2019年苏教版高二数学选修2-1讲义：1.3.1 量词（含解析）

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1、_1.3 全称量词与存在量词13.1 量 词对 应 学 生 用 书 P12全称量词与全称命题观察下列命题：(1)对任意实数 x，都有 x5.(2)对任意一个 x(xZ )，3x1 是整数问题：上述两个命题各表示什么意思？提示：(1)表示对每一个实数 x，必定有 x5； (2)对所有的整数 x,3x1 必定是整数全称量词和全称命题全称量词 所有、任意、每一个、任给符号表示 x 表示“对任意 x”全称命题 含有全称量词的命题一般形式 xM，p(x )存在量词和存在性命题观察下列语句：(1)存在一个实数 x，使 3x17.(2)至少有一个 xZ，使 x 能被 3 和 4 整除问题：上述两个命题各表述

2、什么意思？提示：(1)表示有一个实数 x，满足 3x17；(2)存在一个整数 Z，满足能被 3 和 4 整除存在量词和存在性命题存在量词 有一个、有些、存在一个符号表示 “x”表示“存在 x”存在性命题 含有存在量词的命题一般形式 xM，p(x )1判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，但可以根据命题涉及的意义去判断2要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题3要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都

3、不成立，则该存在性命题是假命题对 应 学 生 用 书 P12全称命题、存在性命题的判断例 1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题(1)若 a0 且 a1，则对任意 x，a x0；(2)对任意实数 x1，x 2，若 x1sin x；(0， 2)xR,3 x0；xR，sin x cos x2；xR，lg x 0.其中为真命题的是_(填入所有真命题的序号)解析：中，由于 x ，所以 sin x0,00，所以是真命题；中，函数 y3 x， xR 的值域是(0，) ，所以是sin x(1 cos x)cos x真命题；中，函数 ysin xcos x sin ，xR 的值域是 ， ，又2 (x 4)

4、2 22 ， ，所以是假命题；中，由于 lg 10，所以是真命题2 2答案：5判断下列全称命题的真假(1)所有的素数是奇数；(2)xR，x 211；(3)对每一个无理数 x，x 2 也是无理数解：(1)2 是素数，但不是奇数所以，全称命题“所有的素数是奇数 ”是假命题(2)xRx 20x 211.所以，全称命题“xR ，x 211”是真命题(3) 是无理数，但( )22 是有理数所以， “对每一个无理数 x，x 2 也是无理数”是2 2假命题6分别判断下列存在性命题的真假：(1)有些向量的坐标等于其起点的坐标；(2)存在 xR，使 sin xcos x2.解：(1)真命题设 A(x1，y 1)

5、，B( x2，y 2)，(x 2x 1，y 2y 1)，由Error!得Error!AB如 A(1,3)，B (2,6)，( x2x 1，y 2y 1)(1,3)，满足题意(2)假命题由于 sin xcos x sin 的最大值为 ，所以2(22sin x 22cos x) 2 (x 4) 2不存在实数 x，使 sin xcos x2.1判定命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断2要判定全称命题“xM，p( x)”是真命题，需要对集合 M 中每个元素 x，证明p(x)成立；如果在集合

6、M 中找到一个元素 x0，使得 p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题3要判定存在性命题“xM，p( x)”是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素x0，使 p(x0)成立即可；如果在集合 M 中，使 p(x)成立的元素 x 不存在，那么这个存在性命题是假命题对应课时跟踪训练(五) 1下列命题：有的质数是偶数；与同一平面所成的角相等的两条直线平行；有的三角形的三个内角成等差数列；与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中是全称命题的是_，是存在性命题的是_(只填序号)解析：根据所含量词可知是全称命题，是存在性命题答案： 2下列命题中的假命题是_xR,2 x1 0；xN *，(x1) 20；

7、xR，lg x 0”为真命题，则实数 a 的取值范围是_解析：当 a0 时，不等式为 10，对xR,10 成立当 a0 时，若x R，ax 22ax 10 ，则Error!解得 00)；(2)对任意非零实数 x1，x 2，若 x1x 2，则 ；1x1 1x2(3) R，使得 sin( )sin ；3(4)xR，使得 x210.解：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题(1)zx0( z0)恒成立，命题 (1)是真命题(2)存在 x11，x 21，x 1 x2，但 ；12(2)， ，使 cos() cos cos ；(3)x，yN，都有 (xy) N；(4)x，yZ ，使 xy 3.2

8、解：(1)法一：当 xR 时，x 2x1 2 ，所以该命题是真命题(x 12) 34 3412法二：x 2x1 x 2x 0，由于 14 1 的12 12 12 12解集是 R，所以该命题是真命题(2)当 ， 时，cos( )cos cos cos ，cos cos cos 4 2 (4 2) ( 4) 4 22 cos 0 ，此时 cos ()cos cos ，所以该命题是真命题4 2 22 22(3)当 x2，y4 时，x y 2N，所以该命题是假命题(4)当 x0，y3 时， xy3，即x，y Z，使 x y3，所以该命题是真命2 2题8(1)对于任意实数 x，不等式 sin xcos xm 恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)存在实数 x，不等式 sin x cos xm 有解，求实数 m 的取值范围解：(1)令 ysin x cos x ，xR.y sin xcos x sin(x ) .24 2又 xR，sin xcos x m 恒成立只要 mm 有解只要 m 即可2所求 m 的取值范围是(， )2