2019年湘教版数学选修2-1讲义+精练:2.5 曲线与方程(含解析)
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1、25 曲线与方程第一课时 曲线与方程读教材填要点曲线的方程、方程的曲线一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作满足某种条件的点集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y )0 的实数解建立了如下关系:点在曲线上点的坐标满足方程即:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点此时,方程叫曲线的方程,曲线叫方程的曲线小问题大思维1如果曲线 C 的方程是 f(x,y)0,那么点 P(x0,y 0)在曲线 C 上的充要条件是什么?提示:若点 P 在曲线上,则 f(x0,y 0)0;若 f(x0,y 0)0,则点 P 在曲线 f(x,y )0 上,点 P
2、(x0,y 0)在曲线 C 上的充要条件是 f(x0,y 0)0.2 “曲线的方程”与“方程的曲线”有什么区别?提示:“曲线的方程”强调的是图形表示的数量关系而“方程的曲线”则强调的是数量关系表示的图形曲线的方程与方程的曲线的概念分析下列曲线上的点与相应方程的关系:(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线与方程|x| 2 之间的关系;(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程 xy5 之间的关系;(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程 xy0 之间的关系自主解答 (1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线上的点的坐标都是方程 |x|2 的解;但以方程| x| 2 的解为坐标的点
3、不一定都在过点 A(2,0)且平行于 y 轴的直线上因此,|x| 2 不是过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程 xy5;但以方程 xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于 5.因此,与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的轨迹方程不是 xy5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足 xy 0;反之,以方程xy0 的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上因此,第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是 xy0.判定曲线和方程的对应关系的策略(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多
4、”,称为纯粹性(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“ 解不比点多” ,称为完备性注意 只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程1命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)0 的解”是真命题,下列命题中正确的是( )A方程 f(x,y)0 的曲线是 CB方程 f(x,y)0 的曲线不一定是 CCf(x,y)0 是曲线 C 的方程D以方程 f(x,y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上解析:“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)0 的解” ,但“以方程 f(x,y )0 的解为坐标的点”不一定在曲线 C 上,故 A、C、D 都不正确,B 正确答案
5、:B用直接法求曲线方程已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4)的距离相等,求点 M 的轨迹方程自主解答 设动点 M 的坐标为( x,y),且 M 到 x 轴的距离为 d,那么 M 属于集合M |d|MF |由距离公式得|y | ,x 02 y 42整理得 x28y160,即 y x22.18所求点 M 的轨迹方程是 y x22.18把本例中的“x 轴”改为“直线 x4” ,求点 M 的轨迹方程解:设动点 M 的坐标为(x ,y) ,则|x 4| ,x 02 y 42整理得 x y2y ,18点 M 的轨迹方程为 x y.y28利用直接法求轨迹方程,即直接根据已知等量关系,列出
