2019年湘教版数学选修2-3讲义+精练：7.4二项式定理（含解析）

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1、7.4 二项式定理第一课时 二项式定理及应用读教材填要点1杨辉三角的特点是两条斜边上的数字都是 1，其余的数都是它“肩上”的两个数的和2二项式定理对于正整数 n，(ab) nC anC an1 bC anr brC bn.0n 1n rn n3二项展开式的通项公式我们称 C anr br 是二项展开式的第 r1 项，其中 C 称作第 r1 项的二项式系rn rn数把 Tr1 C anr br(其中 0r n，rN，nN )叫做二项展开式的通项公式rn小问题大思维1二项展开式中的字母 a，b 能交换位置吗？提示：二项展开式中的字母 a，b 是不能交换的，即虽然(ab) n 与(ba) n 结果相

2、同，但(ab )n 与(b a)n 的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，二者不能混淆，如(ab) 3 的展开式中第 2 项是 3a2b，而(ba) 3 的展开式中第 2 项是 3ab2，两者是不同的2二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示：二项式系数 C 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式rn的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关二项式定理的应用例 1 (1)求 4 的展开式；(3x 1x)(2)化简：(x1) 55( x1) 410( x1) 310(x1) 25( x1)解 (1)法一： 4(3x 1

3、x)C (3 )4C (3 )3 C (3 )2 2C (3 ) 3C 404 x 14 x1x 24 x (1x) 34 x (1x) 4(1x)81x 2108x54 .12x 1x2法二： 4(3x 1x) 3x 14x21x2C043x4 C143x3 C243x2 C343x1 C43x0 (81x4108x 354x 212x1)1x281x 2108x54 .12x 1x2(2)原式C (x1) 5C (x1) 4C (x1) 3C (x1) 2C (x1)C (x1) 0105 15 25 35 45 5(x1)1 51x 51.(1)记准、记熟二项式(ab) n 的展开式，是

4、解答好与二项式有关问题的前提条件，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷(2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律及各项的系数1(1)求 5 的展开式；(2x 1x2)(2)化简：(2 x1) 55(2 x1) 410(2 x1) 310(2x1) 25(2 x1)1.解：(1)法一： 5(2x 1x2)C (2x)5C (2x)4 C (2x)3 2C (2x)2 3C (2x) 4C 505 151x2 25 (1x2) 35 (1x2) 45 (1x2) 5(1x2)32x 580x 2 .80x 40x4 10x7 1x10法二

5、： 5 5 (12x 3)5(2x 1x2) 1x22x3 1 1x10 1C (2x3)C (2x3)2C (2x3)3C (2x3)4C (2x3)51x10 15 25 35 45 5 80x 232x 5.1x10 10x7 40x4 80x(2)原式C (2x1) 5C (2x1) 4C (2x1) 3C (2x1) 2C (2x1)C (2x1)05 15 25 35 45 50(2x 11) 5(2x )532x 5.二项式系数与项的系数问题例 2 (1)求二项式 6 的展开式中第 6 项的二项式系数和第 6 项的系数；(2x 1x)(2)求 9 的展开式中 x3 的系数(x 1

6、x)解 (1)由已知得二项展开式的通项为Tr1 C (2 )6r rr6 x ( 1x)2 6r C (1) rx ， r633r2 T612 x .92 第 6 项的二项式系数为 C 6，56第 6 项的系数为 C (1) 52 12.56(2)设展开式中的第 r1 项为含 x3 的项，则Tr1 C x9r r(1) rC x92r ，r9 ( 1x) r9令 92r3，得 r3，即展开式中第四项含 x3，其系数为(1) 3C 84.39本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数 ”解：由通项 Tr 1( 1) rC 26r x ，r6332r 知第四项的二项式系数

7、为 C 20，36第四项的系数为 C (1) 323160.36求某项的二项式系数或展开式中含 xr 的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别2已知 n 的展开式中，第 6 项为常数项(3x 123x)(1)求 n 的值；(2)求展开式中 x2 的系数解：(1) n 的展开式的通项为 Tr1 C ( )nr r rC x .(3x 123x) rn 3x ( 123x) ( 12) rn n2r3 又第 6 项为常数项，所以当 r5 时， 0，即 n2r10.n 2r3(2)由(1)，得 Tr1 rC x ，( 12) r10102r3 令 2，得

