中考数学培优(含解析)之尺规作图
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1、尺规作图 聚焦考点温习理解1尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺2基本作图(1)作一条线段等于已知线段,以及线段的和差;(2)作一个角等于已知角,以及角的和差;(3)作角的平分线;(4)作线段的垂直平分线;(5)过一点作已知直线的垂线3利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形;(2)已知两边及其夹角作三角形;(3)已知两角及其夹边作三角形;(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形;(5)已知一直角边和斜边作直角三角形4与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆);(2)作三角形的内切圆;(3)作圆的内接正方形和正六边形5有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案
2、是中考的常见类型6作图的一般步骤尺规作图的基本步骤:(1)已知:写出已知的线段和角,画出图形;(2)求作:求作什么图形,它符合什么条件,一一具体化;(3)作法:应用“五种基本作图” ,叙述时不需重述基本作图的过程,但图中必须保留基本作图的痕迹;(4)证明:为了验证所作图形的正确性,把图作出后,必须再根据已知的定义、公理、定理等,结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件;(5)讨论:研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形;在哪些情况下,问题有一个解、多个解或者没有解;(6)结论:对所作图形下结论名师点睛典例分类考点典例一、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图【例 1】 (2017 四川自贡
3、第 22 题)两个城镇 A,B 与一条公路 CD,一条河流 CE 的位置如图所示,某人要修建一避暑山庄,要求该山庄到 A,B 的距离必须相等,到 CD 和 CE 的距离也必须相等,且在DCE 的内部,请画出该山庄的位置 P (不要求写作法,保留作图痕迹 )【举一反三】(2017 黑龙江绥化第 22 题)如图, ,ABC为某公园的三个景点,景点 A和景点 B之间有一条笔直的小路,现要在小路上建一个凉亭 P,使景点 B、景点 C到凉亭 P的距离之和等于景点 B到景点 的距离请用直尺和圆规在所给的图中作出点 (不写作法和证明,只保留作图痕迹)考点典例二、画已知直线的平行线,垂线【例 2】 (北京市燕
4、山区 2017 届九年级一模)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.请回答:该作图依据是_【例 3】 (北京市海淀区 2017-2018 学年九年级上学期期中)下面是 “作已知三角形的高” 的尺规作图过程.已知: ABC.求作: 边上的高 D作法:如图,(1)分别以点 A和点 C为圆心,大于 12AC的长为半径作弧,两弧相交于 P, Q两点;(2)作直线 PQ,交 于点 O;(3)以 O为圆心, 为半径O,与 CB 的延长线交于点 D,连接 AD,线段 AD 即为所作的高.请回答;该尺规作图的依据是_【举一反三】(2017 浙江衢州第 7 题)下列四种基本尺规作图分别表
5、示:作一个角等于已知角;作一个角的平分线;作一条线段的垂直平分线;过直线外一点 P 作已知直线的垂线,则对应选项中作法错误的是( )A B C D考点典例三、画三角形【例 4】 (2017 江苏无锡第 24 题)如图,已知等边 ABC,请用直尺(不带刻度)和圆规,按下列要求作图(不要求写作法,但要保留作图痕迹):(1 )作ABC 的外心 O;(2 )设 D 是 AB 边上一点,在图中作出一个正六边形 DEFGHI,使点 F,点 H 分别在边 BC和 AC 上【举一反三】已知:线段 a、c 和(如图) ,利用直尺和圆规作ABC,使BC=a,AB=c,ABC= (不写作法,保留作图痕迹) 考点典例
6、四、通过画图确定圆心【例 5】 (2017 浙江嘉兴同学 19 题)如图,已知 ABC, 40(1)在图中,用尺规作出 ABC的内切圆 O,并标出 A与边 B, C, A的切点D, E, F(保留痕迹,不必写作法) ;(2)连接 , ,求 EFD的度数【举一反三】(浙江省杭州市余杭区 2017 届九年级上学期期中) 如图, (1)作ABC 的外接O(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) ;(2)若 AB=6cm,AC=BC=5cm,求O 的半径课时作业能力提升1 (2017 广西四市)如图,ABC 中,ABAC,CAD 为ABC 的外角,观察图中尺规作图的痕迹,则下列结论错误的是( )ADAE
7、=B BEAC=C CAEBC DDAE=EAC2 (2016-2017 学年江苏盐城东台市第二教育联盟初二上 10 月考)用尺规作图,不能作出唯一直角三角形的是( ).A已知两条直角边 B已知两个锐角C已知一直角边和直角边所对的一锐角 D已知斜边和一直角边3 (河南省驻马店市确山县 2017-2018 学年八年级上学期期中)如图,已知钝角 ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤 1:以 C 为圆心,CA 为半径画弧;步骤 2:以 B 为圆心,BA 为半径画弧,交弧于点 D;步骤 3:连接 AD,交 BC 延长线于点 H.下列叙述正确的是( )A. AC 平分 BAD B. BH 垂
