2019年湘教版数学选修2-1讲义+精练：2.1.2 椭圆的简单几何性质（含解析）

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1、21.2 椭圆的简单几何性质第一课时 椭圆的简单几何性质读教材填要点1椭圆的简单几何性质焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程 1(ab0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2范围 a xa 且byb b xb 且aya顶点A1(a,0) ，A 2(a,0)，B1(0，b)，B 2(0，b)A1(0，a)，A 2(0，a)，B1(b,0)，B 2(b,0)轴长 短轴长2b，长轴长2a焦点 F1(c,0)，F 2(c,0) F1(0，c)，F 2(0，c )焦距 |F1F2|2c对称性 对称轴 x 轴和 y 轴，对称中心(0,0)离心率 e (0e1)ca2椭圆

2、的离心率与椭圆的扁圆程度间的关系(1)当椭圆的离心率越接近于 1，则椭圆越扁；(2)当椭圆的离心率越接近于 0，则椭圆越圆小问题大思维1椭圆 1 的长轴长、短轴长、离心率各为何值？焦点坐标和顶点坐标各是什x225 y29么？提示：根据椭圆的标准方程 1，x225 y29得 a5，b3，则 c 4.25 9因此，长轴长 2a10，短轴长 2b6.离心率 e 0.8.ca 45焦点为 F1(4,0)和 F2(4,0)，顶点为 A1(5,0)，A 2(5,0)，B 1(0，3) ，B 2(0,3)2如何用 a，b 表示离心率？提示：由 e 得 e2 ，ca c2a2 a2 b2a2e .1 (ba)

3、2e .1 b2a23借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？提示：短轴端点 B1和 B2到中心 O 的距离最近；长轴端点 A1和 A2到中心 O 的距离最远4借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？提示：点(a,0) ，( a,0)与焦点 F1(c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点 F1的最大距离和最小距离，分别为 ac 和 ac.由椭圆方程研究简单几何性质求椭圆 x29y 281 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标自主解答 把已知方程化成标准方程为 1，于是 a9，b3，c 6x281 y29 81 9，2所以椭圆的长轴长 2a

4、18，短轴长 2b6，离心率 e .ca 223两个焦点的坐标分别为 F1( 6 ，0)，F 2(6 ，0) ，四个顶点的坐标分别为 A1(9,0)，2 2A2(9,0)， B1(0，3)，B 2(0,3)已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准 a 与 b，才能正确地写出其相关性质在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴1已知椭圆 C1： 1，设椭圆 C2 与椭圆 C1 的长轴长、短轴长分别相等，且x2100 y264椭圆 C2 的焦点在 y 轴上(1)求椭圆 C1 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆 C2 的方程，并研究其性质解：(1)由椭

5、圆 C1： 1 可得其长半轴长为 10，短半轴长为 8，焦点坐标(6,0)，x2100 y264(6,0)，离心率 e ；35(2)椭圆 C2： 1，y2100 x264性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0 ，10)，短轴端点(8,0) ， (8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：e .35由椭圆的简单几何性质求方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3,0)，离心率 e ；63(2)焦距为 6，在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直自主解答 (1)当椭圆的焦点在 x 轴上时，因为 a3，e ，63

6、所以 c .从而 b2a 2c 23，6所以椭圆的标准方程为 1；x29 y23当椭圆的焦点在 y 轴上时，因为 b3，e ，63所以 .所以 a227.a2 b2a 63所以椭圆的标准方程为 1.y227 x29综上可知，所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x29 y23 y227 x29(2)设椭圆的标准方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2由已知，得 c3，b3，a 2b 2c 218.故所求椭圆的标准方程为 1.x218 y29(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数 ”，一般步骤是：确定焦点所在的坐标轴；求出 a

7、2，b 2 的值；写出标准方程2求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 A(2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 .3解：(1)若椭圆的焦点在 x 轴上，设方程为 1(ab0)，x2a2 y2b2椭圆过点 A(2,0), 1，a2.4a22a22b，b1.方程为 y 21.x24若椭圆的焦点在 y 轴上设椭圆方程为 1(ab0)，y2a2 x2b2椭圆过点 A(2,0)， 1.02a2 4b2b 2,2a22b.a 4.方程为 1.y216 x24综上所述，椭圆方程为 y 21 或 1.x24 y216 x24(2)由已