8、r2，10 2r3所以展开式中 x2 的系数为 2C .( 12) 210 454与展开式中的特定项有关的问题例 3 (1) 6 的展开式中，常数项是( )(x2 12x)A B.54 54C D.1516 1516(2)若(x 2a) 10 的展开式中 x6 的系数为 30，则 a 等于( )(x 1x)A. B.13 12C1 D2解析 (1) 6 展开式的通项(x2 12x)Tr1 C (x2)6r r rC x123r ，r6 ( 12x) ( 12) r6令 123r0，解得 r4.所以常数项为 4C .( 12) 46 1516(2)依题意，注意到 10 的展开式的通项公式是 Tr

9、1 C x10r rC x102r ，(x 1x) r10 (1x) r1010 的展开式中含 x4(当 r3 时) 、x 6(当 r2 时)项的系数分别为 C 、C ，因此由题(x 1x) 310 210意得 C aC 12045a30，由此解得 a2.310 210答案 (1)D (2)D求展开式中特定项的方法求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项， 再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征， 列出方程或不等式即可求解有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数3已知在 n 的展开式中，第 6 项为常数项(3x 33x)(1)求 n 的值；(2)

10、求含 x2 的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项解：(1)通项为 Tr1 C x (3) rx C (3) rx .rnnr3 r3 rn n2r3 因为第 6 项为常数项，所以 r5 时，有 0，即 n10.n 2r3(2)令 2，得 r (n6)2.n 2r3 12所以所求的系数为 C (3) 2405.210(3)根据通项，由题意得Error!所以 r 可取 2,5,8.所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 C (3) 2x2，C (3) 5，C (3) 8x2 ，210 510 810即 405x2，61 236,295 245x 2 .解题高手 妙解题若(2

11、x 3)3a 0a 1(x2)a 2(x2) 2a 3(x2) 3，求 a0a 12a 23a 3 的值尝试 巧思 因为展开式为 x 2 的多项式，因此可考虑将 2x3 变形为 2x32(x2)1，然后利用二项式定理展开即可妙解 由(2 x3) 32( x2)1 3C 2(x2) 3(1) 0C 2(x2) 2(1) 1C 2(x2) 1(1) 2C 2(x2) 0(1) 303 13 23 38(x 2)312(x 2) 26(x2) 1a 0a 1(x2)a 2(x2) 2a 3(x2) 3.则 a01，a 16，a 212，a 38.则 a0a 12a 23a 35.1( x1) 5 的

12、展开式中第 3 项的系数为( )2A20 B202C20 D20 2解析：选 D T r1 C ( x)5r (1) r，r5 2T 21 C ( x)3(1) 2( )3C x320 x3，25 2 2 25 2第 3 项的系数为 20 .2212C 4C 8C (2) nC ( )1n 2n 3n nA1 B1C(1) n D3 n解析：选 C 逆用公式，将 1 看作公式中的 a，2 看作公式中的 b，可得原式(12)n( 1) n.3. 9 展开式中的第四项是( )(x 1x)A56x 3 B84x 3C56x 4 D84x 4解析：选 B 由通项公式有 T4C x6 384x 3.39

13、 (1x)4. 9 的展开式中，常数项为_(2x 1x)解析：T r1 C (2x)9r r( 1) r29r C x ，r9 ( 1x) r9 32r 令 9 r0，得 r6.32T7 C 23672.69答案：6725若(x a) 10 的展开式中，x 7 的系数为 15，则 a_.(用数字填写答案)解析：二项展开式的通项公式为 Tr1 C x10r ar，当 10r7 时，r10r3，T 4C a3x7，则 C a315，故 a .310 31012答案：126已知 n(nN )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 101，求(x 2x2)展开式中含 x 的项32解：由题意知第五项

