2019年湘教版数学新选修2-2讲义+精练:4.4 生活中的优化问题举例(含解析)
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1、44 生活中的优化问题举例读教材填要点1优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题2解决优化问题的基本思路小问题大思维将 8 分成两个非负数之和,使其立方和最小,应该怎么分?提示:设一个数为 x,则另一个数为 8x,则其立方和yx 3(8x) 38 3192x24x 2,且 0x 8,y48x192.令 y0,即 48x1920,得 x4.当 0x0,当 x 4 时,y 最小即分成的这两个数应为 4,4.用料最省、费用最低问题如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为 200 m2 的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过 16 m,如果池外周
2、壁建造单价为每米 400 元,中间两条隔墙建造单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).(1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(m)的函数关系式,并指出其定义域(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价自主解答 (1)设长为 x m,则宽为 m200x据题意Error!解得 x16,252y 400 24816 000(2x 2200x) 400x800x 16 000 .259 200x (252 x 16)(2)令 y800 0,解得 x18.259 200x2当 x(0,18)时,函数 y 为减函数;当
3、 x(18,)时,函数 y 为增函数又 x16.252当 x 16 时, ymin45 000.当且仅当长为 16 m、宽为 12.5 m 时,总造价 y 最低为 45 000 元.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值,此时根据 f(x) 0 求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后,函数在该点附近满足左减右增,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值1.已知 A,B 两地相距 200 千米,一只船从 A 地逆水航行到 B 地,水速为 8 千米/时,船在静水中的航行速度为 v 千米/ 时(8 vv 0)若船每小时航行所需的燃料费与其在静
4、水中的航行速度的平方成正比,当 v12(千米/时)时,船每小时航行所需的燃料费为 720 元为了使全程燃料费最省,船的实际航行速度应为多少?解:设船每小时航行所需的燃料费为 y1 元,比例系数为 k(k0),则 y1kv 2.当 v12 时,y 1720,720k12 2,得 k5.设全程燃料费为 y 元,由题意,得 yy 1 ,200v 8 1 000v2v 8y .2 000vv 8 1 000v2v 82 1 000v2 16 000vv 82令 y0,解得 v0( 舍去)或 v16.当 v016 时,v(8,16),y 0,即 y 为减函数;v(16, v0,y0,即 y 为增函数,故
5、 v16(千米/时)时,y 取得极小值,也是最小值,此时全程燃料费最省;当 v016 时,v(8,v 0,y 0,即 y 在(8 ,v 0上为减函数,故当 vv 0 时, ymin ,此时全程燃料费最省1 000v20v0 8综上可得,若 v016,则当 v16(千米/时)时,全程燃料费最省,为 32 000 元;若v016,则当 vv 0 时,全程燃料费最省,为 元.1 000v20v0 8利润最大、效率最高问题某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(吨)与每吨产品的价格 p(元/ 吨) 之间的关系式为:p24 200 x2,且生产 x 吨的成本为:R50 000200x(元) 问该厂
6、每月15生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?自主解答 依题意,每月生产 x 吨时的利润为:f(x) x(50 000 200x)(24 200 15x2) x324 000x50 000(x0)15由 f(x ) x224 000,35令 f(x) 0 ,解得 x1200 , x2200(舍去)因为 f(x)在0,)内有意义,则有且只有当 x200 时 f(x) 0,且它就是最大值点,最大值为 f(200) 200324 00020050 0003 150 000.15故每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元.实际生活中利润最大,效率最高,流量、流速最大
7、等问题都需要利用导数求解相应函数的最大值,此时根据 f(x )0 求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点),函数满足左增右减,此时唯一的极大值就是所求函数的最大值2.某产品按质量分为 10 个档次,生产第 1 档次(即最低档次) 的利润是每件 8 元,每提高一个档次,利润每件增加 2 元,但在一天内产量减少 3 件在一天内,最低档次的产品可生产 60 件问在一天内,生产第几档次的产品的总利润最大?最大利润是多少?解:设在一天内,生产第 x(1x10,xN )档次的产品的总利润为 y.依题意,得 y8 2(x 1)603(x1)6x 2108x378(1x 10 ,x N ),y12x1
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