8、知Error! Error!从而 b29，所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x212 y29 x29 y212求椭圆的离心率设椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，P 是 C 上的点，x2a2 y2b2PF2F 1F2，PF 1F230，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.36 13 12 33自主解答 法一：由题意可设| PF2|m ，结合条件可知|PF 1|2m，|F 1F2| m，故3离心率 e .ca 2c2a |F1F2|PF1| |PF2| 3m2m m 33法二：由 PF2F1F2可知 P 点的横坐标为 c，将 xc 代入椭圆方程可解得 y ，所b2

9、a以|PF 2| .又由 PF1F230可得|F 1F2| |PF2|，故 2c ，变形可得 (a2c 2)b2a 3 3b2a 32ac，等式两边同除以 a2，得 (1e 2)2e，解得 e 或 e (舍去)333 3答案 D若将本例中“PF 2F 1F2，PF 1F230”改为“C 上存在点 P，使F 1PF2 为钝角” ，求 C 的离心率的取值范围解：由题意，知 cb，c 2b2.又 b2a 2c 2，c 2a2c 2，即 2c2a2.e2 ，c2a212e .故 C 的离心率的取值范围为 .22 ( 22，1)椭圆的离心率的求法求椭圆的离心率，关键是寻找 a 与 c 的关系，一般地：(

10、1)若已知 a，c，则直接代入 e 求解；ca(2)若已知 a，b，则由 e 求解；1 (ba)2(3)若已知 a，b，c 的关系，则可转化为 a，c 的齐次式，再转化为含 e 的方程求解即可3已知椭圆的两个焦点 F1，F 2 与短轴的端点 B 构成等腰直角三角形，求椭圆的离心率解：如图，|F 1F2|2c，|BF1|BF 2|2a，且 BF1F2为等腰直角三角形|BF1|BF 2|a c.2离心率 e .ca 22解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路椭圆 1(ab0)的右顶点是 A(a,0)，其上存在一点 P，使APO90，求椭圆x2a2 y2b2的离心率的取值范围巧思

11、 由APO90可知：点 P(x，y)在以 OA 为直径的圆上，且 P 点又在椭圆上然后由圆的方程和椭圆的方程组成方程组求出 P 点的横坐标利用 0 .ab2a2 b2 22又 0b0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的x2a2 y2b2离心率 e_.解析：由题意知椭圆焦点在 x 轴上，在直线 x2y20 中，令 y0 得 c2；令 x0 得 b1.a .e .b2 c2 5ca 255答案：2555已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，且 G 上一点到 G 的32两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为_ 解析：e ， 2a12，a6 ，b3，32椭圆方程为 1.

12、x236 y29答案： 1x236 y296已知椭圆 1(m0) 的离心率 e ，求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、x22m 1 y2m 32焦点坐标、顶点坐标解：椭圆方程为 1，x22m 1 y2ma2 2m1，b 2m.c .a2 b2 m 1由 e ，得 ，解得 m ，32 m 12m 1 32 12椭圆的标准方程为 1.x22 y212a ，b ，c .222 62椭圆的长轴长为 2 ，短轴长为 ，2 2两焦点坐标分别为 F1 ，F 2 ，( 62，0) ( 62，0)顶点坐标分别为 A1( ，0)，A 2( ，0) ，B 1 ，B 2 .2 2 (0， 22) (0，22)一、选择

13、题1已知椭圆 C1： 1，C 2： 1，则( )x212 y24 x216 y28AC 1 与 C2 顶点相同 BC 1 与 C2 长轴长相同CC 1 与 C2 短轴长相同 DC 1 与 C2 焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(2 ，0)，(0 ，2)，长轴长为 43，短轴长为 4，焦距为 4 ；C 2的顶点坐标为(4,0)，(0，2 )，长轴长为 8，短轴长为3 2 24 ，焦距为 4 .故选 D.2 2答案：D2椭圆 1 上的点 P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )x225 y29A8,2 B5,4C5,1 D9,1解析：因为 a5，c4，所以最大距离

