2019年苏教版高二数学选修2-1讲义：1.3.2 含有一个量词的命题的否定（含解析）

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1、13.2 含有一个量词的命题的否定对 应 学 生 用 书 P14观察下列几个命题：(1)p：有些三角形是直角三角形；(2)q：所有的质数都是奇数；(3)r：所有的人都睡觉；(4)s：有些实数的相反数比本身大问题 1：哪些是全称命题，哪些是存在性命题？提示：(1)、(4)是存在性命题，(2) 、(3)是全称命题问题 2：试对它们进行否定提示：(1)任意的三角形都不是直角三角形(2)有些质数不是奇数(3)有的人不睡觉(4)任意实数的相反数都不大于本身 问题 3：它们的否定有什么规律？提示：全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题1全称命题的否定全称命题的否定是存在性命题， “xM，p

2、( x)”的否定为“xM ，綈 p(x)”2存在性命题的否定存在性命题的否定是全称命题， “xM，p( x)”的否定为“xM ，綈 p(x)”对全称命题与存在性命题进行否定的方法：(1)确定所给命题类型，分清是全称命题还是存在性命题；(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词；(3)否定性质：原命题中的“是” “有” “存在” “成立”等更改为 “不是” “没有” “不存在” “不成立”等对 应 学 生 用 书 P15全称命题的否定例 1 判断下列命题的真假，并写出它们的否定(1)对任意 xR，x 3x 210；(2)所有能被 5 整除的整数都是奇数；(3)对任

3、意的 xQ， x2 x1 是有理数13 12思路点拨 几个命题均为全称命题，可先判断真假，再变换量词、否定结论、写出其否定精解详析 (1)当 x2 时，2 32 2150，故(1)是假命题命题的否定：存在 xR ，x 3x 210.(2)10 能被 5 整除，10 是偶数，故(2)是假命题命题的否定：存在一个能被 5 整除的整数不是奇数(3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数，故(3)是真命题命题的否定：存在 xQ， x2 x1 不是有理数13 12一点通 1全称命题的否定：全称命题的否定是一个存在性命题，给出全称命题的否定时既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的

4、性质是解题的关键2常见词语的否定：原词 否定词 原词 否定词 原词 否定词等于 不等于 是 不是 至少一个 一个也没有大于 不大于 都是 不都是 任意 某个小于 不小于 至多一个 至少两个 所有的 某些1指出下列命题的形式，写出下列命题的否定：(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)xR，x 22x10.解：(1)xM ， p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形， xM，綈 p(x)(2)xM ，p(x)，否定：存在一个素数不是奇数，xM，綈 p(x)(3)xM ，p(x)，否定：x R，x 22x10，xM，綈 p(x)2判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

5、(1)三角形的内角和为 180；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)负数的平方是正数解：(1)是全称命题且为真命题命题的否定：三角形的内角和不全为 180，即存在一个三角形且它的内角和不等于180.(2)是全称命题且为假命题命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下(3)是全称命题且为真命题命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行(4)是全称命题且为真命题命题的否定：某个负数的平方不是正数.存在性命题的否定例 2 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)x 0，y 0Z，使得

6、 x0 y03.2思路点拨 它们的否定是全称命题，解题时既要改变量词，也要否定结论，最后判断其真假精解详析 (1)命题的否定是：“所有实数的绝对值都不是正数” 由于| 2|2，因此命题的否定为假命题(2)命题的否定是：“每一个平行四边形都不是菱形” 由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题(3)命题的否定是：“x，yZ ， xy 3” 2因为当 x0，y 3 时， xy3，因此命题的否定是假命题2一点通 1存在性命题的否定是全称命题，要否定存在性命题“xM，p( x)成立” ，需要验证对 M 中的每一个 x，均有 p(x)不成立，也就是说“x M，綈 p(x)成立” 2要证明存在性命题是真

7、命题，只需要找到使 p(x)成立的条件即可3只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意” ，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在” 例如：三角形存在外接圆这个命题是全称命题，量词“所有的”被省略了，所以，这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆3写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：x 0R，x 10 满足条件12当 a0 时，若方程 ax22x 10 至少有一个正实数根则 4 4a 0，则 a1.又因 x0 时，ax 22x 1 10”的否定是_解析：全称命题的否定是存在性命题答案：xR，x 2x304命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是_解析：此命题是一个全称命

8、题，全称命题的否定是存在性命题故该命题的否定是：“存在能被 2 整除的整数不是偶数” 答案：存在能被 2 整除的整数不是偶数5若命题“xR ，使得 x2(a1) x10”为假命题，则实数 a 的取值范围是_解析：该命题 p 的否定是綈 p：“xR ，x 2(a1) x10” ，即关于 x 的一元二次不等式 x2( a1)x 10 的解集为 R，由于命题 p 是假命题，所以綈 p 是真命题，所以( a1) 240.利用配方法可以验证綈 q 是一个真命题(3)这一命题的否定形式是綈 r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知綈 r 是一个假命题8x1,2，使 4x2 x1 2at22t 2，原命题等价于：t ，at 22t2 恒成立，令 yt 22t2(t1) 21，当 t12，4时，y max10.12，4所以只须 a10 即可即所求实数 a 的取值范围是(10 ，)