相同.若设乙工人每小时搬运 x件电子产品，可列方程为（ ）A B C D302xx203x203302x【分析】根据题意设出未知数，根据甲所用时间乙所用时间列出分式方程即可 【解答】解：设第一批购进 x 件衬衫，则所列方程为： x203故选 C二、填空题（共 3 题，每题 4 分；共 12 分）8 （ 2017泰安）分式 与 的和为 4，则 x 的值为 27xx【分析】首先根据分式 与 的和为 4，可得： + =4，然后根据解分式方27x程的方法，求出 x 的值为多少即可【解答】解：分式 与 的和为 4， + =4，去分母，27xx可得：7x=4x8，解得：x=3，经检验 x=3 是原方程

17、的解， x 的值为 3故答案为：39 （ 2017杭州 ）若 |m| ，则 m 31m31【分析】利用绝对值和分式的性质可得 m10，m3 0 或| m|1 ，可得 m10 （2018 岳阳） 九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题： “今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边) 长为 5 步，股(长直角边) 长为 12 步，问该直 角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步【分析】利用相似三角形性质与判定,列出分式方程求解【解答】如图：设正方形的边长为 x，则 DEBF x ，AD12x，FC5x.由ADE EFC 得: , ,

18、x .FCDEA121760答案： 1760三、解答题（共 6 题，每题 10 分 ；共 60 分） 11(2018黄石)分式方程 的解2415()x【分析】根据分式方程的解法即可求出答案【解答】解：去分母，得：8x25(x1) 2x22，整式，得：2x 23x 10，解得：x 或 x1，当 x 时，x 210，故 x 该方程的根；当 x1 时，x 210，故 x1 不是该方12程的根,应舍去.原方程的解为 x 212 （ 2017攀枝花）若关于 x 的分式方程 +3= 无解，求实数 m 71xmx【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等

19、于 013 (2018邵阳 )某公司计划购买 A，B 两种型号的机器人搬运材料已知 A 型机器人比 B型机器人每小时多搬运 30kg 材料，且 A 型机器人搬运 1000kg 材料所用的时间与 B 型机器人搬运 800kg 材料所用的时间相同(1)求 A，B 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；(2)该公司计划采购 A，B 两种型号的机器人共 20 台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进 A 型机器人多少台？【分析】(1)由题意可设 A 型机器人每小时搬运 x kg 材料，则 B 型机器人每小时搬运(x30)kg 材料，根据相等关系：A 型机器人搬运 1000kg 材料用的

20、时间B 型机器人搬运 800kg 材料用的时间，列出分式方程，解出方程即可；(2)根据题意设购进 A 型机器人 a 台，则 B 新机器人购进(20 a )台，由不等关系：a 台 A 型机器人每小时搬运的材料(20a) 台 B 型机器人每小时搬运的材料2800kg，解不等式即可.【解答】解：(1)设 A 型机器人每小时搬运 x kg 材料，则 B 型机器人每小时搬运( x30)kg材料，根据题意，列方程：3018x解得 x150检验：当 x150 时，x( x30)0，所以，x150 是分式方程的解，且符合题意因此，x30120答：A，B 两种型号的机器人每小时分别搬运 150kg，120kg

21、材料；(2)设购进 A 型机器人 a 台，则 B 新机器人购进(20a) 台，根据题意，列不等式：150a120(20 a)2800解得 a 403因为 a 是正整数，所以 a14答：至少购进 A 型机器人 14 台.14 (2018桂林) 某校利用暑假进行田径场地的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队场施工，计划用 40 天时间完成整个工程当一号施工队工作 5 天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该校田径场举行，要求比原计划提前 14 天完成整个工程，于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程(1)若由二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天

22、？(2)若此项工程由一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？来源:ZXXK【分析】：设二号施工队单独施工，完成整个工程需要 x 天，根据等量关系：一号施工队工作 5 天的工作量一号、二号施工队合作的工作量1，列分式方程求解；(2)根据一号、二号施工队单独完成需的天数，可直接列式或列分式方程求解答：此项工程由一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要 24 天15 （2018玉林）山地自行车越来越受中学生的喜爱,一网店经营的一个型号的山地自行车,今年一月份销售额为 30000 元, 二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降低 100 元,若销售的数量与上一月销售的数量相同,则销售额

23、是 27000 元(1)求二月份每辆车售价是多少元?(2)为了促销,三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了 10%销售,网店仍可获利 35%,求每辆山地自行车的进价是多少元?【分析】(1)设售价为未知数 ,根据一月和二月的销量相等, 列出方程求解;(2)根据利润率 列式计算或列出方程求解利 润成 本 价16 (2018宁夏) 某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需 A 种原料 12千克、B 种原料 1千克已知 A 种原料每千克的价格比 B 种原料每千克的价格多 10 元（1 ）为使每件产品的成本价不超过 34 元，那么购入的 B 种原料每千克的价格最高不超过多少元？（2 ）将这种产

24、品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多 30 元现用 10000 元通过批发价购买该产品的件数与用 16000 元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？【分析】：（1）设 B种原料每千克的价格为 x 元，则 A 种原料每千克的价格为(x 10)元，根据题意列出一元一次不等式方程，解不等式即可；（2）设这种产品的批发价为 a 元，则零售价为(a30)元，现用 10000 元通过批发价购买该产品的件数与用 16000 元通过零售价购买该产品的件数相同，解分式方程即可得出结果注意根必须检验。【解答】解：（1）设 B 种原料每千克的价格为 x 元，则 A 种原料每千克的价格为(x10)元根据题意，得：12( x10)x 34 解得，x10答：购入 B 种原料每千克的价格最高不超过 10 元 （2 ）设这种产品的批发价为 a 元，则零售价为(a30)元根据题意，得： ，解得，a 503016经检验，a 50 是原方程的根，且符合实际答：这种产品的批发价为 50 元