2019年湘教版数学选修2-1讲义+精练：1.2.2 全称量词和存在量词（含解析）

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1、12.2 全称量词和存在量词读教材填要点1全称量词与存在量词(1)全称量词：“任意、 “所有” 、 “每一个”等叫作全称量词，数学上用符号 “”表示(2)存在量词：“存在” 、 “某一个” 、 “至少有一个”等叫作存在量词，数学上用符号“”表示2含有“全称量词”或“存在量词”的命题的否定(1)命题“xI, p(x)”的否定是 “xI，綈 p(x)”；(2)命题“x I，p( x)”的否定是 “xI，綈 p(x)”小问题大思维1命题 p：任何一个实数除以 1 等于这个数；q：等边三角形的三边都相等它们各使用了什么量词？提示：命题 p 使用了全称量词“任何一个” ， “等边三角形的三边相等”是指“

2、任意一个等边三角形的三边都相等” ，命题 q 使用了全称量词“任意” 2下列命题使用了什么量词？p：存在实数 x，使 x230 ；q：有的实数既不是质数也不是合数提示：命题 p 使用存在量词“存在” ，命题 q 使用存在量词“有的” 3如何用符号表示下列命题？(1)对任意实数 ，有 sin2cos 21；(2)存在实数 x，使得 2.1x2 x 1提示：(1)用符号表示为“ R，sin 2cos 21” (2)用符号表示为“x R， 2” 1x2 x 1用“”或“”表述命题将下列命题用量词符号“”或“”表示，并判断真假(1)实数的平方是非负数；(2)整数中 1 最小；(3)方程 ax22x10

3、( a1) 至少存在一个负根；(4)对于某些实数 x，有 2x10.自主解答 (1)x R，x 20 ；真(2)xZ，x1；假(3)x0，有 ax22x10(a1) ；真(4)xR，有 2x10；真同一个含全称量词或存在量词的命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：命题含全称量词的命题“xA，p(x )”含存在量词的命题“xA，p(x)”表述方法所有的 xA，p(x)成立对一切 xA，p(x) 成立对每一个 xA ，p(x)成立任意一个 xA ，p(x)成立凡 xA，都有p(x)成立使 p(x)成立存在 xA，至少有一个xA，使 p(x)成立对有些 xA，p(x)

4、成立对某个 xA，p(x)成立有一个 xA，使 p(x)成立1用全称量词或存在量词表示下列语句：(1)不等式 x2x10 恒成立；(2)当 x 为有理数时， x2 x1 也是有理数；13 12(3)等式 sin()sin sin 对有些角 ， 成立；(4)方程 3x2y10 有整数解解：(1)对任意实数 x，不等式 x2x10 成立(2)对任意有理数 x， x2 x 1 是有理数13 12(3)存在角 ，使 sin()sin sin 成立(4)存在一对整数 x，y，使 3x2y 10 成立含全称量词或存在量词的命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )AxR ，lg x0BxR，tan x

5、1CxR，x 20DxR ，e x0(2)下列命题中的真命题是( )A R，函数 f(x)sin(2x)都不是偶函数B， R ，使 cos() cos cos C向量 a(2,1)，b( 1,0) ，则 a 在 b 方向上的投影为 2D “|x|1”是“x 1”的既不充分又不必要条件自主解答 (1)对于 A，x 1 时，lg x0；对于 B，xk (kZ)时，tan x1；4对于 C，当 x 0 时，x 20，所以 C 中命题为假命题；对于 D，e x0 恒成立(2)对于 A，当 时，f(x )cos 2x，为偶函数，故 A 为假命题；2对于 B，令 ， ，则 cos()cos ，cos co