14、的系数为 C (2) 4，第三项的系数为 C (2) 2，则 4n 2nC4n 24C2n 22，101解得 n8(n3 舍去)所以通项为Tr1 C ( )8r rC (2) rx .r8 x ( 2x2) r8 85r2 令 ，得 r1.8 5r2 32展开式中含 x 的项为 T2 16x .32 32 一、选择题1(x )10 展开式中 x6 的系数是( )2A8C B8C410 410C4C D4C410 410解析：选 D T r1 C x10r ( )r，r10 2令 10r6，r4，T 5( )4C x64C x6，系数为 4C .2 410 410 4102若(12x) 5 的展

15、开式中，第 2 项小于第 1 项，且不小于第 3 项，则 x 的取值范围是( )A. B.( ， 110) ( 110，0C. D. 14，110) 14，0解析：选 B T 1C 1，T 2C (2x )10x ，05 15T3C (2x) 240x 2.25根据题意可知Error!即Error!解得 x0.1103. n 的展开式中，常数项为 15，则 n 的值为( )(x2 1x)A3 B4C5 D6解析：选 D 由通项公式 Tr1 C (x2)nr (1) rxrrn(1) rC x2n3r .rn令 2n3r0，得(1) rC 15，由 r n，rN ，排除选项 B、C，再将选项 B

16、、Drn23代入验证 n6.4在 6 的二项展开式中， x2 的系数为( )(x2 2x)A B.154 154C D.38 38解析：选 C 在 6 的展开式中，第 r1 项为(x2 2x)Tr1 C 6r rC 6r x3r (2) r，r6(x2) ( 2x) r6(12)当 r1 时，为含 x2 的项，其系数是 C 5(2) .16(12) 38二、填空题5. 10 的展开式中含 x 的正整数指数幂的一共有_项(x 13x)解析：因为 Tr 1C ( )10 r rr10 x ( 13x)C rx ，r10( 13) 532r 由 5 rN 知 r0 或 r2，所以展开式中含 x 的正

17、整数指数幂的一共有 2 项32答案：26若(1 )4 ab ，则 ab_.2 2解析：(1 )4C ( )0C ( )1C ( )2C ( )3C ( )2 04 2 14 2 24 2 34 2 4 2414 128 41712 ，由已知，得 1712 ab ，2 2 2 2 2a 17，b12，故 ab17 125.答案：57. 5 的展开式中 x8 的系数是_(用数字作答) (x3 12x)解析：T r1 C (x3)5r rC x153r rx rC x (r0,1,2,3,4,5)，r5 (12x) r5 (12) r2 (12) r5 307r2 由 8，得 r2，30 7r2 2

18、C .(12) 25 52答案：528(1xx 2) 6 的展开式中的常数项为 _(x 1x)解析： 6 的展开式中，T r1 C x6r r(1) rC x62r ，令 62r0，得(x 1x) r6 ( 1x) r6r3，T 4C (1) 3C ，令 62r1，得 r (舍去)，令 62r2，得36 3672r4，T 5C (1) 4x2 ，所以 (1xx 2) 6 的展开式中的常数项为 1(C )46 (x 1x) 36C 20155.46答案：5三、解答题9已知在 n 的展开式中，第 5 项的系数与第 3 项的系数之比为 563，求展开(x 2x2)式中的常数项解：T 5C ( )n4

19、 24x8 16C x ，4n x 4nn20 T3C ( )n2 22x4 4C x2n x 2nn102 由题意知， ，16C4n4C2n 563解得 n10.Tr1 C ( )10r 2rx2r 2 rC x ，r10 x r10105r2 令 5 0，解得 r2，5r2展开式中常数项为 C 22180.21010已知( )n(其中 n15)的展开式中第 9 项，第 10 项，第 11 项的二项式系数成x 3x等差数列(1)求 n 的值；(2)写出它展开式中的所有有理项解：(1)( )n(其中 n15)的展开式中第 9 项，第 10 项，第 11 项的二项式系数分别x 3x是 C ， C

