2019年苏教版高二数学选修2-1讲义：2.1 圆锥曲线（含解析）

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1、21 圆_锥_曲_线对 应 学 生 用 书 P18椭圆的定义取一条定长的无弹性的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点 F1、F 2 处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖问题 1：若绳长等于两点 F1、F 2 的距离，画出的轨迹是什么曲线？提示：线段 F1F2.问题 2：若绳长 L 大于两点 F1、F 2 的距离移动笔尖(动点 M)满足的几何条件是什么？提示：MF 1MF 2L.平面内与两个定点 F1，F 2 的距离的和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做椭圆(1)焦点：两个定点 F1，F 2 叫做椭圆的焦点 (2)焦距：两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.双曲线的定义2013 年 11 月 30

2、日，中国海军第 16 批护航编队“盐城”导弹护卫舰， “洛阳”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时， “洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰哨兵相距 1 600 m 的“盐城”舰，3 s 后也监听到了马达声(声速 340 m/s)，用 A、B 分别表示“洛阳”舰和 “盐城”舰所在的位置，点 M表示快艇的位置问题 1：“盐城”舰比“洛阳”舰距离快艇远多少米？提示：MBMA34031 020(m) 问题 2：把快艇作为一个动点，它的轨迹是双曲线吗？提示：不是平面内与两个定点 F1，F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 的正数) 的点的轨

3、迹叫做双曲线(1)焦点：两个定点 F1，F 2 叫做双曲线的焦点(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.抛物线的定义如图，我们在黑板上画一条直线 EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB 固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在 C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线 EF 上，在拉锁 D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线问题 1：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线问题 2：DA 是点 D 到直线 EF 的距离吗？为什么？提示：是AB 是 Rt的一条直角边问题 3：点 D 在移动过程中，满足什么条件？提示：DADC.1一般地，平面内到一个定点 F 和一条定直

4、线 l(F 不在 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线2椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线1圆锥曲线定义用集合语言可描述为：(1)椭圆 P M|MF1MF 22a,2aF 1F2；(2)双曲线 PM|MF 1MF 2|2a,2a F1F2 6，(3 3)2 (0 0)2m2 ， 当 m2 时，M 的轨迹是椭圆一点通 深刻理解圆锥曲线的定义是解决此类问题的前提，一定要注意定义中的约束条件：(1)在椭圆中，和为定值且大于 F1F2；(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F1F2；(3)在抛物线中，点 F 不在定直线上1命题甲：动点 P

5、 到两定点 A、B 的距离之和 PAPB2a(a0，a 为常数) ；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的_条件解析：若 P 点轨迹是椭圆，则 PAPB2a(a0，常数)，甲是乙的必要条件反过来，若 PAPB 2a(a0，常数)是不能推出 P 点轨迹是椭圆的这是因为：仅当 2aAB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2aAB 时，P 点轨迹是线段AB；当 2aAB 时，P 点无轨迹，甲不是乙的充分条件综上，甲是乙的必要而不充分条件答案：必要不充分2动点 P 到两个定点 A(2,0) ，B (2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是_解析：由题意知：PAPB AB 10，又 AB

6、4，PAPB64.点 P 的轨迹是椭圆答案：椭圆圆锥曲线的应用例 2 设 F1， F2 是双曲线的两个焦点， Q 是双曲线上任一点，从某一焦点引F 1QF2的平分线的垂线，垂足是 P，那么点 P 的轨迹是什么曲线？思路点拨 利用双曲线的定义，结合平面图形的性质判断精解详析 如图所示，点 Q 在双曲线的右支上，有QF1QF 22a .延长 F1P、QF 2 交于 L.F 1QP LQP，QPF 1P，F 1QQL ，代入，则 QLQF 22a，即 F2L2a.取线段 F1F2 中点 O，则由 P 是 F1L 中点有PO F2L 2aa.12 12P 的轨迹是以 O 为圆心，以 a 为半径的圆一点