6、x,y 之间的关系式,构成F(x, y)0,从而得出所求动点的轨迹方程要注意求轨迹方程时去杂点,找漏点2已知两点 A(0,1),B(1,0) ,且|MA| 2|MB|,求动点 M 的轨迹方程解:设点 M 的坐标为(x ,y ),由两点间距离公式, 得|MA| ,x 02 y 12|MB| .x 12 y 02又|MA |2|MB|, 2 .x 02 y 12 x 12 y 02两边平方,并整理得 3x23y 22y 8x30,即所求轨迹方程为 2 2 .(x 43) (y 13) 89用定义法求曲线方程如图,在圆 C:(x1) 2y 225 及点 A(1,0),Q 为圆上一点,AQ 的垂直平分
7、线交 CQ 于 M,求点 M 的轨迹方程自主解答 由垂直平分线性质可知| MQ| MA|,|CM| MA|CM| |MQ| CQ|.|CM| MA|5.M 点轨迹为椭圆由椭圆的定义知:a ,c1,52b2 a2c 2 1 .254 214所求轨迹方程为: 1.x2254y2214如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征3已知 B,C 是两个定点, |BC|6,且ABC 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹方程解:如图,建立直角坐标系,使 x 轴经过点 B,C ,原点 O 与BC 的中点重合由已知|AB| AC|BC|
8、16,|BC|6,|AB|AC| 10|BC|6.即点 A 的轨迹是椭圆,且 2c6,2a10.c 3, a5, b2a 2c 225916.但当点 A 在直线 BC 上,即 y0 时,A, B,C 三点不能构成三角形点 A 的轨迹方程是 1( y0)x225 y216用相关点法求曲线方程已知圆 x2y 29,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP,点 M 在PP上,并且 2 ,求点 M 的轨迹PM MP 自主解答 设点 M 的坐标为( x,y),点 P 的坐标为( x0,y 0),则 x0x,y 03y.因为 P(x0,y 0)在圆 x2y 29 上,所以 x y 9.20 20将
9、 x0x,y 0 3y 代入,得 x29y 29,即 y 21.x29所以点 M 的轨迹是一个椭圆若将“点 M 在 PP上,并且 2 ”改为“点 M 在直线 PP上,并且PM MP (0)” ,则 M 点的轨迹是什么?P M 12P P 解:设 M(x,y ),P(x 0,y 0),PPx 轴,且| PM| |PP|,12x x0,y y0,12即 x0x,y 0 2y.点 P(x0,y 0)在圆 x2y 29 上,x y 9.20 20把 x0x,y 0 2y 代入上式得, 1.x29 y294所以点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆此类题的解题步骤是先设出点 P 和 M 的坐标,根据条件
10、写出 P 点与 M 点的坐标之间的关系,然后用 M 点的坐标表示 P 点的坐标,并代入 P 点的坐标所满足的方程,整理即得所求轨迹方程动点 M 与曲线上的点 P 称为相关点( 有关系的两点 ),这种求轨迹方程的方法称为相关点求轨迹方程法4已知点 A 是椭圆 y 2 1 上任意一点,O 为坐标原点,求线段 OA 的中点 P 的轨x22迹方程解:设 P(x,y),A(x 1,y 1),P 为 OA 中点,x ,y ,0 x12 0 y12x1 2x,y 12y .又点 A 在椭圆上, y 1.x212 21 (2y) 2 1.2x22 1x212y214即为所求点 P 的轨迹方程解题高手 多解题
11、条条大路通罗马,换一个思路试一试如图,过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1,l 2.若 l1 交 x 轴于 A,l 2 交 y 轴于 B,求线段 AB中点 M 的轨迹方程解 法一:设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,M 为 AB 中点,A(2 x,0),B(0,2y)l1l2,且 l1,l 2 过点 P(2,4),PAPB.kPAkPB1.kPA (x1),k PB ,42 2x 4 2y2 1,即 x2y50(x1) 42 2x4 2y2当 x1 时,A(2,0),B(0,4)此时 AB 中点 M 的坐标为(1,2),它也满足方程 x2y 50,所求点 M 的轨迹方程为 x2y 50.法
12、二:设 M(x,y ),则 A(2x,0),B(0,2y) ,l1l2,PAB 为直角三角形,|PM| |AB|.12即 .x 22 y 4212 4x2 4y2化简得 x2y50,所求点 M 的轨迹方程为 x2y 50.1已知坐标满足方程 f(x,y) 0 的点都在曲线 C 上,那么( )A曲线 C 上的点的坐标都适合方程 f(x,y)0B凡坐标不适合 f(x,y)0 的点都不在 C 上C不在 C 上的点的坐标必不适合 f(x,y)0D不在 C 上的点的坐标有些适合 f(x,y)0,有些不适合 f(x,y)0解析:设满足方程 f(x,y )0 的点组成的集合为 M,曲线 C 上的所有点组成集
