2019年湘教版数学选修2-1讲义+精练：2.3.1 抛物线的定义与标准方程（含解析）

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1、23 抛物线23.1 抛物线的定义与标准方程读教材填要点1抛物线的定义平面上到一定点 F 和定直线 l(Fl)距离相等的点的轨迹叫作抛物线定点 F 叫作抛物线的焦点，定直线 l 叫作抛物线的 准线2抛物线的标准方程图象 标准方程 焦点坐标 准线方程y22px( p0) (p2，0)xp2y22px( p0) ( p2，0)xp2x22py( p0) (0，p2)yp2x22py( p0) (0， p2)yp2小问题大思维1在抛物线定义中，若去掉条件“Fl” ，点的轨迹还是抛物线吗？提示：不一定是抛物线当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线l 的一条直线；l 不经过点

2、F 时，点的轨迹是抛物线2到定点 A(3,0)和定直线 l：x 3 距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y 212x.3若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则它的标准方程是什么？提示：由焦点在 x 轴正半轴上，设抛物线的标准方程为 y22px(p0)，其焦点坐标为 ，(p2，0)则 2，故 p4.p2所以抛物线的标准方程是 y28x.求抛物线的标准方程求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线 x2y40 上自主解答 (1)当抛物线的焦点在 x 轴上时，可设抛物线方程为 y22px(p0)，把点(3,2) 代入得 222p(3)

3、， p .23所求抛物线方程为 y2 x.43当抛物线的焦点在 y 轴上时，可设抛物线方程为 x22py (p0)，把(3,2)代入得( 3) 22p2，p .94所求抛物线方程为 x2 y.92综上，所求抛物线的方程为 y2 x 或 x2 y.43 92(2)直线 x2y40 与 x 轴的交点为 (4,0)，与 y 轴的交点为(0 ，2)，故抛物线焦点为 (4,0)或(0，2)，当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为 y22px(p0) ， 4， p8，抛物线方程为 y216x，p2当焦点为(0，2)时，设抛物线方程为 x22py (p0)， 2，p4，抛物线方程为 x28y，p2综上，所求抛

4、物线方程为 y216x 或 x28y.若把本例(2)中的“焦点”改为“准线与坐标轴的交点” ，如何求解？解：直线 x2y 40 与 x 轴的交点是 (4,0)，与 y 轴的交点是(0，2)，则抛物线的准线方程为 x4 或 y2.当准线方程为 x4 时，可设方程为 y22px ，则 4，p8，抛物线方程为 y216x.p2当准线方程为 y2 时，可设方程为 x22py ，则 2，p4，抛物线方程为 x28y. p2综上，抛物线的标准方程为 y216x 或 x28y.求抛物线标准方程的方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数 p 的方程，求出 p

5、的值，进而写出抛物线的标准方程(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为 y2mx 或 x2ny，利用已知条件求出m，n 的值1若抛物线 y22px 的焦点坐标为(1,0)，则 p_，准线方程为_解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以 1，p2，准线方程为 x 1.p2 p2答案：2 x12抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，|AF|5，求抛物线的标准方程解：设所求焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程为 y22ax( a0)，点 A(m，3)由抛物线的定义得|AF| 5，|m a2|又(3) 22am ，a1 或 a9.所求抛物线的标准方程为 y22x 或 y

6、218x.已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程根据下列抛物线方程，分别求出其焦点坐标和准线方程(1)y24x；(2)2y 2x 0.自主解答 (1)y 24x，抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上，又 2p4，p2.焦点坐标为(1,0)，准线方程为 x1.(2)由 2y2x0，得 y2 x.12抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，又 2p ，p12 14焦点坐标为 ，准线方程为 x .(18，0) 18此类问题是抛物线标准方程的应用，一是要理解抛物线标准方程的结构形式，二是要理解 p 的几何意义，三是要注意焦点与坐标准线方程之间的关系步骤：化为标准方程；明确开口方向；求 p 值；写焦点坐标和准线方程3

7、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y x2；(2)x 2ay (a0)18解：(1)将抛物线方程 y x2 变形为 x28y ，所以抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上，18又 2p8，所以 p4.所以焦点坐标为(0，2)，准线方程为 y2.(2)当 a0 时，抛物线的焦点在 y 轴的正半轴上，又 2pa，所以焦点坐标为 ，准(0，a4)线方程为 y ；a4当 a0)，则由 4，得 p8，p2故所求抛物线的标准方程为 y216x.答案：y 216x6若抛物线 y22px (p0)上有一点 M，其横坐标为9，它到焦点的距离为 10，求抛物线方程和 M 点的坐标解：由抛物线定义，设焦点为 F .