8、直平分线段 AD C. D. AB=AD4 (福建省晋江市 2017 年初中学业质量检查)已知点 A,点 B都在直线 l的上方,试用尺规作图在直线 l上求作一点 P,使得 的值最小,则下列作法正确的是( ).A. B. C. D. 5 ( 2017 湖北随州)如图,用尺规作图作 AOC=AOB 的第一步是以点 O 为圆心,以任意长为半径画弧,分别交 OA、OB 于点 E、F,那么第二步的作图痕迹的作法是( )A. 以点 F 为圆心,OE 长为半径画弧B. 以点 F 为圆心, EF 长为半径画弧C. 以点 E 为圆心,OE 长为半径画弧D. 以点 E 为圆心,EF 长为半径画弧6 (浙江省温州市
9、鹿城区第二十三中学 2017 学年 H 上八年级期中)如图,用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是:因为 DOC,所以 DOC.由这种作图方法得到的 DOC和 全等的依据是( )A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS7 ( 2017 届浙江省杭州市淳安县中考模拟)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎期中,连当年叱咤风云的拿破仑也不例外,我们可以只用圆规将圆等分。例如可将圆 6 等分,如图只需在O 上任取点 A,从点 A 开始,以O 的半径为半径,在O 上依次截取点B,C,D,E,F.从而点 A,B,C,D,E,F 把O 六等分。下列可以只用圆规等分的是( )两等分 三等分 四等分
10、 五等分A. B. C. D. 8 (山东省日照市莒县 2016-2017 学年期末)下列尺规作图,能判断 AD 是ABC 边上的高是( )A. B. C. D. 9 (浙江省丽水市青田县八校联盟 2017 届九年级上学期第二次教学效果调研)已知线段AB,下列尺规作图中, PQ 与 AB 的交点 O 不一定是 AB 的中点的是( )A. A B. B C. C D. D10 (2017 湖北宜昌卷)如 图 , 在 AEF中 ,尺规作图如下:分别以点 E, 点 F为圆心,大于 12EF的长为半径作弧,两弧相交于 ,GH两点,作直线 GH,交 于点 O,连接AO,则下列结论正确的是( )A O平分
11、 EAF B AO垂直平分 EF C. GH垂直平分 D GH平分11 (浙江省杭州市青春中学 2016-2017 学年八年级上学期期中)如图,用尺规作图作 “一个角等于已知角”的原理是:因为D O C DOC,所以D O C DOC。由这种作图方法得到的D O C 和DOC 全等的依据是_(写出全等判定方法的简写)12 ( 2017 年初中毕业升学考试河北卷)如图,依据尺规作图的痕迹,计算=_13 ( 2017 年北京怀柔初三数学二模)下面是一道确定点 P 位置的尺规作图题的作图过程.如图,直线 L1 与 L2 相交于点 O, A,B 是 L2 上两点,点 P 是直线 L1 上的点,且 AP
12、B=30,请在图中作出符合条件的点 P.作法:如图,(1)以 AB 为边在 L2 上方作等边 ABC;(2)以 C 为圆心, AB 长为半径作 C 交直线 L1 于 P1, P2两点.则 P1、 P2就是所作出的符合条件的点 P.请回答:该作图的依据是_.14.(2017 甘肃庆阳第 21 题)如图,已知ABC,请用圆规和直尺作出ABC 的一条中位线EF(不写作法,保留作图痕迹) 15.( 2017 广西贵港第 20 题)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):已知线段 a和 AOB,点 M 在 上(如图所示).(1)在 OA边上作点 P,使 2Oa ;(2)作 B的平分线;(3)过点 M作 的垂
13、线.16.(2017 湖北孝感第 20 题)如图,已知矩形 ABCD .(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图,保留作图痕迹:以点 A为圆心,以 D的长为半径画弧交边 于点 E,连接 A;作 E的平分线交 C 于点 F;连接 F;(2)在(1)作出的图形中,若 8,10AB,则 tanFC的值为 .17.(2017 贵州六盘水第 25 题)如图, MN是 O的直径, 4MN=,点 A在 O上,30AMN= , B为 AN的中点, P是直径 上一动点.(1)利用尺规作图,确定当 B+最小时 点的位置(不写作法,但要保留作图痕迹).(2)求 P+的最小值.18.( 2017 江苏盐城第 24 题)如图
14、, ABC 是一块直角三角板,且 C=90,A=30,现将圆心为点 O 的圆形纸片放置在三角板内部(1 )如图,当圆形纸片与两直角边 AC、BC 都相切时,试用直尺与圆规作出射线CO;(不写作法与证明,保留作图痕迹)(2 )如图,将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动 1 周,回到起点位置时停止,若BC=9,圆形纸片的半径为 2,求圆心 O 运动的路径长19.(2017 甘肃兰州第 22 题)在数学课上,同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程:已知:直线 l和 外一点 P求作:直线 l的垂线,使它经过点 P.做法:如图:(1)在直线 l上任取两点 A、 B;(2)分别
