2019年湘教版数学选修2-3讲义+精练:7.2排列(含解析)
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1、72 排列第一课时 排列与排列数公式及简单应用读教材填要点1排列从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列用符号 A 表示排列的个数时,有mnA n( n1)(n2)(nm1)mn2排列数的相关公式n!123n,0!1.A n( n1)(n2)(nm1) .mnn!n m!小问题大思维1北京上海,上海北京的车票是同一个排列吗?提示:由于北京上海、上海北京的车票都与顺序有关,所以不是同一个排列2如何判断一个具体问题是不是排列问题?提示:判断一个具体问题是不是排列问题,就是看从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素
2、时是有序还是无序,有序就是排列,无序就不是排列3你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别?提示:“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列” ,它不是一个数,而是具体的一件事 “排列数”是指“从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素的所有不同排列的个数” ,它是一个数排列的概念例 1 判断下列问题是否是排列问题:(1)某班共有 50 名同学,现要投票选举正、副班长各一人,共有多少种可能的选举结果?(2)从 2,3,5,7,9 中任取两数分别作对数的底数和真数,有多少不同对数值?(3)从 1 到 10
3、 十个自然数中任取两个数组成点的坐标,可得多少个不同的点的坐标?(4)从集合 M 1,2,9中,任取相异的两个元素作为 a,b,可以得到多少个焦点在 x 轴上的椭圆方程 1?x2a2 y2b2解 (1)是选出的 2 人,担任正、副班长任意,与顺序有关,所以该问题是排列问题(2)是显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系,与顺序有关(3)是任取两个数组成点的坐标,横、纵坐标的顺序不同,即为不同的坐标,与顺序有关(4)不是焦点在 x 轴上的椭圆,方程中的 a、b 必有 ab,a、b 的大小一定排列的特点是“先取后排” ,即先从 n 个不同的元素中取出 m 个元素,再按一定顺序把这 m 个元素排成一
4、列因此,判断一个问题是否为排列问题,只需考察与顺序是否有关,有关则是排列问题,无关则不是排列问题1判断下列问题是不是排列问题,并说明理由(1)从 1,2,3,4 四个数字中,任选两个做加法,有多少种不同的结果?(2)从 1,2,3,4 四个数字中,任选两个做除法,有多少种不同的结果?(3)会场有 50 个座位,要求选出 3 个座位有多少种方法?若选出 3 个座位安排 3 位客人入座,又有多少种方法?解:(1)不是排列问题;(2) 是排列问题理由:由于加法运算满足交换律,所以选出的两个元素做加法时,与两元素的位置无关,但做除法时,两元素谁做除数,谁做被除数不一样,此时与位置有关,故做加法不是排列
5、问题,做除法是排列问题(3)第一问不是,第二问是理由:由于加法运算满足交换律,所以选出的两个元素做加法求结果时,与两个元素的位置无关,但列除法算式时,两个元素谁作除数,谁作被除数不一样,此时与位置有关选出 3 个座位与顺序无关, “入座”问题同“排队” ,与顺序有关,故选 3 个座位安排3 位客人入座是排列问题用列举法求简单的排列问题例 2 (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位不同的数,一共可以组成多少个?(2)写出从 4 个元素 a,b,c,d 中任取 3 个元素的所有排列解 (1)由题意作“树形图” ,如下故组成的所有两位数为 12,13,14,21,23,24,31,
6、32,34,41,42,43,共有 12 个(2)由题意作“树形图” ,如下故所有的排列为:abc,abd,acb,acd ,adb, adc,bac,bad,bca,bcd ,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac ,dba, dbc,dca,dcb.“树形图”是解决简单排列问题的有效方法,特别是元素较少时在具体操作中,先将元素按一定顺序排出,然后以安排哪个元素在首位为分类标准,进行分类,在每类中再在前面元素不变的情况下定第二位元素,依次一直进行到完成一个排列2写出 A,B ,C,D 四名同学站成一排照相,A 不站在两端的所有可能站法解:如图所示的树形
7、图:故所有可能的站法是BACD, BADC,BCAD ,BDAC ,CABD,CADB ,CBAD, CDAB,DABC,DACB,DBAC,DCAB ,共 12 种与排列数公式有关的计算或证明问题例 3 (1)计算 ;2A58 7A48A8 A59(2)求证:A mA A .mn 1 m 1n mn解(1) 2A58 7A48A8 A59 287654 787658765432 98765 1.87658 7876524 9(2)证明:A mA m mn 1 m 1nn 1!n 1 m! n 1!n m!n 1! n m mn m! A .n!n m! mn若 A (55n)(56n)(69
8、n)(nN 且 n55),求 q 的值qp解: 55n,56n,69 n 中的最大数为 69n,且共有 69n(55n)115个,(55n)(56n)(69n)A ,1569 np 69n,q15.对排列数公式的理解应注意以下两点:(1)排列数公式中连乘积的特点是:第一个因数是 n,后面每一个因数都比它前面一个因数少 1,最后一个因数是 nm 1,共有 m 个因数相乘(2)一般来说,在直接进行具体计算时,选用连乘积形式较好;当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或论证时,采用阶乘形式较好3(1)用 A 的形式表示 (x2,xN );mnx 1!x 2!(2)解关于 x 的方程 A 140A
9、 .42x 1 3x(3)解不等式:A 6A .x9 x 29解:(1)法一: A x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)(x 6)(x5)( x6)A ,7x 5x 89.x 5x 6A5x A5xA5xA 0,(x5)(x6)90.5x故 x4( 舍去),x 15.法二:由 89,得 A 90A ,A7x A5xA5x 7x 5x即 90 .x!x 7! x!x 5!x! 0 , ,1x 7! 90x 5x 6x 7!(x5)(x6) 90.解得 x4(舍去) ,x 15.(2)原不等式即 ,9!9 x! 69!9 x 2!由排列数定义知Error!2 x 9,xN .化简得(11x)
