2019年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷（文科）含答案解析

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1、2019 年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax|1x2，Bx|xa，若 ABA，则 a 的取值范围是（  ）A （，2 B （，1 C1 ，+） D2 ，+）2 （5 分）已知复数 z4+3 i，则 （  ）A43i B4+3i C + i D i3 （5 分） “0a1 且 0b1”是“log ab0”的（  ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）设椭圆 的

2、左焦点为 F，直线 l：ykx（k 0）与椭圆 C 交于A，B 两点，则 |AF|+|BF|的值是（   ）A2 B C4 D5 （5 分）从装有 3 双不同鞋的柜子里，随机取 2 只，则取出的 2 只鞋不成对的概率为（  ）A B C D6 （5 分）实数 x，y 满足不等式组 ，若 z3x+y 的最大值为 5，则正数 m 的值为（  ）A2 B C10 D7 （5 分）若 cos2 ， ，则 tan（ ）（  ）A2 B C2 D8 （5 分）运行下列程序框图，若输出的结果是 2252112232472952，则判断框内的条件是（  ）第

3、2 页（共 25 页）Ai91？ Bi 100？ Ci191？ Di200？9 （5 分）如图，在下列四个正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F，G 均为所在棱的中点，过 E，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线 BD1 与平面 EFG 不垂直的是（  ）A BC D10 （5 分）已知 f（x ）A sin（x+） （A0，0，| ）是定义域为 R 的奇函数，且当 x2 时， f（x ）取得最大值 2，则 f（1）+f （2）+f（3）+f（100）（  ）A2+2 B22 C22 D011 （5 分）已知函数 f（x ）与其导函数 f（x）的图象如图

4、，则函数 g（x） 的单调减区间为（  ）第 3 页（共 25 页）A （0，4） B （0， ）C （0，1） ， （4，+ ） D （， 1） ， （ ）12 （5 分）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义xk（kN ）是函数零点近似解的初始值，过点 Pk（x k，f （ xk） ）的切线为 yf （x k）（xx k）+ f（x k） ，切线与 x 轴交点的横坐标 xk+1，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数 f（x）x 22，满足x02 应用上述方法，则 x3（  ）A B C D二、填

5、空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a ，A ，B，则ABC 的面积为 S      14 （5 分）已知向量 ，向量 在向量 方向上的投影为 ，且 ，则     15 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0） ，其渐近线与圆（x2） 2+y22 相交，且渐近线被圆截得的两条弦长都为 2，则双曲线的离心率为     第 4 页（共 25 页）16 （5 分）已知球 O 的体积为 36，则该球的内接圆锥的体积的最大值为  

6、;   三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知a n为等差数列，且 a23，a n前 4 项的和为 16，数列b n满足b14，b 488，且数列b n an为等比数列（）求数列a n和b na n的通项公式；（）求数列b n的前 n 项和 Sn18 （12 分）市面上有某品牌 A 型和 B 型两种节能灯，假定 A 型节能灯使用寿命都超过5000 小时，经销商对 B 型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如图频率分布直方图：某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年新店面只需安装该品牌节能灯 5

7、 支（同种型号）即可正常营业经了解，A 型 20 瓦和 B 型 55 瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装已知 A 型和 B 型节能灯每支的价格分别为 120 元、25 元，当地商业电价为 0.75 元/千瓦时，假定该店面一年周转期的照明时间为 3600 小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换 （用频率估计概率）（）根据频率直方图估算 B 型节能灯的平均使用寿命；（）根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为 p，那么 n 支灯管估计需要更换 np 支若该商家新店面全部安装了 B 型节能灯，试估计一年内需更换的支数；（）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节

8、能灯，请说明理由19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC AA12，D 为棱 CC1 的中点AB1A 1BO（1）证明：C 1O平面 ABD；（2）已知 ACBC，ABD 的面积为 ，E 为线段 A1B 上一点，且三棱锥 CABE 的体积为 ，求 第 5 页（共 25 页）20 （12 分）已知圆 M：（xa） 2+（yb） 29，M 在抛物线 C：x 22py（p0）上，圆 M 过原点且与 C 的准线相切（） 求 C 的方程；（） 点 Q（ 0，t） （t0） ，点 P（与 Q 不重合）在直线 l：yt 上运动，过点 P作 C 的两条切线，切点分别为 A，B 求证：