13、合 N,由题意可知 MN.答案:C2下列四个图形中,图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )解析:对于 A,点(0,1)满足方程,但不在曲线上,排除 A;对于 B,点(1,1)满足方程,但不在曲线上,排除 B;对于 C,曲线上第三象限的点,由于 x0,y0,不满足方程,排除 C.答案:D3下列方程中与方程 x2y 0 表示同一曲线的是( )A|x| 0 B. 1yx2yCx 2 |y|0 D2ln xln y0解析:根据曲线与方程的关系,若两个方程表示同一曲线,则其方程在形式上必须能统一,且其中的变量范围也必须一致本题中的方程 x2y0 表示顶点在原点,且开口向上的抛物线C 项方程中,yR
14、,即 yx 2 表示两条抛物线,A、B、D 三项中的方程都能化为 x2y0.但在 B 项中 y0,它表示一条除去顶点的抛物线;D 项中有 x0,y0,它表示抛物线在 y 轴右侧部分答案:A4到点 F(2,0)和 y 轴的距离相等的点的轨迹方程是_ 解析:设 M(x,y )为轨迹上任意一点,则 |x |,(x 2) 2y 2x 2.x 22 y2即 y24x4.答案:y 24( x1)5由动点 P 向圆 x2y 21 引两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B,APB 60 ,则动点 P 的轨迹方程为_解析:易求|PO|2,故 P 点的轨迹方程为 x2y 24.答案:x 2y 246已知线段 A
15、B 与 CD 互相垂直且平分于点 O,且|AB|4,| CD|8,动点 P 满足|PA|PB| PC|PD|,求动点 P 的轨迹方程解:如图所示,分别以 CD,AB 所在的直线为 x 轴、y 轴建立直角坐标系则 O(0,0),C( 4,0),D(4,0),A(0,2) ,B (0,2)设动点 P(x,y),则由|PA|PB| |PC|PD|,得x2 y 22 x2 y 22 .x 42 y2 x 42 y2化简,得 x2y 26.此为所求动点 P 的轨迹方程一、选择题1直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于 1 的点的轨迹方程是( )A|x| |y|1 B| xy| 1C|x| y|1 D|xy|
16、 1解析:设 M(x,y )为平面直角坐标系内的任意一点,则点 M 到 x 轴的距离为| y|,到 y轴的距离为|x|. 由题意知|x| | y|1.答案:C2已知 M(2,0),N (2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是( )Ax 2y 22 Bx 2y 24Cx 2 y22(x ) Dx 2y 24(x2)2解析:设 P(x,y) ,因为MPN 为以 MN 为斜边的直角三角形,MP2 NP2MN 2,(x2) 2y 2(x2) 2y 216.整理得,x 2y 24.M,N,P 不共线,x 2.轨迹方程为 x2y 24(x2)答案:D3已知两定点 A(2,0)
17、 ,B(1,0),如果动点 P 满足| PA|2| PB|,则点 P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A B4C8 D9解析:设 P(x,y) ,代入| PA| 2|PB|,得(x2) 2y 24(x1) 2y 2,即(x2)2y 24,所求的轨迹是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆所以点 P 的轨迹所围成的图形的面积等于 4.答案:B4已知 log2x, log2y,2 成等差数列,则在平面直角坐标系中,点 M(x,y )的轨迹为( )解析:由 2log2y2log 2x,得 log2y2log 24x,y2 4x(x0,y0),即 y2 (x0)x答案:A二、填空题5方程 x22y 24
18、x 8y120 表示的图形为_解析:对方程左边配方得(x2) 22(y2) 20.(x2) 20,2(y 2) 20,Error!解得Error!从而方程表示的图形是一个点(2,2) 答案:一个点(2,2)6在平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x, y)满足 4,则动OP OA 点 P 的轨迹方程是_解析:由 4 得 x1y 24,OP OA 因此所求轨迹方程为 x2y 40.答案:x2y407.如图,在平面直角坐标系中,已知动点 P(x,y),PMy 轴,垂足为M,点 N 与点 P 关于 x 轴对称且 4,则动点 P 的轨迹方程为OP MN _解析:由已知 M(0,
19、y ),N(x ,y ),则 (x ,y )(x,2 y)OP MN x 22y 24,即 1.x24 y22答案: 1x24 y228已知 A(2,0),B(1,2),点 C 在直线 2xy30 上移动,则ABC 重心 G 的轨迹方程为_解析:设 G(x, y),C(x ,y)G 是ABC 的重心,且 A(2,0),B(1,2) ,Error!Error!又 C(x,y)在直线 2xy 30 上,2x y30,即 2(3x 1)(3y 2)30.化简得:6x3y 70.A(2,0),B( 1,2),C(3x1,3y2)共线的条件是 ,3y 23x 3 2 3即 2x3y40.解方程组Erro
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