10、(10x)6, x221x 1040,即(x8)(x13)0, x13.又 2x9,xN ,2x 8,x N .故 x2,3,4,5,6,7.第二课时 排列数的综合应用特殊元素(或位置)的排列问题例 1 3 名男生,4 名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数(1)全体站成一排,其中甲只能在中间或两端;(2)全体站成一排,其中甲、乙必须在两端;(3)全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端;(4)全体站成两排,前排 3 人,后排 4 人,其中女生甲和女生乙排在前排,另有 2 名男生丙和丁因个子高要排在后排解 (1)(特殊元素优先法)先考虑甲有 A 种方案,再考虑其余六人全排列
11、,故13NA A 2 160(种)13 6(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙有 A 种方案,再安排其余 5 人全排列,故2NA A 240(种) 2 5(3)法一:(特殊元素优先法 ):按甲是否在最右端分两类:第一类 甲在最右端有 N1 A (种) ,6第二类 甲不在最右端时,甲有 A 个位置可选,15而乙也有 A 个位置,而其余全排列 A ,15 5有 N2A A A ,15 15 5故 NN 1N 2A A A A 3 720(种) 6 15 15 5法二:(间接法):无限制条件的排列数共有 A ,而甲在左端或乙在右端的排法都有 A ,且甲在左端且7 6乙在右端的排法有 A ,5故 NA
12、 2A A 3 720(种) 7 6 5法三:(特殊位置优先法):按最左端优先安排分步对于左端除甲外有 A 种排法,16余下六个位置全排有 A ,6但减去乙在最右端的排法 A A 种,15 5故 NA A A A 3 720(种)16 6 15 5(4)将两排连成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前 3 个位置,男生丙、丁要排在后 4 个位置,因此先排女生甲、乙有 A 种方法,23再排男生丙、丁有 A 种方法,24最后把剩余的 3 名同学排好有 A 种方法3故 NA A A 432( 种)23 24 3排列问题的实质是“元素”占“位置”的问题,有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不能
13、排在某个位置上或某个位置不排某些元素,解决该类问题的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位置总的来说,解决这类问题有直接法和间接法两种,具体分析时可以按位置来分析,也可以先考虑特殊元素,各种方法可以相互验证1用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字?(1)六位奇数;(2)个位数字不是 5 的六位数;(3)不大于 4 310 的四位偶数解:(1)第一步,排个位,有 A 种排法;13第二步,排十万位,有 A 种排法;14第三步,排其他位,有 A 种排法4故共有 A A A 288 个六位奇数13 14 4(2)法一:(直接法 )十万位数字的
14、排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同,因此需分两类第一类,当个位排 0 时,有 A 个;5第二类,当个位不排 0 时,有 A A A 个14 14 4故符合题意的六位数共有 A A A A 504(个) 5 14 14 4法二:(排除法)0 在十万位和 5 在个位的排列都不对应符合题意的六位数,这两类排列中都含有 0 在十万位和 5 在个位的情况故符合题意的六位数共有 A 2A A 504( 个)6 5 4(3)分三种情况,具体如下:当千位上排 1,3 时,有 A A A 个12 13 24当千位上排 2 时,有 A A 个12 24当千位上排 4 时,形如 40,42的各有 A 个;1
15、3形如 41的有 A A 个;12 13形如 43的只有 4 310 和 4 302 这两个数故共有 A A A A A 2A A A 2110(个) 12 13 24 12 24 13 12 13捆绑法处理相邻问题例 2 3 名男生,4 名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数(1)全体站成一排,男、女各站在一起;(2)全体站成一排,男生必须排在一起;(3)全体站成一排,甲、乙中间必须有 2 人解 (1)男生必须站在一起,是男生的全排列,有 A 种排法,女生必须站在一起,3是女生的全排列,有 A 种排法,全体男生、女生各视为一个元素,有 A 种排法,由分步4 2乘法计数原理知,
16、共有 NA A A 288(种) 排法3 4 2(2)把所有男生视为一个元素,与 4 名女生组成 5 个元素全排列,故NA A 720(种) 3 5(3)任取 2 人与甲、乙组成一个整体,与余下 3 个元素全排列,故N(A A )A 960(种)25 2 4保持例题条件不变,若全体站成一排,则男生甲与男生乙之间至少有 3 人的方法有多少种?解:甲、乙两人中间无人的排法种数N1A A 1 440(种) ,6 2甲、乙两人中间有 1 人的排法种数N2(A A )A 1 200(种),15 2 5甲、乙两人中间有 2 人的排法种数N3(A A )A 960(种)25 2 4故甲、乙两人中间至少有 3
17、 人的排法种数 NA N 1N 2N 31 440(种) 7对于某些元素“相邻”的排列问题,一般采用“捆绑法” ,即先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再将这若干个元素内部全排列2张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,求这 6 人入园顺序排法的种数解:因为两个小孩要排在一起,所以可把两个小孩视为一个元素与两位妈妈一起排列,有 A A 12 种排法又因为两位爸爸必须排列两端,有 A 2 种排法3 2 2故这 6 人入园顺序的排法有 A A A 62224 种3 2 2插空法处理不
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