9、AQO BQO（其中 O 为坐标原点） 21 （12 分）已知函数 f（x ）（x2）lnx+2x3 的定义域为1，+） （1）判断函数 f（x ）的零点个数，并给出证明；（2）若函数 g（x）（x a）lnx + 在1，+）上为增函数，求整数 a 的最大值（参考数据：ln1.590.46， ln1.600.47， ）请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 过点 P（ a，1） ，其参数方程为（t 为参数，a R） ，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 cos

10、2+3cos0（1）求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程；（2）求已知曲线 C1 和曲线 C2 交于 A，B 两点，且|PA| 3|PB| ，求实数 a 的值23已知 a，b，cR，a 2+b2+c21（）求证：|a+ b+c| ；（）若不等式|x 1|+|x +1| （a+b+c） 2 对一切实数 a，b，c 恒成立，求实数 x 的取值范围第 6 页（共 25 页）第 7 页（共 25 页）2019 年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

11、.1 （5 分）已知集合 Ax|1x2，Bx|xa，若 ABA，则 a 的取值范围是（  ）A （，2 B （，1 C1 ，+） D2 ，+）【分析】根据 ABA 即可得出 AB，从而得出 a2【解答】解：ABA ；AB ；a2；a 的取值范围是2，+） 故选：D【点评】考查描述法的定义，交集的定义及运算，以及子集的定义2 （5 分）已知复数 z4+3 i，则 （  ）A43i B4+3i C + i D i【分析】把 z4+3 i 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z4+3 i，| z|5，则 故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数

12、模的求法，是基础题3 （5 分） “0a1 且 0b1”是“log ab0”的（  ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据对数函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可【解答】解：log ab0log a1，0a1，0b1，或 a1，b1，故 0a1 且 0b1”是“log ab0”的充分不必要条件，第 8 页（共 25 页）故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查对数函数的性质，是一道基础题4 （5 分）设椭圆 的左焦点为 F，直线 l：ykx（k 0）与椭圆 C 交于A，B 两点，则 |AF|+|BF|的值是（  

13、）A2 B C4 D【分析】题意可知四边形 AFBF2 是平行四边形，AFBF 2可得|AF|+|BF|丨 BF 丨+丨 BF2 丨2a4，【解答】解：如图，设 F2 是椭圆的右焦点，O 点为 AB 的中点，丨 OF 丨丨 OF2 丨，则四边形 AFBF2 是平行四边形，AFBF 2|AF|+|BF|丨 BF 丨+丨 BF2 丨2a4，故选：C【点评】本题考查椭圆的性质，考查椭圆的定义，考查数形结合思想，属于中档题5 （5 分）从装有 3 双不同鞋的柜子里，随机取 2 只，则取出的 2 只鞋不成对的概率为（  ）A B C D【分析】基本事件总数 n 15，取出的 2 只鞋不成对包含

14、的基本事件m 12，由此能求出取出的 2 只鞋不成对的概率【解答】解：从装有 3 双不同鞋的柜子里，随机取 2 只，基本事件总数 n 15，取出的 2 只鞋不成对包含的基本事件 m 12，第 9 页（共 25 页）则取出的 2 只鞋不成对的概率为 p 故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6 （5 分）实数 x，y 满足不等式组 ，若 z3x+y 的最大值为 5，则正数 m 的值为（  ）A2 B C10 D【分析】由题意作出其平面区域，将 z3x+y 化为 y3x+z，z 相当于直线 y3x+z的纵截距，从而解方程

15、可求出 m，即可【解答】解：由题意作出实数 x，y 满足不等式组 的平面区域，将 z3x+y 化为 y3x +z，z 相当于直线 y3x+z 的纵截距，故结合图象可得， ，解得，x1，y2；故 m2；故选：A【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题第 10 页（共 25 页）7 （5 分）若 cos2 ， ，则 tan（ ）（  ）A2 B C2 D【分析】由已知展开二倍角的余弦求得 cos，进一步得到 tan，然后展开两角和的正切求解【解答】解：由 cos22cos 21 ，且 ，得 cos ，则 sin ，tan tan（ ） 故选：B【点评】本题考查三角函数的

16、化简求值，考查倍角公式及两角和的正切，是基础题8 （5 分）运行下列程序框图，若输出的结果是 2252112232472952，则判断框内的条件是（  ）Ai91？ Bi 100？ Ci191？ Di200？【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：第一次 i2 满足条件， S12 22 2，i 5 ，第二次 i5 满足条件，S2 252，i 11，第三次 i11 满足条件，S 2252112，i 23，第四次 i23 满足条件，S 2252112232，i 47，第五次 i47 满足条件，S 2252112232472，i 95，第 11 页（共 25 页）第六次 i95 满

