2019年湘教版数学新选修2-2讲义+精练:4.5 定积分与微积分基本定理(含解析)
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1、45 定积分与微积分基本定理读教材填要点1曲边梯形的面积(1)曲边梯形:位于曲线 yf(x)(axb)和 x 轴之间的图形,叫作函数 yf (x)在区间a,b上的“曲边梯形” (2)曲边梯形面积的计算方法:化整为零、以直代曲,即把一个曲边梯形 分成多个小曲边梯形,再用矩形代替小曲边梯形2计算变力所做的功的方法化整为零,以直代曲3定积分的概念设 f(x)是在区间a,b上有定义的函数,在 a,b 之间取若干分点ax 0x 1x 2 x nb.记小区间x k1 ,x k为 k,其长度 xkx k1 记作 xk,x k 中最大的记作 d,再在每个小区间 k 上任取一点代表点 zk,作和式: (zk)x
2、k . nk 1f如果(不论如何取分点 xk 和代表点 zk)当 d 趋于 0 时和式 以 S 为极限,就说函数 f(x)在a,b上可积,并且说 S 是 f(x)在a,b 上的定积分,记作 S f(x)dx.ba4微积分基本定理如果 f(x)是在a,b上有定义的连续函数,F(x)在 a,b上可导并且 F(x)f(x) ,则 f(t)dtF( b)F (a)ba小问题大思维1求曲边梯形面积时,对曲边梯形进行“以直代曲” ,怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差?提示:为了减小近似代替的误差,需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲” ,而且分割的曲边梯形数目越多,得到的面积的误差越小2求曲边
3、梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点?提示:(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲” “以不变代变”的思想方法(2)求解的方法步骤相同3由定积分的定义可知, f(x)dx 是一个常数还是一个变量? f(x)dx 的值与哪些量有baba关?提示:由定义可得定积分 f(x)dx 是一个常数,它的值仅取决于被积函数与积分上 、下ba限,而与积分变量没有关系,即 f(x)dx f(t)dt f(u)du.bababa4如图所示,如何用阴影面积 S1,S 2,S 3 表示定积分 f(x)dx 的值?ba提示: f(x)dxS 1S 2S 3.ba利用微积分基本定理求
4、定积分计算下列定积分:(1) (4xx 2)dx; (2) (x1) 5 dx;3 121(3) (t2)d x; (4) dx.2121 1xx 1自主解答 (1)取 F(x)2x 2 ,x33因为 F( x)4xx 2,所以 (4xx 2)dxF (3)F(1)3 1 .(232 333) 2 12 133 203(2)因为 (x 1) 5,16x 16所以 (x1) 5dxF(2)F(1)21 (21) 6 (11) 6 .16 16 16(3)取 F(x)( t2)x,因为 F (x)t2,所以 (t2)dxF (2)F(1)212(t2) (t2)t2.(4)f(x) ,1xx 1
5、1x 1x 1取 F(x)ln x ln(x1)ln ,xx 1则 F(x) .1x 1x 1所以 dx dxF(2) F (1)ln .21 1xx 121(1x 1x 1) 43运用微积分基本定理求定积分时的 4 个注意点(1)对被积函数要先化简,再求积分;(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性 ”,分段积分再求和;(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号再求积分;(4)注意用“F(x )f(x )”检验积分的对错1计算下列定积分:(1) (3x22x1)dx ; (2) dx;3 121(x 1x)(3) (sin xcos x )dx; (4) |1
6、x|d x.020解:(1)取 F(x)x 3x 2x,则 F(x)3x 22x1. (3x22x 1)dxF(3)F(1) 24.3 1(2)取 F(x) x2ln x ,12则 F(x)x .1x dxF(2) F(1) ln 2.21(x 1x) 32(3)取 F(x) cos xsin x,则 F(x)sin xcos x. (sin xcos x )dxF ()F(0)2.0(4)|1 x| Error!取 F1(x)x x2,0x 1,12F2(x) x2x,1x 2,12则 F1( x)1x,F 2(x ) x1. |1x|d xF 1(1)F 1(0)F 2(2)F 2(1)1
7、.20利用定积分求参数已知函数 f(x)ax 2c(a0),若 f(x)dxf (x0), 0x 01,求 x0 的值10自主解答 因为 f(x)ax 2c (a0),取 F(x) x3cx ,a3则 F(x)ax 2c,所以 f(x)dx (ax2c)dx F(1) F (0) c ax c.1010 a3 20解得 x0 或 x0 (舍去)33 33即 x0 .33利用定积分求参数时,注意方程思想的应用一般地,首先要弄清楚积分变量和被积函数当被积函数中含有参数时,必须分清常数和变量,再进行计算;其次要注意积分下限不大于积分上限2已知 f(x)是一次函数,且 f(x)dx5, xf(x)dx
8、 ,求 f(x)的解析式1010 176解:设 f(x)axb( a0),取 F1(x) ax2bx,12F1(x )f(x) 则 (axb)d xF 1(1)F 1(0) ab,10 12x(ax b)dx (ax2bx )dx,1010取 F2(x) ax3 bx2 且 F2(x)ax 2bx,13 12则 x(axb)dxF 2(1)F 2(0) a b,10 13 12由Error!解得 a4,b3,故 f(x)4x3.利用定积分求曲边梯形的面积求由抛物线 yx 24 与直线 yx2 所围成图形的面积自主解答 由Error!得Error!或Error!所以直线 yx 2 与抛物线yx
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