2019年苏教版高二数学选修2-1讲义：2.4.1 抛物线的标准方程（含解析）

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1、2.4 抛_物_线24.1 抛物线的标准方程对 应 学 生 用 书 P30平面直角坐标系内，有以下点和直线 A(3,0)，B(3,0) ，C(0,3)，D(0 ，3)；l1：x3，l 2：x 3，l 3：y3，l 4：y3.问题 1：到定点 A 和定直线 l1 距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y 212x. 问题 2：到定点 B 和定直线 l2 距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y 212x .问题 3：到定点 C 和定直线 l3 或到定点 D 和定直线 l4 距离相等的点的轨迹方程呢？提示：x 212y，x 212y.抛物线的标准方程图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向y22p

2、x( p 0) (p2， 0)xp2 向右y22px( p 0) ( p2， 0)xp2 向左x22py(p0) (0， p2)yp2 向上x22py(p0) (0， p2)yp2 向下1平面内到一个定点 F 和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹是抛物线定点 F 不在定直线 l 上，否则点的轨迹是过点 F 垂直于直线 l 的垂线2抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上对 应 学 生 用 书 P31由抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程例 1 已知抛物线的方程 y ax2(a0)，求它的焦点坐标和准线方程思路点拨 由题意 yax 2，( a0)，可化为 x2 y，再依据抛物线

3、的标准方程得焦点1a和准线方程精解详析 将抛物线方程化为标准方程x2 y(a0) ，显然抛物线焦点在 y 轴上，1a(1)当 a0 时，p ，12a焦点坐标 F ，(0， 14a)准线方程 y .14a(2)当 a0)，其准线方程为 x ，则p2 3，p6.p2抛物线标准方程为 y212x.(2)设抛物线标准方程为 y22px(p0)焦点坐标为 ， ，p5.(p2， 0) p2 52抛物线标准方程为 y210x.一点通 待定系数法求抛物线标准方程的步骤：(1)依据题目中的条件确定抛物线的标准形式；( 定形)(2)充分利用数形结合确定抛物线的开口方向；( 定位)(3)利用题中所给数据确定 p.(

4、定量)3以双曲线 1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为x216 y29_解析：双曲线 1 的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0) ，所以抛物线的x216 y29标准方程为 y2 16x.答案：y 216x4根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点(3， 1)；(2)焦点为直线 3x4y120 与坐标轴的交点解：(1)点(3，1)在第三象限， 设所求抛物线的标准方程为 y22px(p0)或x22py( p0)若抛物线的标准方程为 y22px(p0)，则由(1) 22p( 3)，解得 p ；16若抛物线的标准方程为 x22py(p0)，则由(3) 22p( 1)，解得 p .

5、92所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x29y.13(2)对于直线方程 3x4y120，令 x0，得 y3；令 y0，得 x4，抛物线的焦点为(0 ，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时， 3， p6，此时抛物线的标准方程为 x212y ；p2当焦点为(4,0)时， 4， p8，此时抛物线的标准方程为 y216x.p2所求抛物线的标准方程为 x212y 或 y216x.抛物线方程的应用例 3 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为 60 cm，灯深 40 cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置思路点拨 建立直角坐标系，设出标准方程为 y22px (p

6、0)，然后根据条件，找出点的坐标，求出 p.精解详析 如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点 )与原点重合，x 轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程为y22px(p0)由已知条件可知点 A(40,30)，代入方程，得 p .454所求抛物线的标准方程是 y2 x，焦点坐标是 .452 (458， 0)一点通 将实际问题转化为数学问题，需要建立适当的直角坐标系，再根据条件确定抛物线的标准方程的类型这里，直角坐标系的建立非常重要，同学们要认真观察实物的形状，根据实物形状“适当”建立5若抛物线 y22px (p0)上有一点 M，其横坐标为 9，它到焦点的距离为