8、( p2，0)则准线为 x ，M 到准线的距离为 d，p2则 d|MF| 10.则 (9)10， p2.p2故抛物线方程为 y24x .将 M(9，y)代入抛物线方程得 y6.M(9,6)或 M(9，6)一、选择题1抛物线 y12x 2 上的点到焦点的距离的最小值为( )A3 B6C. D.148 124解析：将方程化为标准形式是 x2 y，因为 2p ，所以 p .故到焦点的距离最112 112 124小值为 .148答案：C2若抛物线 y22px 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合，则 p 的值为( )x26 y22A2 B2C4 D4解析：椭圆右焦点为(2,0)， 2. p4.p2答案：D3

9、已知 F 是抛物线 y2x 的焦点， A，B 是该抛物线上的两点，|AF| BF|3，则线段AB 的中点到 y 轴的距离为( )A. B134C. D.54 74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段 AB 中点到 y 轴的距离为(|AF| BF|) .12 14 32 14 54答案：C4已知双曲线 C1： 1(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x 22py(p0)的x2a2 y2b2焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为 ( )Ax 2 y Bx 2 y833 1633Cx 2 8y Dx 216y解析：双曲线的渐近线方程为 y x，ba由于 2

10、，所以 ，ca a2 b2a2 1 (ba)2 ba 3所以双曲线的渐近线方程为 y x.抛物线的焦点坐标为 ，所以 2，所以3 (0，p2)p22p8，所以抛物线方程为 x216y.答案：D二、填空题5若抛物线 y28x 上的一点 P 到其焦点的距离为 10，则 P 点的坐标为_解析：设 P(xP，y P)，点 P 到焦点的距离等于它到准线 x2 的距离，xP8，y P8.故 P 点坐标为(8 ，8)答案：(8，8)6动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x 20 相切，则动圆必过点_解析：动圆恒与直线 x20 相切，则动圆必过焦点，焦点坐标为(2,0)答案：(2,0)7已知点

11、P 在抛物线 y24x 上，那么点 P 到点 Q(2， 1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为_解析：如图，过点 Q 作 QA 垂直准线 l，垂足为 A，则 QA 与抛物线的交点即为 P 点易求 P .(14， 1)答案： (14， 1)8设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足如果直线 AF 的斜率为 ，那么 |PF|_.3解析：如图，由直线 AF 的斜率为 ，得AFH60，FAH30，PAF60.3又由抛物线的定义知|PA| PF|，PAF 为等边三角形由|HF |4 得|AF |8，|PF|8.答案：8三、解答题

12、9求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过 P(2，4) 的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标解：由已知设抛物线的标准方程是 x22py，(p0)或 y22px(p0)，把 P(2，4)代入 x22py 或 y22px 得p 或 p4，12故所求的抛物线的标准方程是 x2y 或 y28x.当抛物线方程是 x2y 时，焦点坐标是 F ，准线方程是 y .(0， 14) 14当抛物线方程是 y28x 时，焦点坐标是 F(2,0) ，准线方程是 x2.10设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点， F 为抛物线的焦点(1)若点 P 到直线 x1 的距离为 d，A(1,1) ，求| PA| d 的最小值；(2)若 B(3,2)，求|PB|PF|的最小值解：(1)依题意，抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.由抛物线的定义，知|PF|d，于是问题转化为求|PA| PF|的最小值如图，连接 AF，交抛物线于点 P，则最小值为 .22 12 5(2)把点 B 的横坐标代入 y24x 中，得 y ，12因为 2，所以点 B 在抛物线内部12自点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1(如图)由抛物线的定义，知|P 1Q| P1F|， 则|PB| |PF| |P1B|P 1Q|BQ|314.即|PB| |PF|的最小值为 4.