6、s 4 2 ( 4) 22 0 ，cos() cos cos 成立，故 B 为真命题；22 22对于 C，向量 a(2,1)，b(1,0) ，则 a 在 b 方向上的投影为 2，故ab|b| 2 01C 为假命题；对于 D，|x| 1，即1x 1，故充分性成立，若 x1，则|x| 1 不一定成立，所以“|x|1 ”为“x 1”的充分不必要条件，故 D 为假命题答案 (1)C (2)B全称命题与特称命题的真假判断的技巧(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个 x0，使得 p(x0)不成立即可

7、(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合 M 中，能找到一个 x0使 p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题2判断下列命题是含全称量词还是存在量词，并判断其真假(1)一次函数都是单调函数；(2)至少有一个实数 x，使 x20；(3)xZ ，log 4x0；(4)xx|x 是无理数，x 4 是无理数解：(1)命题中含有全称量词“都” ，命题为真命题(2)命题中含有存在量词“至少有一个” ，当 x0 时，x 20，命题为真命题(3)命题中含有存在量词的符号“ ”，当 x4 时，log 4x10，命题为真命题(4)命题中含有全称量词的符号“” ，由于 x 时 x44 是有理数因此命

8、题是假命2题含有量词的命题的否定(1)设命题 p：nN，n 22n，则綈 p 为( )AnN，n 22n BnN，n 22 nCn N，n 22 n D nN ，n 2 2n(2)(2016浙江高考)命题“xR，nN *，使得 nx 2”的否定形式是( )AxR ， nN *，使得 nx 2BxR，nN *，使得 nx 2CxR， nN *，使得 nx 2DxR ，nN *，使得 nx 2自主解答 (1)因为“xM ，p(x)”的否定是“x M，綈 p(x)”，所以命题“nN，n 22n”的否定是“ nN，n 22 n”，故选 C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特

9、称命题，所以“xR， nN*，使得 nx 2”的否定形式为“ xR，nN *，使得 nx 2”答案 (1)C (2)D(1)“xM，p(x)”的否定为 “xM，綈 p(x)”(2)有些命题省略了全称量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”(3)命题“x M，p( x)”的否定为 “xM，綈 p(x)”(4)只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意” ，当 “存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在” 例如：三角形存在外接圆这个命题中的量词“所有的”被省略了，所以这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆3写出下列命题的否定并判断其真假(1)p：不论 m 取何实数，方程 x2mx

10、 10 必有实数根；(2)p：有些三角形的三条边相等；(3)p：余弦值为负数的角是钝角；(4)p：存在一个实数，使得 3x0 恒成立，故为假命题(2)由于存在量词“有些”的否定的表述为“所有 ， ”因此，原命题的否定为：“所有三角形的三条边不全相等” ，假命题(3)原命题的否定为：“有的余弦值为负数的角不是钝角” ，真命题(4)原命题的否定为“对于所有实数 x，都满足 3x0” ，真命题.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路判断下列命题的真假(1)xR ，x 22x 10；(2)xR，|x| 0；(3)xN ，log 2x0；(4)xR，cos x .2巧思 根据命题中所

11、含量词的含义，可举特例判断妙解 (1)当 x1 时，x 22x10，原命题是假命题(2)当 x0 时，| x|0 成立，原命题是真命题(3)当 x1 时，log 2x0，原命题是假命题(4)当 xR 时，cos x 1,1，而 1，2不存在 xR，使 cos x .2原命题是假命题1下列命题不是“xR， x23”的表述方法是( )A有一个 xR ，使得 x23B对有些 x R，使得 x23C任选一个 xR，使得 x2 3D至少有一个 xR ，使得 x23解析：选项 C 是全称命题答案：C2下列命题中的假命题是( )AxR ，lg x0 BxR ，cos x1CxR，x 30 DxR,2 x0解

