2019年湘教版数学新选修2-2讲义+精练:4.2 导数的运算(含解析)
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1、42 导数的运算读教材填要点1求导公式(1)几个幂函数的导数:原函数 导函数f(x)c f(x)0f(x)x f(x)1f(x) x2 f( x)2xf(x) x3 f( x)3x 2f(x)1xf( x)1x2f(x) xf( x)12x(2)基本初等函数的导数公式:原函数 导函数f(x)x (0) f(x) x1f(x)e x f (x)e xf(x)a x(a 0 且 a1) f (x)a xln_af(x)ln x(x 0) f(x)1xf(x)log ax(a0 且 a1) f(x )1xln af(x)sin x f( x)cos _xf(x)cos x f(x)sin_xf(x)
2、 tan x f( x)1cos2x2求导法则(1)(cf(x)cf(x) ;(2)(f(x)g( x)f(x) g( x),(f(x)g( x)f(x )g(x);(3)(f(x)g(x)f(x) g(x)f( x)g(x);(4) (f(x)0);(1fx) f xfx2(5) (f(x)0);(gxfx) fxg x gxf xfx2(6)若 yf(u) , ug( x),则 yxy uu x.小问题大思维1下面的计算过程正确吗?cos .(sin4) 4 22提示:不正确因为 sin 是一个常数,4 22而常数的导数为零,所以 0.(sin4)若函数 f(x)sin x ,则 f .(
3、4) 222若 f(x),g(x)都是可导函数,且 f(x)0,那么下列关系式成立吗?(1)af(x)bg( x)af(x) bg( x)(a,b 为常数);(2) (a 为常数 )afx af xfx2提示:由导数的运算法则可知,这两个关系式都正确3函数 yln(2x 1)的导函数是什么?提示:yln(2 x1)是由函数 yln u 和 u2x1 复合而成的,yxy u ux (2x1) .1u 2u 22x 1应用导数公式求导数求下列函数的导数:(1)y10 x;(2)y lg x ;(3)y log x;1x2 12(4)y ;(5)y 21.4x3 (sin x2 cos x2)自主解
4、答 (1)y(10 x)10 xln 10.(2)y (lg x) .(lg x 1x2) (1x2) 1xln 10 2x3(3)y(log x) .12 1xln 12 1xln 2(4)y( ) (x ) x .4x334 34 14 34 4x(5)y 21(sin x2 cos x2)sin 2 2sin cos cos 2 1sin x ,x x2 x2 xy (sin x)cos x .求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂;(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式
5、1求下列函数的导数:(1)y x;(1e)(2)y x;(110)(3)ylg 5;(4)y 3lg ;3x(5)y2cos 2 1.x解:(1)y xln e x .(1e)x (1e) 1e 1ex(2)y xln (110)x (110) 110 ln 1010x10 x ln 10.(3)ylg 5 是常数函数,y (lg 5) 0.(4)y3lg lg x,3xy (lg x) .1xln 10(5)y2cos 2 1cos x,xy (cos x) sin x.利用导数运算法则求导数求下列函数的导数(1)yxtan x;(2) y(x 1)( x2)( x3) ;(3)y ;(4)
6、yx sin x ;x 3x2 3 2cos x(5)ye 3x;(6)y5log 2(2x1)自主解答 (1)y( xtan x) (xsin xcos x)xsin x cos x xsin xcos xcos2x .sin x xcos xcos x xsin2xcos2x sin xcos x xcos2x(2)(x1)(x2)(x3)(x 23x 2)( x3)x 36x 211x 6,y (x1)(x 2)( x3) (x 36x 211x 6) 3x 212x11.(3)y .x 3 x2 3 x 3x2 3x2 32 x2 6x 3x2 32(4)y(xsin x) sin x
7、xcos x .(2cos x) 2sin xcos2x(5)函数 ye 3x可以看成函数 ye u和函数 u3x 的复合函数yxy u ux(e u)(3x)3e u3e 3x.(6)函数 y5log 2(2x1)可以看成函数 y5log 2u 和函数 u2x1 的复合函数yxy u ux5(log 2u) (2x1) .10uln 2 102x 1ln 2(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时,要分清函数的结构,再利用相应的法则进行求导(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式,有时先将函数表达式展开或化简,然后再求导(3)对于简单复合函数的求导,其一般步骤为“分解求导
8、回代” ,即:弄清复合关系,将复合函数分解成基本初等函数形式;利用求导法则分层求导;最终结果要将中间变量换成自变量注意不要漏掉第步回代的过程2求下列函数的导数:(1)y2 xcos x3x log2x;(2)y (2x 23)(3x2);(3)y ;(4) y ;ex 1ex 1 x 12x(5)y ;(6)y x ex .11 3x4解:(1)y(2 xcos x3x log2x)(2 x) cos x 2x(cos x)3xlog 2xx(log 2x)2 xln 2cos x2 xsin x3(log 2xx )1xln 22 xln 2cos x2 xsin x3log 2x .3ln
9、 2(2)法一:y(2x 23)(3x2)(2x 23)(3x2) 4x(3 x2)(2x 23)318x 28x9.法二:y(2 x23)(3 x2)6x 34x 29x6,y 18 x28x9.(3)y .ex 1 ex 1 ex 1ex 1ex 12 2exex 12(4)法一:yx 12 x x 12xx2 x2 2x 1 x x 12x2 2x 2x x 12x21 .1x2法二:y x2 ,x2 2x 1x 1xy 1 .1x2(5)函数 y (13x) 4 可以看作函数 yt 4 和 t13x 的复合函数,根据复11 3x4合函数求导法则可得 yxy t tx(t 4 )(13x
10、) (4t 5 )312(13x) 5 .(6)函数 ye x 可以看作函数 ye u和 ux 的复合函数,所以 yxy uu x(e u)(x) e ue x ,所以 y(xe x)xe x x(e x )e x x(e x )(1 x)e x .导数的实际应用“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度 h (m)与时间 t (s)之间的关系式为 h(t)4.9t 214.7t18,求烟花在 t2 s 时的瞬时速度,并解释烟花升空后的运动状况自主解答 烟花在 t2 s 时的瞬时速度就是 h(2) h (t) 9.8t14.7,h (2)4.9.即在
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