20、 ，C .依题意得 2 ，8n 9n 10nn！8！ n 8！ n！10！ n 10！ n！9！ n 9！化简得 90(n9)( n8)20(n8) ，即 n237n3220，解得 n14 或 n23，因为 n15，所以 n14.(2)展开式的通项Tr1 C x x C x ，r1414r2 r3 r14 42r6 展开式中的有理项当且仅当 r 是 6 的倍数，0r14，所以展开式中的有理项共 3 项是：r0，T 1C x7x 7；014r6，T 7C x63 003x 6；614r12，T 13C x591x 5.124第二课时 二项式系数的性质及应用读教材填要点二项式系数的有关性质(1)二

21、项展开式一共有 n1 项(2)第一个字母 a 按降幂排列，第二个字母 b 按升幂排列(3)a 的幂加 b 的幂等于 n.(4)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 C Cmn.n mn(5)二项式系数从两端向中间逐渐增大，且当 n 是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当 n 是奇数时，中间的两项的二项式系数 C ，C 相等，且同时取得最大值n n(6)C C C C 2 n，这可以在二项式定理中取 a1，b1 得到0n 1n 2n n(7)C C C (1) nC 0，这可以在二项式定理中取 a1，b1 得到0n 1n 2n n小问题大思维1若(ab) n 的

22、展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 为何值？提示：由二项式系数的性质可知，第 5 项为二项展开式的中间项，即二项展开式共有9 项，故 n8.2(ab) n 的展开式的各个二项式系数的和与 a，b 的取值有关系吗？提示：(ab) n 的展开式的各个二项式系数的和与 a，b 的值无关，其和为C C C C 2 n.0n 1n 2n n求展开式的系数和例 1 若(3 x1) 7a 7x7a 6x6a 1xa 0，求(1)a1a 2a 7；(2)a1a 3a 5a 7；(3)a0a 2a 4a 6；(4)|a0|a 1| a2|a 7|.解 (1)令 x0，则 a01，令 x1，则 a7a

23、 6a 1a 02 7128.a1 a2a 7129.(2)令 x1，则a 7a 6a 5a 4a 3a 2a 1a 0(4) 7，由 得： a1a 3a 5a 7 128(4) 78 256. 2 12(3)由 得： 2a0a 2a 4a 6 128(4) 78 128.12(4)法一：(3 x1) 7 展开式中 a0，a 2，a 4，a 6 均小于零，a 1，a 3，a 5，a 7 均大于零，|a0| a1|a 2| a7|a 1a 3a 5a 7(a 0a 2a 4 a6)8 256(8 128)16 384.法二：|a 0|a 1| a2|a 7|即为(1 3x) 7 展开式中各项的系

24、数和，|a0| a1|a 2| a7|(13) 74 716 384.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(axb) n, (ax2bxc) m(a，b，cR ，m，nN *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对(axby) n(a， bR，nN *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 xy 1 即可(2)一般地，若 f(x)a 0a 1xa 2x2a nxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0a 2a 4 ，f1 f 12偶数项系数之和为 a1a 3a 5 .f1 f 121设 f(x)(x 2x1) 9(2x1) 6，试求

25、f(x)的展开式中：(1)所有项的系数和；(2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和解：(1)所有项的系数和为 f(1)3 6729.(2)所有偶次项的系数和为 364，f1 f 12 36 12所有奇次项的系数和为 365.f1 f 12 36 12求展开式中系数或二项式系数最大的项例 2 在 8 的展开式中，(x 2x2)(1)系数绝对值最大的项是第几项？(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项解 T r1 C ( )8r rr8 x ( 2x2)(1) rC 2rx .r845r2 (1)设第 r1 项系数的绝对值最大则Error!Error!5r 6，又

26、 rN ，r 5 或 r6.故系数绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第 5 项T5 C 24x 1 120x 6 .48420 (3)由(1)知，展开式中的第 6 项和第 7 项系数的绝对值最大，而第 6 项的系数为负，而7 项的系数为正则系数最大的项为T7C 26x11 1 792x 11 .68(4)系数最小的项为T6C 25x 1 792x .58172 172 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式( 组) ，解不等式(组) 的方法求解一般地，如果第 r1 项的系数最大，则与之相邻两项

