2019年湘教版数学选修2-1讲义+精练：1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或”（含解析）

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1、12 简单的逻辑联结词12.1 逻辑联结词“非” 、 “且”和“或”读教材填要点1联结词“非”设 p 是一个命题，用联结词“非”对命题 p 作全盘否定，得到新命题，记作綈 p，读作“非 p”或“不是 p”2联结词“且”用联结词“且”把两个命题 p，q 联结起来，得到新命题，记作 pq，读作“p 且q”3联结词“或”用联结词“或”把两个命题 p，q 联结起来，得到新命题，记作 pq，读作“p 或q”4含有逻辑联结词的命题的真假判断p q pq pq 綈 p真 真 真 真 假真 假 真 假 假假 真 真 假 真假 假 假 假 真小问题大思维1逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意思是否相同？提示：

2、有所不同日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思2 “或” “且”联结词的否定形式分别是什么？提示：“p 或 q”的否定形式是“綈 p 且綈 q”， “p 且 q”的否定形式是“綈 p 或綈q”3命题“綈 p”与命题“p 的否命题”有何不同？提示：命题“綈 p”与“否命题”完全不同，前者是对命题的结论否定，后者是既否定条件又否定结论如：若命题 p 为“若 s，则 t”，则綈 p：若 s，则綈 t，否命题：若 綈 s，则綈 t.逻辑联结词“非”写出下列命题的否定，并判断它们的真假(1)p：346；(2)p：杨振宁是数学家或物理学家；(3)p：不等式 x

3、23x20 的解集是x|1x 2 自主解答 (1)346 是一个简单命题， “”的否定即是“” ，所以“非 p”：346.由于 p 是真命题，故命题“非 p”是假命题(2)命题是一个“pq”形式的命题，其否定为“( 綈 p)(綈 q)”的形式，所以“非p”：杨振宁既不是数学家又不是物理学家由于 p 是真命题，故命题“非 p”是假命题(3)“非 p”：不等式 x23x20 的解集不是x|1x 2由于 p 是假命题，故命题“非 p”是真命题若将例 1(2)中的“或”改为“且” ，如何解答？解：綈 p：杨振宁不是数学家或杨振宁不是物理学家，由于 p 是假命题，故命题綈 p是真命题写“非 p”应先弄清

4、 p 的条件与结论另外，要注意改变原命题的真假，一般用否定词语对正面叙述的词语进行否定如“等于”的否定是“不等于” ， “大于”的否定是“不大于”即“小于或等于” ， “都是”的否定是“不都是” 1写出下列各命题的否定及否命题，并判断它们的真假(1)若 a，b 都是奇数，则 ab 是偶数；(2)全等的三角形是相似三角形解：原命题的否定：(1)若 a，b 都是奇数，则 ab 不是偶数，为假命题(2)全等三角形不是相似三角形，为假命题原命题的否命题：(1)若 a，b 不都是奇数，则 ab 不是偶函数，为假命题(2)不全等的三角形不是相似三角形，为假命题逻辑联结词“且”对下列各组命题，利用逻辑联结词

5、“且”构造新命题，并判断它们的真假(1)p：12 是 3 的倍数，q：12 是 4 的倍数；(2)p：3，q：4 或 44” ，其中“4 4”是真命题，所以“44”是真命题(2)命题“仅有一组对边平行的四边形是梯形或是平行四边形”是“pq”形式的命题，其中 p：仅有一组对边平行的四边形是梯形，q：仅有一组对边平行的四边形是平行四边形因为 p 真 q 假，所以 pq 为真，故原命题是真命题解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路设有两个命题命题 p：不等式 x2(a1) x10 的解集是；命题 q：函数 f(x)(a1) x 在定义域内是增函数如果 pq 为假命题，p q 为真

6、命题，求 a 的取值范围巧思 因为 pq 为假命题， pq 为真命题，故 p 和 q 必有一真一假因此可先求出p，q 为真命题时 a 的取值范围，然后分“p 真 q 假” “p 假 q 真”两种情况即可求出 a 的取值范围妙解 对于 p：因为不等式 x2(a1)x10 的解集是 ，所以 (a1) 241，所以 a0.又 pq 为假命题，pq 为真命题，所以 p，q 必是一真一假当 p 真 q 假时有30，ln( x1)0；命题 q：若 ab，则 a2b2.下列命题为真命题的是( )Apq Bp綈 qC綈 pq D綈 p綈 q解析：当 x0 时，x 11，因此 ln(x1)0，即 p 为真命题；

7、取 a1，b2，这时满足 ab，显然 a2b2 不成立，因此 q 为假命题由复合命题的真假性，知 B 为真命题答案：B4已知命题 p：6 是 12 的约数，q：6 是 24 的约数，则 pq 是_，pq 是_，綈 p 是_解析：pq：6 是 12 和 24 的约数；pq：6 是 12 或 24 的约数；綈 p：6 不是 12 的约数答案：6 是 12 和 24 的约数 6 是 12 或 24 的约数 6 不是 12 的约数5命题 p：0 不是自然数，命题 q： 是无理数，则在命题“p 且 q”“p 或 q”“非 p”2“非 q”中真命题是_，假命题是_解析：显然 p 为假命题，q 是真命题，故