17、足条件，S 2252112232472952，i 190，此时 i190 不满足条件故条件为 i100？故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键9 （5 分）如图，在下列四个正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F，G 均为所在棱的中点，过 E，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线 BD1 与平面 EFG 不垂直的是（  ）A BC D【分析】画出截面图形，利用直线与平面垂直的判定定理判断即可【解答】解：如图在正方体中，E，F，G ，M ，N ，Q 均为所在棱的中点，是一个平面图形，直线 BD1 与平面 EFMNQG 垂

18、直，并且选项 A、B 、C 中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项 D 直线 BD1 与平面 EFG 不垂直故选：D【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理第 12 页（共 25 页）能力10 （5 分）已知 f（x ）A sin（x+） （A0，0，| ）是定义域为 R 的奇函数，且当 x2 时， f（x ）取得最大值 2，则 f（1）+f （2）+f（3）+f（100）（  ）A2+2 B22 C22 D0【分析】由条件利用正弦函数的奇偶性求得 ，再根据当 x2 时，f（x）取得最大值2，求得 A、 的值，可得 f（x）的解析式，再根据它的

19、周期性，求得所给式子的值【解答】解：由于 f（x ）Asin（x+） （A0，0，| | ）是定义域为 R 的奇函数，0，f（x）Asin x由于当 x2 时，f（x）取得最大值 2，故 A2，sin21，22k+ ，kZ，即k+ ，k Z故可取 ，此时，f（x）sin x，故函数 f（x ）的周期为 8求得 f（1）+f（2）+ f（3）+f（8） +2+ +0 2 +00，f（1）+f（2）+ f（3）+f（100）120+f（1）+f （2）+f（3）+ f（4）2+2 故选：A【点评】本题主要考查正弦函数的奇偶性和周期性，利用函数的周期性求函数的值，属于基础题11 （5 分）已知函数

20、f（x ）与其导函数 f（x）的图象如图，则函数 g（x） 的单调减区间为（  ）A （0，4） B （0， ）C （0，1） ， （4，+ ） D （， 1） ， （ ）【分析】利用导函数的图象以及原函数的图象的关系，得到 f（x）f（x）的符号，第 13 页（共 25 页）把 g（x） 求导得答案【解答】解：由题意可知导函数是二次函数，原函数是 3 次函数，由 g（x） ，得 g（x） ，由图可知，当 x（，0）时，f（x）f （x）0， g（x）0；当 x（0，1）时， f（x ） f（x）0，g（x）0；当 x（1，4）时， f（x ） f（x）0，g（x）0；当 x（4，+

21、）时，f（x ） f （x）0，g（x）0函数 g（x） 的单调减区间为（0，1） ， （4，+） 故选：C【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，函数的单调性以及二次函数与 3 次函数的图象的区别，是中档题12 （5 分）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义xk（kN ）是函数零点近似解的初始值，过点 Pk（x k，f （ xk） ）的切线为 yf （x k）（xx k）+ f（x k） ，切线与 x 轴交点的横坐标 xk+1，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数 f（x）x 22，满足x02 应用上述方法，则 x

22、3（  ）A B C D【分析】先阅读题意，再利用直线横截距的求法得：点 Pk（x k，f（x k） ）为切点的切线为：y2x kxx k22，令 y 0 得：x k+1x ，当 x02 时，x1 ，x 2 ，x 3 ，得解第 14 页（共 25 页）【解答】解：因为 f（x ）x 22，所以 f（x） 2x，又以点 Pk（x k， f（x k） ）为切点的切线为 yf （x k） （xx k）+f（x k） ，即切线方程为：y2x kxx k22，令 y0 得：xk+1x ，当 x02 时，x 1 ，x 2 ，x 3 ，故选：D【点评】本题考查了阅读能力及直线横截距的求法，属中档题

23、二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a ，A ，B，则ABC 的面积为 S     【分析】由 A 与 B 的度数，以及 a，利用正弦定理求出 b 的值，以及 C 的度数，再利用三角形面积公式即可求出 S【解答】解：a ，A ，B ，由正弦定理 ，得：b ，C ，sinCsin （ + ） + ，S absinC 故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键14 （5 分）已知向量 ，向量 在向量 方向上的投影为 ，且 ，则 5