14、为 ac9，最小距离为 ac1.答案：D3已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ( ，0)，( ，0)，离心率是 ，则椭圆 C2 263的方程为( )A. y 21 Bx 2 1x23 y23C. 1 D. 1x23 y22 x22 y23解析： ，且 c ，ca 63 2a ，b 1.3 a2 c2椭圆方程为 y 21.x23答案：A4(2017全国卷)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右顶点分别为 A1，A 2，且以x2a2 y2b2线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay 2ab0 相切，则 C 的离心率为( )A. B.63 33C. D.23 13解析：以线段 A1A2为直径的圆

15、的方程为 x2y 2a 2，由原点到直线 bxay 2ab0 的距离 d a，得 a2 3b2，所以 C 的离心率 e .2abb2 a2 1 b2a2 63答案：A二、填空题5过椭圆 1 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为_x24 y23解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为 2a4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为 c1，将 x1 代入 1，得 1，解得 y2 ，即 y ，所以最短弦的长x24 y23 124 y23 94 32为 2 3.32答案：4,36若椭圆 b2x2a 2y2a 2b2(ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，若ABF 90，则椭圆的离心离为_解析：由已知|

16、AB| 2| BF|2|AF| 2，(a2b 2)a 2 (ac )2.a2 b22ac c2.又 b2a 2c 2，c2 aca 20，即 e2e 10.e .5 12答案： 5 127已知椭圆的中心在原点，一个焦点为 F(3,0)，若以其四个顶点为顶点的四边形的面积是 40，则该椭圆的方程是_解析：以椭圆顶点为顶点的四边形是对角线长分别为 2a 和 2b 的菱形，因此其面积为S 2a2b2 ab40，12ab20.又 c 3，且 a2b 2c 2.a2 9，a 49a 2400 0.400a2a2 25 或 a216(舍去)a 5，b4，所求方程为 1.x225 y216答案： 1x225

17、 y2168若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，x24 y23则 的最大值为_ OP FP 解析：由椭圆 1，可得点 F(1,0)，点 O(0,0)，设 P(x，y)，2x 2，则x24 y23 x 2x y 2x 2x3 x2x3 (x2) 22，当且仅当 x2 时，OP FP (1 x24) 14 14 取得最大值 6.OP FP 答案：6三、解答题9已知椭圆 1(ab0)的离心率 e ，过点 A(0，b)和 B(a,0)的直线与原点x2a2 y2b2 63的距离为 ，求椭圆的标准方程32解：e ， .ca a2 b2a 63 a2 b2a2 2

18、3a2 3b2，即 a b.3过 A(0，b)， B(a,0)的直线为 1，xa yb把 a b 代入，即 x y b0.3 3 3又由点到直线的距离公式得 ，解得 b1 ，a .| 3b|1 32 32 3所求方程为 y 21.x2310.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，A，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1x 轴，PF 2AB，求此椭圆的离心率解：设椭圆的方程为 1(ab0) ，则x2a2 y2b2F1(c,0)，F 2(c,0)，A(0 ，b)，B (a,0)直线 PF1的方程为 xc ，代入方程 1，得 y ， P .x2a2 y2b2 b2a

19、 ( c，b2a)PF 2AB，且 kPF ，2b2a c c b22ac又 kAB ，由 kPF k AB，得 .ba 2b22ac bab 2c.a c.b2 c2 5e ，即椭圆离心率为 .ca 55 55第二课时 直线与椭圆的位置关系 读教材填要点1点与椭圆的位置关系点 P(x0，y 0)与椭圆 1( ab0)的位置关系：x2a2 y2b2点 P 在椭圆上 1；x20a2 y20b2点 P 在椭圆内部 1.x20a2 y20b22直线与椭圆的位置关系直线 ykxm 与椭圆 1( ab0)的位置关系判断方法：联立Error!消去 y 得一x2a2 y2b2个一元二次方程.位置关系 解的个