12、析：选项 A，lg x0x1；选项 B，cos x1x2k(kZ)；选项C；x 3 0x 0；选项 D,2x0xR.答案：C3设命题 p：nN，n 22n，则綈 p 为( )AnN，n 22n BnN，n 22 nCn N，n 22 n D nN ，n 2 2n解析：因为“xM，p(x )”的否定是“x M，綈 p(x)”，所以命题“nN，n 22n”的否定是“nN，n 22 n”，故选 C.答案：C4命题“至少有一个正实数 x 满足方程 x22(a1)x2a60”的否定是_解析：把量词“至少有一个”改为“所有” ， “满足”改为“都不满足”得命题的否定答案：所有正实数 x 都不满足方程 x2

13、2(a1)x2a605给出下列命题xR ，x 2 20；xN，x 41；xZ，x 31.其中是真命题的是_( 把所有真命题的序号都填上)解析：由于x R，都有 x20，因而有 x2220，即 x220.所以命题“x R，x 220” 是真命题由于 0N，当 x0 时，x 41 不成立所以命题“x N，x 41”是假命题由于1Z ，当 x1 时，x 31 成立所以命题“ xZ，x 31”是真命题答案：6写出下列命题的否定，并判断真假(1)非负数的平方是正数(2)有的四边形没有外接圆解：(1)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数 ”因为 020，不是正数，所以该命题是真命题(2)命题的否定：

14、“所有四边形都有外接圆 ”因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.一、选择题1命题“存在 xR,2 x0” 的否定是( )A不存在 xR,2 x0 B存在 xR,2 x0C对任意的 xR,2 x0 D对任意的 x R,2x0解析：由含有存在量词的命题否定可知，命题“存在 xR,2x0”的否定是“对任意的xR,2x0”答案：D2命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是( )A所有不能被 2 整除的整数都是偶数B所有能被 2 整除的整数都不是偶数C存在一个不能被 2 整除的整数是偶数D存在一个能被 2 整除的整数不是偶数解析：否定原命题结论的同时要把量词

15、做相应改变，故选 D.答案：D3若存在 xR，使 ax22xa0 时，必需 44a 20，解得1 log x；1p3：x(0 ， )， xlog x；(12)p4：x ， x x 成立，所以 p1 是假命题，排除(12) (13)A、B ，对于命题 p3，在同一平面直角坐标系中作出函数 y x 与函数 ylog x 的图象(12) 12(图略)，可知在 (0，)上，函数 y x 的图象并不是始终在函数 ylog x 的图象上方，(12) 12所以 p3 是假命题，排除 C.答案：D二、填空题5命题“有些负数满足不等式(1x)(19x)0”用“ ”或“ ”可表述为_ 解析：命题“有些负数满足不等

16、式(1x)(19x)0”为特称命题，用“”表示为：x0.答案： x06命题“零向量与任意向量共线”的否定为：_.解析：命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线” ，其否定为“有的向量与零向量不共线” 答案：有的向量与零向量不共线7下列命题是真命题的有_(1)x1,3,5,5x2 是奇数；(2)xR，x 2 6x50；(3)xR ，| x1|0.解析：(1)5127,53217，55227，均为奇数，是真命题(2)x26x5 0 中， 3620560，方程有两个不相等的实根， 是真命题(3)x1 时，| 11|0，是假命题答案：(1)(2)8若命题“ xR，ax 2ax20”是假命题

17、，则 a 的取值范围是_解析：“ xR，ax 2ax20”是假命题，则“xR ，ax 2ax 20”是真命题，当 a0 时，20.符合题意当 a0 时，要满足x R，ax 2ax 20，需有Error!即Error!解得8a0，使函数 f(x)ax 24x 在(，2上单调递减” ，命题q：“存在 aR，使xR,16 x216( a1)x10” 若命题“pq”为真命题，求实数 a的取值范围解：若 p 为真，则对称轴 x 在区间(，2 的右侧，即 2， 0a1. 42a 2a 2a若 q 为真，则方程 16x216(a1) x10 无实数根16(a1) 24160 ， a .12 32命题 “pq”为真命题，命题 p，q 都为真，Error! a1.12故实数 a 的取值范围为 .(12，1