24、第 15 页（共 25 页）【分析】由题意可得| |cos ， 2 ，再根据 2 + 10，求得  的值，可得 的值【解答】解：向量 ，向量 在向量 方向上的投影为 ，| |cos ， 2 ， 2 + 10，即 52 2 + 10， 25，则 5，故答案为：5【点评】本题主要考查一个向量在另一个向量上的投影的定义，两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题15 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0） ，其渐近线与圆（x2） 2+y22 相交，且渐近线被圆截得的两条弦长都为 2，则双曲线的离心率为    【分析】求得圆的圆心和半径，求得双曲线的方程的

25、渐近线方程，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解方程可得 a23b 2，由 a，b，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：双曲线 C： 1（a0，b0） ，的渐近线方程为 y x，取一条渐近线方程为 bx+ay0，圆（x2） 2+y22，圆心为（2，0） ，半径为 ，圆心到渐近线的距离为 d ，由弦长公式可得 22 ，化简可得 a23b 2，即有 c2a 2+b24b 2，则 e 第 16 页（共 25 页）故答案为： 【点评】本题考查双曲线离心率的计算，主要是渐近线方程的运用，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题16 （5 分）已知球 O 的体积为 36

26、，则该球的内接圆锥的体积的最大值为    【分析】先确定球的半径，利用 V ，根据基本不等式即可求得结论【解答】解：球的体积为 36球的半径为 3设球的内接圆锥的底面半径为 r，高为 h，则 r2h（6h） ，V 球的内接圆锥的体积的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查球的内接圆锥，解题的关键是利用 V ，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知a n为等差数列，且 a23，a n前 4 项的和为 16，数列b n满足b14，b 488，且数列b n an为等比数列（）求数列a n和b na

27、n的通项公式；（）求数列b n的前 n 项和 Sn【分析】 （）根据等差数列的定义即可求出 an2n1，根据等比数列的定义即可求出bna n3 n，（）分组求和即可【解答】解：（）设a n的公差为 d，因为 a23，a n前 4 项的和为 16，所以 a1+d3， ，解得 a11，d2，所以 an1+（n1）22n1第 17 页（共 25 页）设b na n的公比为 q，则 ，所以 ，得 q3，所以 （）由（）得 ，所以 +（1+3+5+2n1） 【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算能力，属于中档题18 （12 分）市面上有某品牌 A 型和 B 型两种节能灯，假

28、定 A 型节能灯使用寿命都超过5000 小时，经销商对 B 型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如图频率分布直方图：某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年新店面只需安装该品牌节能灯 5 支（同种型号）即可正常营业经了解，A 型 20 瓦和 B 型 55 瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装已知 A 型和 B 型节能灯每支的价格分别为 120 元、25 元，当地商业电价为 0.75 元/千瓦时，假定该店面一年周转期的照明时间为 3600 小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换 （用频率估计概率）（）根据频率直方图估算 B 型节能灯的平均使用寿命；（）根据统计知识

29、知，若一支灯管一年内需要更换的概率为 p，那么 n 支灯管估计需要更换 np 支若该商家新店面全部安装了 B 型节能灯，试估计一年内需更换的支数；（）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由【分析】 （）根据频率直方图能估算 B 型节能灯的平均使用寿命（）使用寿命不超过 3600 小时的频率为 0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的第 18 页（共 25 页）概率为 0.8，由此能估计一年内 5 支 B 型节能灯需更换的支数（）若选择 A 型节能灯，一年共需花费 5120+36005200.75103 870 元，若选择 B 型节能灯，一年共需花费（5+4

30、）25+36005550.7510 3 967.5元从而该商家应选择 A 型节能灯【解答】解：（）由图可知，各组中值依次为 3100，3300，3500，3700，对应的频率依次为 0.1，0.3，0.4，0.2，故 B 型节能灯的平均使用寿命为：31000.1+33000.3+35000.4+37000.23440 小时（）由图可知，使用寿命不超过 3600 小时的频率为 0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为 0.8，故估计一年内 5 支 B 型节能灯需更换的支数为 50.84（）若选择 A 型节能灯，一年共需花费 5120+36005200.75103 870 元，若选择 B

