2019年湘教版数学选修2-3讲义+精练：8.3正态分布曲线（含解析）

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1、8.3 正态分布曲线读教材填要点1正态曲线及其特点(1)正态曲线的概念：函数 p(x) e ，x(，) ，其中实数 ，( 0)为参数，我们称12 x 222 p(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的特点曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线 x 对称；p(x)在 x 处达到最大值 ；12当 一定时，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移；当 一定时， 越大，正态曲线越扁平； 越小，正态曲线越尖陡；曲线与 x 轴之间所夹的面积等于 1.2标准正态分布随机变量 X 为服务从参数为 和 2 的正态分布，简记为 XN(， 2)特别当 0， 21 时称为标准正态

2、分布，其密度函数记为 (x) e 12 x22 ( ，122 1221c1)P( Xc1)P(X1.26)；(3)P(0.511.26)1P(X 1.26)10.896 20.103 8.(3)P(0.512)0.023，求 P(2X2) 解：因为随机变量 XN(0， 2)，所以正态曲线关于直线 x0 对称又 P(X2)0.023，所以 P(X2)P(X4)，所以 P(X4)1P(X4)10.20.8.解题高手 妙解题某厂生产的圆柱形零件的外直径 N(4,0.25)质检人员从该厂生产的 1000 件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为 5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？尝试 巧

3、思 要判断这批零件是否合格，由假设检验的基本思想可知，关键是看随机抽查的一件零件的外直径是在区间( 3，3 )之内，还是在区间(3，3 )之外若该零件的外直径在区间( 3，3 )之间，则认为该厂这批零件是合格的，否则，就认为该厂这批零件是不合格的妙解 由于圆柱形零件的外直径 N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布 N(4,0.25)在区间(430.5,430.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有 0.0026，而 5.7(2.5,5.5)这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的1正态分布密度函数为 ， (

4、x) e ，x(，) ，则总体的平均数和标18 x28 准差分别是( )A0 和 8 B0 和 4C0 和 2 D0 和 2解析：选 C 由条件可知 0，2.2右图是当 X 取三个不同值 X1，X 2，X 3 的三种正态曲线 N(0， 2)的图像，那么1， 2， 3 的大小关系是( ) A 11230B02130D04)0.2，而 P(X4)P( X3) (10.683)0.158 5，12在 (，3) 内取值的概率为10.158 50.841 5.一、选择题1已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1)，且 P(2X4)0.682 6，则 P(X4)( )A0.158 8 B0.158 7C

5、0.158 6 D0.158 5解析：选 B 正态曲线关于 3 对称，P(X4) 0.158 7.1 0.682 622设随机变量 X 服从正态分布 N(2， 2)，若 P(Xc)a，则 P(X4c)等于( )Aa B1aC2a D12a解析：选 B 因为 X 服从正态分布 N(2， 2)，所以正态曲线关于直线 x2 对称，所以 P(X4c)P(X c) 1a.3若随机变量 XN(2,100)，若 X 落在区间(，k)和(k，) 内的概率是相等的，则 k 等于( )A2 B10C. D可以是任意实数2解析：选 A 由于 X 的取值落在 (，k)和(k，)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线 x

6、k 的左侧和右侧与 x 轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线 xk 对称，即 k，而 2，k2.4已知某批零件的长度误差(单位：毫米) 服从正态分布 N(0，3 2)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量 服从正态分布 N(， 2)，则 P()68.26%，P (22 )95.44%.)A4.56% B13.59%C27.18% D31.74%解析：选 B 由正态分布的概率公式知P(33) 0.682 6，P(66) 0.954 4，故 P(36)P 66 P 332 0.135 913.59% ，故选 B.0.954 4 0.682 62二、填空

7、题5某市有 48 000 名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为 80，标准差为 10，从理论上讲，在 80 分到 90 分之间有_人解析：设 X 表示该市学生的数学成绩，则 XN (80,102)，则 P(8010X8010)0.683.所以在 80 分到 90 分之间的人数为 48 000 0.68316 392(人) 12答案：16 3926.右图是三个正态分布 XN(0，0.25)，Y N (0,1)，Z N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量 X， Y，Z 对应曲线分别是图中的_、_、_.解析：在密度曲线中， 越大，曲线越 “矮胖” ； 越小，曲线越 “瘦高” 答案： 7若

8、随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，已知 P(X1.96)0.025，则 P(|X|1.96)_.解析：由随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，得 P(X1.96)1P(X1.96)所以 P(|X|1.96)P( 1.96X1.96)P(X 1.96)P(X1.96)12P( X1.96)120.0250.950.答案：0.9508若随机变量 X 的正态分布密度函数是 ， (x) e (xR)，则122 x 28 E(2X1) _.解析：由题知 2， 2，故 E(2X1)2E(X) 12( 2)15.答案：5三、解答题9工厂制造的某机械零件尺寸 X 服从正态分布 N ，问在一次正常的

9、试验中，取(4，19)1000 个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？解： XN ，4， .(4，19) 13不属于区间(3,5)的概率为P(X3)P(X 5) 1P(3X5)1P(4 1 X41)1P( 3X3)199.7%0.3%.1 0000.0033(个)即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有 3 个10若随机变量 XN(0,1)，查表求：(1)P(0X2.31)；(2) P(1.38x0)；(3)P(|X|0.5)解：(1)P(0X 2.31)P(X 2.31)P(X0)0.989 60.50.489 6.(2)P(1.38X0)P(0X1.38)P(X 1.38)P(X0)0.916 20.50.416 2.(3)P(|X|0.5)P (0.5 X0.5)P(0.5X0)P (0X0.5)2P(0X 0.5)2P( X0.5) P(X0)2(0.691 50.5)20.191 50.383 0.