27、(第 r 项，第 r2 项)的系数均不大于第 r1 项的系数，由此列不等式组可确定 r 的范围，再依据 rN *来确定 r 的值，即可求出最大项2已知 n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为 32.(x 3x2)(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解：令 x1，则展开式中各项系数和为(1 3)n2 2n.又展开式中二项式系数和为 2n， 2 n32，n5.22n2n(1)n 5，展开式共 6 项，二项式系数最大的项为第三、四两项，T3 C (x )3(3x2)290x 6，2523 T4C (x )2(3x2)3270x .352 23 (2)设展开式中

28、第 k1 项的系数最大，则由 Tk1 C (x )5k (3x2)k3 kC x ，k523 k5104k3 得Error! k ，k 4，72 92即展开式中系数最大的项为T5C (x )(3x2)4405x .4523 263 解题高手 妙解题如果 C C C C ，求(1 x) 2n 的展开式中系数最大的项0n12 1n 13 2n 1n 1 n 31n 1尝试 巧思 由于 2n 是偶数，且(1x) 2n展开式中各项的系数即为二项式系数，因此系数最大的项应为第 n1 项，因此只需确定 n 的值即可等式可变形为(n1)C (n1)C (n1)C (n1)C C 31 ，而(n1)C C ，

29、 (n1)C0n12 1n 13 2n 1n n 1n n 0n 1n 1 12C ， (n1)C C ，.故利用二项式系数的性质即可解决1n 2n 113 2n 3n 1妙解 由 C C C C ，得0n12 1n 13 2n 1n 1 n 31n 1(n1)C (n1)C (n1)C (n1)C C 31，0n12 1n 13 2n 1n n 1n nC C C C C 31，1n 1 2n 1 3n 1 nn 1 n 1即 2n1 131，2 n1 32，n 15，即 n4.1(1x) 2n1 的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )An，n1 Bn1，nCn1，n2 Dn2，n3

30、解析：选 C 该式展开共 2n 2 项，中间有两项；第 n1 项与第 n2 项，所以第n1 项与第 n2 项为二项式系数最大的项2若 n 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为 ( )(x 1x)A10 B20 C 30 D 120解析：选 B 由 2n64，得 n6，T r1 C x6 r rC x62r (0r6，r N )r6 (1x) r6由 62r0，得 r3，T 4C 20.363若(12x) 2 018a 0a 1xa 2 018 x2 018(xR)，则 的值为( )a12 a222 a2 01822 018A2 B0C1 D2解析：选 C 令 x0，得 a01.令

31、 x ，得 a0 0，所以12 a12 a222 a2 01822 018 1.a12 a222 a2 01822 0184若(x 3y) n 的展开式中各项系数的和等于(7 ab) 10 的展开式中二项式系数的和，则n 的值为_解析：(7ab) 10 的展开式中二项式系数的和为 C C C 2 10，令(x3y) n01 10 10中 xy1，则由题设知，4 n2 10，即 22n2 10，解得 n5.答案：55(2x 1)10 展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为_解析：设(2x1) 10a 0a 1xa 2x2a 10 x10，令 x1，得 a0a 1a 2a 101，再令 x1，得31

32、0a 0a 1a 2a 3a 10，两式相减，可得 a1a 3a 9 .1 3102答案：1 31026已知(13x) n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于 121，求展开式中二项式系数最大的项解：由题意知，C C C 121，n n 1n n 2n即 C C C 121，1n 121，0n 1n 2nnn 12解之得 n15 或 n16(舍去 ) (13x) 15 的展开式中二项式系数的最大项为第 8 项和第 9 项，且 T8C (3x)7， T9C (3x)8.715 815一、选择题1已知(13x) 9a 0a 1xa 2x2a 9x9，则| a0|a 1| a2|a 9|等于(

33、)A2 9 B4 9C3 9 D1解析：选 B x 的奇数次方的系数都是负值，|a 0| |a1| a2|a 9|a 0a 1a 2a 3a 9.已知条件中只需赋值 x1 即可2关于(ab) 10 的说法，错误的是( )A展开式中的二项式系数之和为 1 024B展开式中第 6 项的二项式系数最大C展开式中第 5 项或第 7 项的二项式系数最大D展开式中第 6 项的系数最小解析：选 C 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为 2n，故 A 正确；当 n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展开式中第 6 项的系数是负数

