2019年湘教版数学新选修2-2讲义+精练:6.1.1 & 6.1.2 合情推理(一)——归纳 合情推理(二)——类比(含解析)
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1、61 合情推理和演绎推理61.1 & 6.1.2 合情推理(一)归纳 合情推理 (二)类比读教材填要点1合情推理的含义及方法“合乎情理”的推理,最常见的有归纳和类比(1)归纳由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫作归纳(2)类比根据两个不同的对象在某方面的相似之处,推测出这两个对象在其它方面也有可能有相似之处的推理方法,叫作类比2合情推理的过程小问题大思维1归纳推理和类比推理的结论一定正确吗?提示:归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然性的,而是或然性的,结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究中的事物的特征,所以类比推理的结果
2、具有猜测性,不一定可靠2你认为下列说法正确的有哪些?由合情推理得出的结论一定是正确的;合情推理必须有前提有结论;合情推理不能猜想;合情推理得出的结论不能判断正误提示:由合情推理的定义及推理过程可知,合情推理必须有前提有结论,但结论不一定正确,故只有正确数列中的归纳推理已知数列a n的每一项均为正数,a 11,a a 1(n1,2,3,) ,试归2n 1 2n纳出数列a n的一个通项公式自主解答 当 n1 时,a 11;当 n2 时,a 2 ;a21 1 2当 n3 时,a 3 .a2 1 3由此猜想a n的一个通项公式为 an (nN )n若将“a a 1”改换为“a n1 ”,试猜想a n的
3、一个通项公式2n 1 2n3an3 2an解:当 n1 时,a 11,由 an1 (nN ),得3an3 2ana2 ,a 3 ,a 4 .35 3a23 2a2 37 3a33 2a3 13 39由此猜想a n的一个通项公式为 an (nN )32n 1归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是:实验、观察概括、推广猜测一般性结论该过程包括两个步骤:(1)通过观察个别对象发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)1已知数列a n的前 n 项和为 Sn,a 1 ,且 Sn 2a n(n2),计算23 1SnS1,S 2,S 3,S 4,并猜想 Sn的表达式解
4、:当 n1 时,S 1a 1 ;23当 n2 时, 2S 1 ,所以 S2 ;1S2 43 34当 n3 时, 2S 2 ,所以 S3 ;1S3 54 45当 n4 时, 2S 3 ,所以 S4 .1S4 65 56猜想:S n ,nN .n 1n 2几何中的归纳推理如图,在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4 条线段,同时将圆分割成 4 部分;画三条线段,彼此最多分割成 9 条线段,将圆最多分割成 7 部分;画四条线段,彼此最多分割成 16 条线段,将圆最多分割成 11 部分那么:(1)在圆内画 5 条线段,它们彼此最多分割成多少条线段?将圆最多分割成多少部分?(2)
5、猜想:圆内两两相交的 n(n2)条线段,彼此最多分割成多少条线段?将圆最多分割成多少部分?自主解答 将圆内两两相交的 n 条线段,彼此最多分割成的线段为 f(n)条,将圆最多分割为 g(n)部分(1)f(1)11 2,g(1) 2 ;12 1 22f(2)42 2,g(2)4 ;22 2 22f(3)93 2,g(3)7 ;32 3 22f(4)164 2,g(4)11 ;42 4 22所以 n5 时,f(5)25,g(5) 16.52 5 22(2)根据题意猜测:圆内两两相交的 n(n2)条线段,彼此最多分割为 f(n)n 2 条线段,将圆最多分割为g(n) 部分n2 n 22解决图形中归纳
6、推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手:(1)从图形的数量规律入手,找到数值变化与数量的关系(2)从图形的结构变化规律入手,找到图形的结构每发生一次变化后,与上一次比较,数值发生了怎样的变化2有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A26 B31C32 D36解析:选 B 有菱形纹的正六边形个数如下表:图案 1 2 3 个数 6 11 16 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项,以 5 为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 65(61) 31.故选 B.类比推理(
7、1)若数列 an(nN *)是等差数列,则有数列b n:bn (n N*)也是等差数列类比上述性质,相应地,若数列c na1 a2 a3 ann(nN *)是等比数列,且 cn0,则有数列 dn:d n_(nN *)也是等比数列(2)如图所示,在ABC 中,射影定理可表示为 abcos Cc cos B,其中 a,b,c 分别为角 A,B , C 的对边,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想自主解答 (1)由等差数列与等比数列在运算上的相似性猜想:d n .nc1c2c3cn答案: nc1c2c3cn(2)如图所示,在四面体 PABC 中,S 1,S 2,S 3,S 分别表示PAB,PBC
8、, PCA,ABC 的面积, 依次表示平面 PAB,平面 PBC,平面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为SS 1cos S 2cos S 3cos .1类比推理的一般步骤类比推理的思维过程大致是:观察、比较联想、类推猜测新的结论该过程包括两个步骤:(1)找出两类对象之间的相似性或一致性;(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质,得出一个明确的命题( 猜想)2解决此类问题,从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手,将平面几何的相关结论类比到立体几何,相关类比点如下:平面图形 点 直线 边长 面积 三角形 线线角空间图形 直线 平面
9、面积 体积 四面体 面面角3在平面几何中:ABC 的C 内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为 .把这ACBC AEBE个结论类比到空间:在三棱锥 ABCD 中( 如图),DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 相交于E,则得到类比的结论是_解析:由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得 .AEEB S ACDS BCD答案: AEEB S ACDS BCD类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想巧思 考虑到直角三角形的两条边互相垂直,所以可以选取有 3 个面两两垂直的四面体,作为直角三角形的类比对象妙解 如图(1),(2) 所示,与 RtABC 相对应的是四面体 P
10、DEF;与 RtABC 的两条边构成的 1 个直角相对应的是四面体 PDEF 的 3 个面在一个顶点构成的 3 个直二面角;与RtABC 的直角边边长 a,b 相对应的是四面体 PDEF 中的DEF,FPD 和DPE 的面积S1,S 2 和 S3;与 RtABC 的斜边 c 相对应的是四面体 PDEF 中的PEF 的面积 S.我们知道,在 RtABC 中,由勾股定理,得 c2a 2b 2.于是,类比直角三角形的勾股定理,在四面体 PDEF中,我们猜想: S2 S S S 成立 21 2 231已知数列a n的前 n 项和 Snn 2an(n2),而 a11,通过计算 a2,a 3,a 4,猜想
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