31、型节能灯，一年共需花费（5+4）25+36005550.7510 3 967.5 元因为 967.5820，所以该商家应选择 A 型节能灯【点评】本题考查平均数、频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC AA12，D 为棱 CC1 的中点AB1A 1BO（1）证明：C 1O平面 ABD；（2）已知 ACBC，ABD 的面积为 ，E 为线段 A1B 上一点，且三棱锥 CABE 的体积为 ，求 第 19 页（共 25 页）【分析】 （1）取 AB 的中点 F，连接 OF，D

32、F 推导出四边形 OFDC1 为平行四边形，则C1ODF由此能证明 C1O平面 ABD（2）过 C 作 CHAB 于 H，连接 DH，推导出 DCAB， ABDH 求出 BC2设 E到平面 ABC 的距离为 h，则 ，求出 h1，由此推导出 E 与 O 重合， 【解答】证明：（1）取 AB 的中点 F，连接 OF，DF，侧面 ABB1A1 为平行四边形，O 为 AB1 的中点， ，又 ， ，四边形 OFDC1 为平行四边形，则 C1ODFC 1O平面 ABD，DF平面 ABD，C 1O平面 ABD解：（2）过 C 作 CHAB 于 H，连接 DH，DC平面 ABC，DCAB又 CHCD C，A

33、B 平面 CDH，ABDH设 BCx，则 ， ， ，ABD 的面积为 ，x2设 E 到平面 ABC 的距离为 h，则 ，h1，E 与 O 重合， 【点评】本题考查线面平行的证明，考查多面体的体积的求法及应用，考查空间中线线、第 20 页（共 25 页）线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20 （12 分）已知圆 M：（xa） 2+（yb） 29，M 在抛物线 C：x 22py（p0）上，圆 M 过原点且与 C 的准线相切（） 求 C 的方程；（） 点 Q（ 0，t） （t0） ，点 P（与 Q 不重合）在直线 l：yt 上运动，过点 P作 C 的两条

34、切线，切点分别为 A，B 求证：AQO BQO（其中 O 为坐标原点） 【分析】 （I）解法一：可得 ，a 2+b29，即 ，又 a22pb，所以，解得 p4，即可解法二：可得圆 M 必过抛物线的焦点 ，又圆 M 过原点，得 ，又圆的半径为 3，得 ，又 a22pb，得 p4即可；解法三：由圆 M 与抛物线准线相切，得 ，且圆过 又圆过原点，故 ，可得 ，解得 p4，即可（）：设 A（x 1，y 1） ，B（ x2，y 2） ，P（m，t） ，切线 PA 方程为：yy 1可得t ，即 x1，x 2 为方程 x22mx8t0 的两根，所以x1+x22m，x 1x28t，因为 Q（0，t） ，所以

35、 kAQ+kBQ 即可得AQO BQO【解答】解：（I）解法一：因为圆 M 的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，且圆半径为 3，故 ， （1 分）因为圆过原点，所以 a2+b29，所以 ， （2 分）第 21 页（共 25 页）又 a22pb，所以 ， （3 分）因为 p0，所以 p4，所以抛物线 C 方程 x28y （4 分）解法二：因为圆 M 的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，由抛物线的定义，圆 M 必过抛物线的焦点 ， （1 分）又圆 M 过原点，所以 ， （ 2 分）又圆的半径为 3，所以 ，又 a22pb， （3 分）又 ，得 p216（p0） ，所以 p4所以抛物线 C 方程

36、 x28y （4 分）解法三：因为圆 M 与抛物线准线相切，所以 ， （1 分）且圆过 又圆过原点，故 ，可得 ， （3 分）解得 p4，所以抛物线 C 方程 x28y （4 分）（）  解：设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，P（m，t） ，C 方程为 ，所以 y ， （5 分）抛物线在点 A 处的切线的斜率 k ，所以切线 PA 方程为：yy 1即 ，化简得 y （6 分）又因过点 P（m，t） ，故可得t （7 分）即 x122mx 18t，同理可得 x222mx 28t （8 分）所以 x1，x 2 为方程 x22mx 8t0 的两根，所以 x1+x2 2m

37、，x 1x28t， （9 分）因为 Q（0，t） ，所以 kAQ+kBQ 所以AQO BQO （12 分）【点评】本题考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查了方程思想、转化思想，考查了运算能力，属于难题21 （12 分）已知函数 f（x ）（x2）lnx+2x3 的定义域为1，+） （1）判断函数 f（x ）的零点个数，并给出证明；第 22 页（共 25 页）（2）若函数 g（x）（x a）lnx + 在1，+）上为增函数，求整数 a 的最大值（参考数据：ln1.590.46， ln1.600.47， ）【分析】 （1）对函数 f（x ）求导，由 f（x）0 在1，+）上恒成立，则