8、“p 且 q”为假命题， “p 或 q”为真命题，“非 p”为真命题， “非 q”为假命题答案：p 或 q, 非 p p 且 q，非 q6对命题 p：1 是集合x| x21；若 q 为真，则 2x|x24.若“p 或 q”为真，则 a1 或 a4，即 a1；若“p 且 q”为真，则 a1 且 a4，即 a4.一、选择题1 “pq 为假命题”是“綈 p 为真命题”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：pq 为假命题，则 p， q 均为假命题，故 pq 为假命题 綈 p 为真命题，但綈 p为真命题 pq 为假命题答案：A2已知 p：点 P 在直线 y2x

9、 3 上，q：点 P 在直线 y 3x2 上，则使命题 pq为真命题的一个点 P(x，y) 是( )A(0，3) B(1,2)C(1，1) D( 1,1)解析：因为 pq 为真命题，所以 p，q 均为真命题，即点 P 为直线 y2x3 与y3x2 的交点，故有Error!解得Error!故选 C.答案：C3已知全集 UR，AU，BU，如果命题 p： ( AB)，则命题“綈 p”是( )3A. A B. ( UA)( UB)3 3C. UB D. (AB)3 3解析：由 p： (AB)，可知 綈 p： (AB)，3 3即 U(AB)，而 U(AB)( UA)( UB)3答案：B4下列各组命题中，

10、满足“p 或 q”为真，且“非 p”为真的是( )Ap：0； q：0Bp：在ABC 中，若 cos 2Acos 2B，则 AB；q：函数 ysin x 在第一象限是增函数Cp：ab2 (a，bR)；q：不等式| x|x 的解集为(，0)abDp：圆(x1) 2(y2) 21 的面积被直线 x1 平分；q：过点 M(0,1)且与圆(x1)2(y 2)21 相切的直线有两条解析：A 中，p，q 均为假命题，故 “p 或 q”为假，排除 A；B 中，由在ABC 中，cos 2Acos 2B，得 12sin 2A12sin 2B，即(sin Asin B)(sin Asin B)0，所以AB 0，故

11、p 为真，从而“非 p”为假，排除 B；C 中， p 为假，从而“非 p”为真，q为真，从而“p 或 q”为真；D 中，p 为真，故“非 p”为假，排除 D.故选 C.答案：C二、填空题5命题“若 abc0，则 a，b，c 中至少有一个为零”的否定为：_，否命题为：_.解析：否定形式：若 abc0，则 a，b，c 全不为零否命题：若 abc0，则 a，b，c 全不为零答案：若 abc0，则 a，b，c 全不为零 若 abc0，则 a，b，c 全不为零6已知命题 p：x1，命题 q： 1，则綈 p 是 q 的_条件(填“充要” “充分1x不必要” “必要不充分” “既不充分也不必要”中的一个)解

12、析：p：x1綈 p：x1 1，但 1 x1.1x 1x綈 p 是 q 的充分不必要条件答案：充分不必要7若命题 p：不等式 axb0 的解集为Error!，命题 q：关于 x 的不等式( xa)(xb)0 的解集为x |ax b，则“pq” “pq” “綈 p”形式的复合命题中的真命题是_解析：因命题 p，q 均为假命题，所以“pq” “pq”为假命题， “綈 p”为真命题答案：綈 p8已知条件 p：(x1) 24，条件 q：x a，且綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是_解析：由綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件，可知綈 p綈 q，但綈 q 綈 p，又一个命题与它的逆否

13、命题等价，可知 qp，但 p q，又 p：x1 或 xax|x1，所以 a1.答案：1，)三、解答题9写出由下列各组命题构成的“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的复合命题，并判断真假(1)p：1 是质数，q：1 是方程 x22x30 的根；(2)p：平行四边形的对角线一定相等，q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：NZ，q：0N.解：(1)因为 p 假 q 真，所以 p 或 q：1 是质数或 1 是方程 x22x 30 的根，为真命题；p 且 q：1 是质数且 1 是方程 x22x30 的根，为假命题；非 p：1 不是质数，为真命题(2)因为 p 假 q 假，所以 p 或 q：平行

14、四边形的对角线一定相等或互相垂直，为假命题；p 且 q：平行四边形的对角线一定相等且互相垂直，为假命题；非 p：平行四边形的对角线不一定相等，为真命题(3)因为 p 真 q 真，所以 p 或 q：N Z 或 0N，为真命题；p 且 q：NZ 且 0N，为真命题；非 p：N Z，为假命题10设命题 p：函数 f(x)log ax(a0，且 a1)在(0 ，)上单调递增；q：关于 x 的方程 x22xlog a 0(a0，且 a1)的解集只有一个子集若 pq 为真，pq 为假，求实32数 a 的取值范围解：当命题 p 是真命题时，应有 a1.当命题 q 是真命题时，关于 x 的方程 x22x log a 0 无解，32所以 44log a 0，解得 1a .32 32由于 pq 为真，则 p 和 q 中至少有一个为真，又 pq 为假，则 p 和 q 中至少有一个为假，所以 p 和 q 中一真一假，当 p 假 q 真时，有Error!不存在符合条件的实数 a；当 p 真 q 假时，有Error!解得 a ，32综上所述，实数 a 的取值范围是 .32， )