7、10，求点M 的坐标解：由抛物线定义，抛物线上一点到焦点的距离和它到准线的距离相等，及抛物线方程 y22px( p0)，可知其准线为 x ，即 910，则 p2，所以抛物线为 y24x，当p2 p2x9 时，y 236，得 y6 ，所以点 M 的坐标为(9,6)或(9 ，6) 6已知动圆 M 与直线 y2 相切，且与定圆 C：x 2(y3) 21 外切，求动圆圆心 M的轨迹方程解：设动圆圆心为 M(x，y )，半径为 r，则由题意可得 M 到 C(0，3) 的距离与到直线y3 的距离相等由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以 C(0，3)为焦点，以 y3为准线的一条抛物线，其方程为 x212y

8、.7一辆卡车高 3 m，宽 1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的 4 倍，若拱口宽为 a m，求使卡车通过的 a 的最小整数值解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为 y 轴建立直角坐标系，则点 B 的坐标为 ，如图所示(a2， a4)设隧道所在抛物线方程为 x2my，则 2m ，(a2) ( a4)ma.即抛物线方程为 x2ay .将(0.8，y) 代入抛物线方程，得 0.82ay ，即 y .0.82a欲使卡车通过隧道，应有 y 3，( a4)即 3.a4 0.82aa0，a12.21.a 应取 13.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数 p，但由于标准方

9、程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在 x 轴上的抛物线标准方程可设为 y22mx (m0)，焦点在 y 轴上的抛物线标准方程可设为 x22my(m0)对应课时跟踪训练( 十二) 1抛物线 x28y 的焦点坐标是_解析：由抛物线方程 x28y 知，抛物线焦点在 y 轴上，由 2p8，得 2，所以焦点p2坐标为(0,2)答案：(0,2)2已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，其上的点 P(3，m )到焦点的距离为5，则抛物线方程为_解析：因为抛物线顶点在原点、焦点在 x 轴上，且过 p( 3，m )，可设抛物线

10、方程为y22px( p0)，由抛物线的定义可知，3 5.p4.p2抛物线方程为 y28x.答案：y 28x3若抛物线 y22px 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合，则 p 的值为_x26 y22解析：椭圆 1 的右焦点为(2,0)，由 2，得 p4.x26 y22 p2答案：44抛物线 x2ay 的准线方程是 y2，则实数 a 的值是 _解析：由条件知，a0，且 2，a8.a4答案：85双曲线 1(mn0)的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y24x 的焦点重合，x2m y2n则 mn 的值为_解析：y 24x 的焦点为(1,0)，则 c1， 2，caa ，即 ma 2 ，nc 2a 2 ，12

11、 14 34mn .14 34 316答案：3166根据下列条件，分别求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x29y 2144 的左顶点；(2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，AF5.解：(1)双曲线方程化为 1，左顶点为(3,0) ，由题意设抛物线方程为x29 y216y22px( p0)，且 3， p6， 方程为 y212x. p2(2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y22px(p0)，A(m ，3)，由抛物线定义，得 5AF .|m p2|又(3) 22pm ，p1 或 p9，故所求抛物线方程为 y22 x 或 y218x.7设抛物

12、线 y2mx(m0)的准线与直线 x1 的距离为 3，求抛物线的方程解：当 m0 时，由 2pm，得 ，这时抛物线的准线方程是 x .p2 m4 m4抛物线的准线与直线 x1 的距离为 3，1 3，解得 m8，( m4)这时抛物线的方程是 y28x .当 m0 时， 13，解得 m16.( m4)这时抛物线的方程是 y216x.综上，所求抛物线方程为 y28x 或 y216x.8一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶 2 m 时，水宽 4 m，若水面下降 1 m，求水的宽度解：如图建立直角坐标系设抛物线的方程为 x22py，水面离拱顶 2 m 时，水面宽 4 m，点 (2，2) 在抛物线上，4 4p， p1.x 22y，水面下降 1 m，即 y3，而 y3 时，x ，6水面宽为 2 m.6即若水面下降 1 m，水面的宽度为 2 m.6