38、f（x）在1，+ ）上为增函数，由 f（1）0，f（2）0 可判断出函数有唯一零点；（2）对函数 g（x）求导，分离参变量， 在（1，+）上恒成立，构造新函数 h（x）求导，由（1）可知，a 小于等于 h（x）在区间1 ，+ ）上的最小值，根据函数的单调性，求得函数 h（x）最小值的取值范围，即可取得整数 a 的最大值【解答】解：（）f（x ）（x2）lnx+2x3，f （x） 在1，+）上为增函数，且 f（x）f（1）1，故 f（x）（x2）lnx+2x3 在1，+）上为增函数，又 f（1）0+2 310， f（2）0+4310，则函数 f（x）在 1，+ ）上有唯一零点；（）g（x）（x

39、a）lnx+ ，g（x ）lnx+1 0 在1 ，+）上恒成立，当 x1 时显然成立，当 x1 时，可得 a 在（1，+）上恒成立，令 h（x） ，则 ah（x） min，x （1，+） ，h（x） ，由（）可知：f（x ）（x2）lnx+2x3 在1，+）上为增函数，故 f（x）在1，+ ）上有唯一零点 m，则 x（1，m）时，h（x ）0，h（x ）在区间（1，m 上为减函数，x（m，+）时，h（x ）0，h（x ）在区间 m，+ ）上为增函数，故 xm 时，h（x）有最小值， 又 f（1.60）0.40ln1.60+0.200.0120，f（1.59）0.41ln1.59+0.180.0

40、0860，第 23 页（共 25 页）则 m（1.59，1.60） ，有 f（m）（m2）lnm+2m30，得 lnm ，h（m） ，m （1.59，1.60） ，令 2mt（0.4，0.41） ，则 h（x ）最小值 h（m） （， ） ， 6.17， 6.4，则 h（x）的最小值大约在 6.176.4 之间，故整数 a 的最大值为 6【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，考查计算能力，属难题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 过点 P（ a，

41、1） ，其参数方程为（t 为参数，a R） ，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 cos2+3cos0（1）求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程；（2）求已知曲线 C1 和曲线 C2 交于 A，B 两点，且|PA| 3|PB| ，求实数 a 的值【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化（2）利用直线和曲线的位置关系的应用，利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果【解答】解：（1）C 1 的参数方程 ，消参得普通方程为 xy a+10，C2 的极坐标方程化为 2cos2+3cos 20，即 y23

42、x；（2）将曲线 C1 的参数方程标准化为 （t 为参数， aR）第 24 页（共 25 页）代入曲线 ，得 ，由 ，得 a ，设 A，B 对应的参数为 t1，t 2，由题意得|t 1|3|t 2|即 t13t 2 或 t13t 2，当 t13t 2 时， ，解得 a ，当 t13t 2 时， ，解得 ，综上：  或 a 【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线位置关系式的应用，参数的确定23已知 a，b，cR，a 2+b2+c21（）求证：|a+ b+c| ；（）若不等式|x 1|+|x +1| （a+b+c） 2 对一切实数 a，b，c 恒

43、成立，求实数 x 的取值范围【分析】 （）由柯西不等式得， （a+b+c） 2（1 2+12+12） （a 2+b2+c2） ，即可得证；（）不等式|x 1|+|x +1|（ a+b+c） 2 对一切实数 a，b，c 恒成立，则由（）可知，|x 1|+|x+1|3，运用绝对值的定义，即可解出不等式【解答】 （）证明：由柯西不等式得， （a+b+c） 2（1 2+12+12） （a 2+b2+c2） ，即有（a+b+c） 23，即有| a+b+c| ；（）解：不等式|x 1|+|x +1|（a+b+c） 2 对一切实数 a，b，c 恒成立，则由（）可知，|x 1|+|x +1|3，第 25 页（共 25 页）由 x1 得，2x3，解得，x ；由 x1，2x 3 解得，x ，由1x1 得，23，不成立综上，可得 x 或 x 则实数 x 的取值范围是（ ） 【点评】本题考查柯西不等式的运用，考查不等式恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，属于中档题