34、，所以是系数中最小的3已知(1x) n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A2 9 B2 10C2 11 D2 12解析：选 A 由 C C ，得 n10，故奇数项的二项式系数和为 29.3n 7n4设 m 为正整数，(x y )2m 展开式的二项式系数的最大值为 a，(xy) 2m1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a7b，则 m 等于( )A5 B6C7 D8解析：选 B 由二项式系数的性质知，二项式 (xy) 2m 的展开式中二项式系数的最大值有一项，即 C a，m2二项式(xy) 2m1 的展开式中二项式系数的最大值有两项，即 C

35、 C b，m2m 1 m 12 因此 13C 7C ，m2 m2m 1所以 13 7 ，2m！m！ m！ 2m 1！m！ m 1！所以 m6.二、填空题5(12x) 2(1x )5a 0a 1xa 2x2a 7x7，则 a1a 2a 3a 4a 5a 6a 7 等于_解析：令 x0，得 a01，令 x1，得a0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 72 5， a1a 2a 3a 4a 5a 6 a72 5131.a1 a2a 3a 4a 5a 6a 731.答案：316(1 )20 的二项展开式中，x 的系数与 x9 的系数之差为_x解析：二项式(1 )20 的展开式的通项是 Tr1 C 1

36、20r ( )rC (1) rx .因x r20 x r2012r 此，(1 )20 的展开式中， x 的系数与 x9 的系数之差等于 C (1) 2C (1)x 20 182018C C 0.20 20答案：07若对任意的实数 x，有 x3a 0a 1(x2)a 2(x2) 2a 3(x2) 3，则 a2 的值为_解析：设 x2t，则 xt 2，原等式可化为(t 2) 3a 0a 1ta 2t2a 3t3，所以 a2C26.13答案：68在(1x) (1x )2(1x) 6 的展开式中，x 2 项的系数是_( 用数字作答)解析：由题意知C C C C C C C C C C2 23 24 2

37、5 26 3 23 24 25 26C C C C34 24 25 26C C C35 25 26C C C36 26 3776532135.答案：35三、解答题9设(2 x)100a 0a 1xa 2x2a 100x100，求下列各式的值：3(1)a0；(2)a1a 2a 3a 4a 100；(3)a1a 3a 5a 99；(4)(a0 a2 a 100)2(a 1 a3a 99)2；(5)|a0|a 1|a 100|.解：(1)令 x0，则展开式为 a02 100.(2)令 x1，可得a0a 1a 2a 100(2 )100，(*)3a1 a2a 100(2 )1002 100.3(3)令

38、 x1，可得 a0a 1a 2a 3a 100(2 )100.3与(*)式联立相减得 a1a 3a 99 .2 3100 2 31002(4)原式(a 0a 2a 100)(a 1a 3a 99)(a0a 2a 100)(a 1 a3a 99)(a 0a 1a 2a 100)(a0a 1a 2a 3a 98a 99a 100)(2 )(2 )1001 1001.3 3(5)Tr 1( 1) rC 2100r ( )rxr， a2r1 0(rN )r100 3|a0| a1|a 2| a100|a 0a 1a 2a 3a 100(2 )100.310已知( 3x2)n 展开式中各项系数和比二项式

39、系数和大 992.3x2(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解：令 x1 得展开式各项系数和为(13) n4 n.又展开式二项式系数和为 C C C 2 n，0n 1n n由题意有 4n2 n992.即(2 n)22 n9920，(2 n32)(2 n31) 0，2n31(舍去)或 2n32.所以 n5.(1)因为 n5，所以展开式共 6 项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是 T3C ( )3(3x2)290x 6.253x2T4C ( )2(3x2)3270x .353x223 (2)设展开式中第 r1 项的系数最大，又 Tr1 C ( )5r (3x2)rC 3rx ，得r53x2 r5104r3 Error!Error! r .72 92又因为 rN ，所以 r4，所以展开式中第 5 项系数最大T5C 34x 405x .45263 263