7、通 当点在圆锥曲线上时，点一定满足圆锥曲线的定义，如本题中，点 Q 在双曲线上，则有 QF1QF 22a，这是定义的要求另外利用平面图形的性质解题是解析几何中很常见的解题思想3平面内到两定点 F1(1,0)和 F2(1,0)的距离的和为 3 的点的轨迹是_解析：F 1F223，点 P 的轨迹是椭圆答案：椭圆4已知圆 C1：(x3) 2y 21 和圆 C2：(x3) 2y 29，动圆 M 同时与圆 C1 和圆 C2相外切，试判断动圆圆心 M 的轨迹解：设圆 M 的半径为 r，由题意，得 MC11r ，MC23r. MC2MC 12C 1C2，圆心 M 的轨迹是以 C1，C 2 为焦点的双曲线的左

8、支5已知定点 P(0,3)和定直线 l：y 30，动圆 M 过 P 点且与直线 l 相切求证：圆心M 的轨迹是一条抛物线解： 直线 y 30 与圆相切，圆心 M 到直线 y30 的距离为圆的半径 r.又圆过点 P(0,3)，r MP ，动点 M 到点 P(0,3)的距离等于到定直线 y30 的距离，动点 M 的轨迹是以点 P(0,3)为焦点，以直线 y30 为准线的抛物线椭圆定义中常数为动点到两焦点的距离之和，由三角形中两边之和大于第三边知，应要求常数大于焦距双曲线定义中常数为动点到两焦点的距离之差的绝对值，由三角形中两边之差小于第三边知，应要求常数小于焦距对应课时跟踪训练(七) 1平面内到一

9、定点 F 和到一定直线 l(F 在 l 上) 的距离相等的点的轨迹是_答案：过点 F 且垂直于 l 的直线2设 F1、F 2 为定点，PF 1PF 25，F 1F28，则动点 P 的轨迹是_解析：58，满足双曲线的定义， 轨迹是双曲线答案：双曲线3以 F1、F 2 为焦点作椭圆，椭圆上一点 P1 到 F1、F 2 的距离之和为 10，椭圆上另一点 P2 满足 P2F1P 2F2，则 P2F1_.解析：P 2 在椭圆上，P 2F1P 2F210，又 P2F1P 2F2， P2F15.答案：54平面内动点 P 到两定点 F1(2,0) ，F 2(2,0)的距离之差为 m，若动点 P 的轨迹是双曲线

10、，则 m 的取值范围是_ 解析：由题意可知，|m| 4，且 m0，4m 4，且 m0.答案：(4,0) (0,4)5已知椭圆上一点 P 到两焦点 F1、F 2 的距离之和为 20，则 PF1PF2 的最大值为_解析：PF 1PF 220，PF1PF2( )2( )2100.PF1 PF22 202答案：1006已知抛物线的焦点为 F，准线为 l，过 F 作直线与抛物线相交于 A、B 两点，试判断以 AB 为直径的圆与 l 的位置关系解： 如图，取 AB 的中点 O2，过 A、B、O 2 分别作 AA1l，BB 1l，O 2O1l，根据抛物线的定义，知AA1AF，BB 1BF ，O2O1 R (

11、R 为圆的半径)，AA1 BB12 AF BF2 AB2以 AB 为直径的圆与 l 相切7动点 P(x，y) 的坐标满足 8.试确定点 P 的轨迹(x 2)2 y2 (x 2)2 y2解：设 A(2,0)，B(2,0)，则 表示 PA，(x 2)2 y2表示 PB，又 AB4，(x 2)2 y2PAPB84，点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆8在相距 1 600 m 的两个哨所 A，B，听远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速是340 m/s，在 A 哨所听到爆炸声的时间比在 B 哨所听到时间早 3 s试判断爆炸点在怎样的曲线上？解：由题意可知点 P 离 B 比离 A 远，且 PBPA34031 020 m，而 AB1 600 m 1 020 m，满足双曲线的定义，爆炸点应在以 A，B 为焦点的双曲线的靠近 A 的一支上