15、以点 A、 B为圆心, , 长为半径画弧,两弧相交于点 Q;(3)作直线 PQ.参考以上材料作图的方法,解决以下问题:(1)以上材料作图的依据是 .(3)已知:直线 l和 外一点 P,求作: P,使它与直线 l相切。(尺规作图,不写做法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)尺规作图 聚焦考点温习理解1尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺2基本作图(1)作一条线段等于已知线段,以及线段的和差;(2)作一个角等于已知角,以及角的和差;(3)作角的平分线;(4)作线段的垂直平分线;(5)过一点作已知直线的垂线3利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形;(2)已知两边及其夹角作三角
16、形;(3)已知两角及其夹边作三角形;(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形;(5)已知一直角边和斜边作直角三角形4与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆);(2)作三角形的内切圆;(3)作圆的内接正方形和正六边形5有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型6作图的一般步骤尺规作图的基本步骤:(1)已知:写出已知的线段和角,画出图形;(2)求作:求作什么图形,它符合什么条件,一一具体化;(3)作法:应用“五种基本作图” ,叙述时不需重述基本作图的过程,但图中必须保留基本作图的痕迹;(4)证明:为了验证所作图形的正确性,把图作出后,必须再根据已知的定义、公
17、理、定理等,结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件;(5)讨论:研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形;在哪些情况下,问题有一个解、多个解或者没有解;(6)结论:对所作图形下结论名师点睛典例分类考点典例一、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图【例 1】 (2017 四川自贡第 22 题)两个城镇 A,B 与一条公路 CD,一条河流 CE 的位置如图所示,某人要修建一避暑山庄,要求该山庄到 A,B 的距离必须相等,到 CD 和 CE 的距离也必须相等,且在DCE 的内部,请画出该山庄的位置 P (不要求写作法,保留作图痕迹 )【答案】作图见解析【解析】试题分析:根据角平分线的性质可知:到
18、 CD 和 CE 的距离相等的点在DCE 的角平分线上,所以第一步作:ECD 的平分线 CF;根据中垂线的性质可得:到 A、B 的距离相等的点在 AB 的垂直平分线上,所以第二步作线段 AB 的垂直平分线 MN,其交点就是 P 点.试题解析:作法:作ECD 的平分线 CF,作线段 AB 的中垂线 MN,MN 与 CF 交于点 P,则 P 就是山庄的位置考点:作图设计【点睛】本题借助实际场景,考查了几何基本作图的能力,考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用【举一反三】(2017 黑龙江绥化第 22 题)如图, ,ABC为某公园的三个景点,景点 A和景点 B之间有一条笔直的小路,现要在小路上建
19、一个凉亭 P,使景点 B、景点 C到凉亭 P的距离之和等于景点 B到景点 的距离请用直尺和圆规在所给的图中作出点 (不写作法和证明,只保留作图痕迹)【答案】作图见解析.【解析】试题分析:如图,连接 AC,作线段 AC 的垂直平分线 MN,直线 MN 交 AB 于 P点 P 即为所求的点试题解析:如图,连接 AC,作线段 AC 的垂直平分线 MN,直线 MN 交 AB 于 P点 P 即为所求的点理由:MN 垂直平分线段 AC,PA=PC,PC+PB=PA+PB=AB考点:作图应用与设计作图考点典例二、画已知直线的平行线,垂线【例 2】 (北京市燕山区 2017 届九年级一模)下面是“经过已知直线
20、外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.请回答:该作图依据是_【答案】四边相等的四边形是菱形,菱形对边平行, 两点确定一条直线【解析】四边相等的四边形是菱形,菱形对边平行, 两点确定一条直线。【点睛】尺规作图经过已知直线外一点作这条直线的平行线,实际上就是基本作图:作一个角等于已知角【例 3】 (北京市海淀区 2017-2018 学年九年级上学期期中)下面是 “作已知三角形的高” 的尺规作图过程.已知: ABC.求作: 边上的高 D作法:如图,(1)分别以点 A和点 C为圆心,大于 12AC的长为半径作弧,两弧相交于 P, Q两点;(2)作直线 PQ,交 于点 O;(3)以 O为圆心, 为半
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