2019年苏教版高二数学选修2-1讲义：2.3.1 双曲线的标准方程（含解析）

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1、_2.3 双_曲_线23.1 双曲线的标准方程对 应 学 生 用 书 P25在平面直角坐标系中 A(3,0)，B(3,0)，C (0，3)，D (0，3)问题 1：若动点 M 满足|MAMB| 4，设 M 的坐标为(x，y)，则 x，y 满足什么关系？提示： 1.x24 y25问题 2：若动点 M 满足|MCMD|4，设 M 的坐标为( x， y)，则 x，y 满足什么关系？提示： 1.y24 x25双曲线的标准方程焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1(a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2焦点坐标 (c,0) (0，c )a，b，c 的关系 c2a 2b

2、 21双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含 x，y 项的平方差，右边是 1.2在双曲线中，a0 且 b0，但 a 与 b 的大小关系不确定3在双曲线中 a、b、c 满足 c2a 2b 2，与椭圆不同对 应 学 生 用 书 P26用待定系数法求双曲线方程例 1 已知双曲线过点 P( ， )，Q 两点，求双曲线的标准方程2 3 (153， 2)思路点拨 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于 a、b、c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程也可以设双曲线方程为 mx2ny 21( mn0，b0)，x2a2 y2b2P( ， )，Q 两点在双曲线上2 3 (153， 2)Error!解得

3、Error!即 a21，b 23，所求双曲线的标准方程为 x2 1.y23当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为 1(a0，b0)，y2a2 x2b2P( ， )，Q 两点在双曲线上，2 3 (153， 2)Error!解得Error!(不符合题意，舍去 )综上：所求双曲线的标准方程为 x2 1.y23法二：设双曲线的方程为 mx2ny 21(mn5.所以实数 m 的取值范围是(5，)一点通 给出方程 1( mn0)，当 mn3.答案：(3,2) ( 3,2)(3，)双曲线的定义及其标准方程的应用例 3 已知 F1，F 2 是双曲线 1 的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且x29 y2

4、16PF1PF232，试求F 1PF2 的面积思路点拨 本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得 F1PF2的大小由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果精解详析 双曲线的标准方程为 1，可知 a3，b4，c 5.由双x29 y216 a2 b2曲线的定义，得|PF 2PF 1|2a6，将此式两边平方，得 PF PF 2PF 1PF236，21 2PF PF 362PF 1PF236232100.21 2在F 1PF2 中，由余弦定理，得cosF 1PF2 0，PF21 PF2 F1F22PF1PF2 100 1002PF1PF2F 1PF290，S F1PF2 P

5、F1PF2 3216.12 12一点通 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|PF1PF 2|2a，其次要利用余弦定理(或勾股定理) 建立关于 PF1、PF 2、F 1F2 的方程，解方程组可求得 PF1、PF 2 或 PF1PF2，再解决相关问题5已知双曲线 1 的左焦点为 F，点 P 为双曲线右支上一点，且 PF 与圆x216 y225x2y 216 相切于点 N，M 为线段 PF 的中点，O 为坐标原点，则MNMO _.解析：如图，设 F是双曲线的右焦点，连接 PF，因为 M，O 分别是 FP，FF的中点，所以 MO PF，又 FN 5，由12 OF2 ON2双曲线的定

6、义知 PFPF 8，故 MNMO PFMFFN (PFPF )12 12FN 851.12答案：16如图所示，已知定圆 F1：x 2y 210x240，定圆F2：x 2 y210x 90，动圆 M 与定圆 F1，F 2 都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程解：圆 F1：( x5) 2y 21，圆 F2：( x5) 2y 24 2，F1(5,0)，半径 r11；F 2(5,0)，半径 r24.设动圆 M 的半径为 R，则 MF1R1，MF 2R4，MF2 MF13F 1F210.动圆圆心 M 的轨迹是以 F1、F 2 为焦点的双曲线左支，且 a ，c5.32b2 25 .94 914动圆圆心 M 的

7、轨迹方程为 1( x )4x29 4y291 321用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支2用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出 a，b，c 的方程组对应课时跟踪训练(十) 1双曲线 1 上的点 P 到一个焦点的距离为 11，则它到另一个焦点的距离为x225 y224_解析：设双曲线的左、右焦点分别为 F1，F 2，不妨设 PF111，根据双曲线的定义知|PF1PF 2|2a10，PF 2 1 或 PF221，而 F1F214， 当 PF21 时，1110，且焦点在 x 轴上，根据题意知 4a 2a2，即x2a y22a2a20，解得

8、 a1 或 a2(舍去) 故实数 a1.答案：15已知双曲线的两个焦点为 F1( ，0)，F 2( ，0)，M 是此双曲线上的一点，10 10且满足 2M0，| 2|2，则该双曲线的方程是 _1F解析： 0， 1.| 1|2|240.(| F| |)2| 1M|22| 1| F| | 2M|2402236.| 1MF| 2|62a， a3.又 c ， b2c 2a 21，10双曲线方程为 y 21.x29答案： y 21x296求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆 1 的长轴端点为焦点，且经过点 P(5， )；x225 y29 94(2)过点 P1(3，4 )，P 2( ，5)294解：(1)因为椭圆 1 的长轴端点为 A1(5,0) ，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点x225 y29为 F1(5,0) ， F2(5,0)由双曲线的定义知，|PF 1PF 2|Error! Error!(5 5)2 (f(9,4) 0)2 (5 5)2 (f(9,4) 0)2Error! Error!8，即 2a8，则 a4.又 c5，所以(f(41,4) 2 (f(9,4) 2b2c 2a 29.故所求双曲线的标准方程为 1.x216 y29(2)设双曲线的方程为 Ax2By 21(AB )x22 y26 2