20、数 的取值相交 两解 0相切 一解 0相离 无解 0，直线与椭圆相交；5 5当 m 或 m 时，0，直线与椭圆相切；5 5当 m 时，0；(2)直线与椭圆相切 0；(3)直线与椭圆相离 0，即 k 时，63 63直线和曲线有两个公共点当 72 k2480，即 k 或 k 时，63 63直线和曲线有一个公共点当 72 k248b0)上的两个不同的点，M(x 0，y 0)是线段 AB 的中点，x2a2 y2b2则Error!由，得 (x x ) (y y )0，变形得 ，即1a2 21 2 1b2 21 2 y1 y2x1 x2 b2a2x1 x2y1 y2 b2a2x0y0kAB .b2x0a2

21、y03设椭圆 C： 1(ab0)过点(0,4) ，离心率为 .x2a2 y2b2 35(1)求 C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标45解：(1)将(0,4)代入 C 的方程得 1，16b2b 4.又 e 得 ，ca 35 a2 b2a2 925即 1 ，a5.16a2 925C 的方程为 1.x225 y216(2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y (x3) ，45 45设直线与 C 的交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线方程 y (x3)代入 C 的方程，得45 1，x225 x 3225即 x23x80，则 x1x 23

22、，AB 的中点坐标 ，xx1 x22 32 (x1x 26) ，yy1 y22 25 65即中点坐标为 .(32， 65)解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知椭圆 1，直线 l：y4xm ，若椭圆上总有两点 P，Q 关于直线 l 对称，求x24 y23m 的取值范围妙解 法一：( 根与系数的关系) 设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)是椭圆 C 上关于直线l：y4xm 对称的两个点，则 kPQ .14设 PQ所在直线方程为 y b.x4由Error!消去 y，得 13x28bx16b 2480.( 8b)2 413(16b248)0.解得 b20，n0)上两点，且 ，

23、则x2m2 y2n2 AO BO _.解析：由 知点 A，O ，B 共线，因椭圆关于原点对称， 1.AO BO 答案：16若直线 yx m 与椭圆 4x2y 21 有公共点，则实数 m 的取值范围为_解析：由Error!得 5x22mxm 210.因为直线与椭圆有公共点，所以 4m220( m21)0，解得 m .52 52答案： 52，527椭圆 x24y 216 被直线 y x1 截得的弦长为_12解析：由Error!消去 y 并化简得 x22x 6 0.设直线与椭圆的交点为 M(x1，y 1)，N (x2，y 2)，则 x1x 22，x 1x26.弦长 |MN| |x1x 2|1 k2

24、.54x1 x22 4x1x2 544 24 35答案： 358已知 F1，F 2 为椭圆的两个焦点，以 F1 为圆心，且经过椭圆中心的圆与椭圆有一个公共点为 P，若 PF2 恰好与圆 F1 相切，则该椭圆的离心率为_解析：由已知圆 F1的半径 rc，即| PF1|c，又 PF2与圆 F1相切，所以 PF2PF1，|F1F2|2c，|PF 2| c.3|PF1|PF 2|(1 )c2a.3e 1.ca 21 3 3答案： 13三、解答题9已知直线 l：y 2xm，椭圆 C： 1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆x24 y22C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)

25、没有公共点解：将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组Error!将代入，整理得 9x28mx2m 240.方程根的判别式 (8m )2 49(2m24)8m 2144.(1)当 0，即3 3 时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数2 2解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点10设直线 yx b 与椭圆 y 21 相交于 A，B 两个不同的点x22(1)求实数 b 的取值范围；(2)当 b1 时，求| AB|.解：(1)将 yxb 代入 y 21，x22消去 y，整理得 3x24bx 2b 220.因为直线 yxb 与椭圆 y21 相交于 A，B 两个不同的点，x22所以 16b2 12(2b22) 248b 20，解得 b .3 3所以 b 的取值范围为( ， )3 3(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，当 b1 时，方程为 3x24x0.解得 x10，x 2 .43相应地 y11，y 2 .13所以|AB| .x1 x22 y1 y22423