2019年苏教版高二数学选修2-1讲义：第2章章末小结 知识整合与阶段检测（含解析）

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1、对应学生用书 P46一、圆锥曲线的意义1椭圆平面内与两个定点 F1，F 2 的距离的和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做椭圆(1)焦点：两个定点 F1，F 2 叫做椭圆的焦点(2)焦距：两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2双曲线平面内与两个定点 F1，F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 的正数) 的点的轨迹叫做双曲线(1)焦点：两个定点 F1，F 2 叫做双曲线的焦点(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 3抛物线平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线二、圆锥曲线的

2、标准方程及几何性质1椭圆的标准方程和几何性质焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程 1(ab0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2范围 a xa，by b aya，bxb顶点 (a,0)，(0 ，b) (0，a) ，( b,0)轴长 短轴长2b，长轴长2a焦点 (c,0) (0， c)焦距 F1F22c对称性 对称轴 x 轴，y 轴，对称中心(0,0)离心率 01ca3. 抛物线的标准方程和几何性质类型 y22px(p0) y22px(p0) x22py( p0) x22py( p0)图形焦点 (p2， 0) ( p2， 0) (0， p2) (0， p2)

3、准线xp2xp2yp2yp2范围 x0，yR x0，yR xR，y0 xR，y0对称轴 x 轴 y 轴顶点 (0,0)离心率 e1开口方向 向右 向左 向上 向下三、圆锥曲线的统一定义(1)定义：平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在 l 上) 的距离比等于常数 e 的点的轨迹当 01 时，表示双曲线；当 e1 时，表示抛物线其中 e 是圆锥曲线的离心率，定点 F 是圆锥曲线的焦点，定直线 l 是圆锥曲线的准线(2)对于中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点 F1(c,0)，F 2(c,0)对应的准线方程分别为 x ，x .a2c a2c四、曲线与方程1定义如果曲线 C

4、 上点的坐标(x，y)都是方程 f(x，y )0 的解，且以方程 f(x，y) 0 的解(x，y)为坐标的点都在曲线 C 上，那么，方程 f(x，y )0 叫做曲线 C 的方程，曲线 C 叫做方程 f(x，y) 0 的曲线2求曲线的方程的方法(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为( x，y) ，根据几何条件直接寻求 x、y 之间的关系式(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标 x、y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标 x、y 之间的关系式(3)定义法：如果所给几何条件正好

5、符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程(4)参数法：选择一个(或几个 )与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标( x， y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程对 应 阶 段 质 量 检 测 (二 )见 8开 试 卷 (时间 120 分钟，满分 160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分将答案填在题中的横线上)1(江苏高考)双曲线 1 的两条渐近线的方程为_x216 y29解析：令 0，解得 y x.x216 y29 34答案：y x342抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x

6、2 1 的渐近线的距离是_y23解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为 y x，所以所求3距离为 .| 31 0|1 3 32答案：323方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 a 的取值范围是_x2(a 1)2 y2a2解析：由题意得Error!解之得 a0，b0) 与圆 x2y 22a 2 的一个交点，F 1，F 2 分别是x2a2 y2b2双曲线的左、右焦点，且 PF13PF 2，则双曲线的离心率为_解析：由Error!得 PF13a，PF 2a，设F 1OP，则 POF2180，在PF 1O 中，PF OF OP 22OF 1OPcos ，21 21在OPF

7、2 中，PF OF OP 22OF 2OPcos(180) ，2 2由 cos(180) cos 与 OP a，2得 c23a 2，e .ca 3aa 3答案： 36已知动圆 P 与定圆 C：(x2) 2y 21 相外切，又与定直线 l：x1 相切，那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是_解析：设 P(x，y) ，动圆 P 在直线 x1 的左侧，其半径等于 1x，则 PC1x1，即 2x .(x 2)2 y2y28x.答案：y 28x7已知双曲 C1 1(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x 22py(p0)的焦x2a2 y2b2点到双曲线 C1 的渐进线的距离为 2，则抛物线 C2 的方

8、程为 _解析：双曲线 C1： 1( a0，b0)的率心率为 2. 2， b a.x2a2 y2b2 ca a2 b2a 3双曲线的渐近线方程为 xy0.抛物线 C2：x 22py(p0)的焦点 到双曲线的渐近线3 (0，p2)的距离为 2.| 30p2|2p 8.所求的抛物线方程为 x216y.答案：x 216y8过抛物线 x28y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)两点，若y1y 28，则 P1P2 的值为_ 解析：由题意知 p4，由抛物线的定义得 P1P2P 1FP 2F ( y1y 2)(y1 p2) (y2 p2)p8412.答案：129椭圆 1

9、 的右焦点到直线 y x 的距离是_x24 y23 33解析：椭圆 1 的右焦点为(1,0)，x24 y23右焦点到直线 x3y 0 的距离 d .333 9 12答案：1210已知椭圆 C： 1(ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两x2a2 y2b2点，连接 AF， BF.若 AB10 ，BF8，cos ABF ，则 C 的离心率为_45解析：在ABF 中，AF 2AB 2BF 22ABBFcosABF 1028 22108 36，45则 AF6.由 AB2AF 2BF 2 可知， ABF 是直角三角形，OF 为斜边 AB 的中线，cOF 5.设椭圆的另一焦点为 F1

10、，因为点 O 平分 AB，且平分 FF1，所以四边形 AFBF1 为平AB2行四边形，所以 BFAF 18. 由椭圆的性质可知 AFAF 1142aa7，则 e .ca 57答案：5711(新课标全国卷改编)已知椭圆 E： 1(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 Fx2a2 y2b2的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为_解析：因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1，1) ，所以直线 AB 的方程为 y (x3)，代12入椭圆方程 1 消去 y，得 x2 a2x a2 a2b20，x2a2 y2b2 (a24 b2) 32 94所以 AB 的中

11、点的横坐标为 1，即 a22b 2，32a22(a24 b2)又 a2b 2c 2，所以 bc 3.所以 E 的方程为 1.x218 y29答案： 1x218 y2912抛物线 y212x 截直线 y2x1 所得弦长等于_解析：令直线与抛物线交于点 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)由Error!得 4x28x 10，x1 x22，x 1x2 ，14AB (1 22)(x1 x2)2 .5(x1 x2)2 4x1x2 15答案： 1513以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为_解析：如图，设椭圆的方程

12、为 1(ab0) ，焦半径为 c.x2a2 y2b2由题意知F 1AF290，AF2F160. AF2c ，AF12csin 60 c.3AF1AF 22a( 1)c .3e 1.ca 23 1 3答案： 1314给出如下四个命题：方程 x2y 22x 10 表示的图形是圆； 椭圆 1 的离心率 e ；抛物线 x2y 2 的准线的方程是 x ；双曲线x23 y22 53 18 1 的渐近线方程是 y x.y249 x225 57其中所有不正确命题的序号是_解析：表示的图形是一个点(1,0)；e ；33渐近线的方程为 y x.75答案：二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出必要

13、的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 14 分)求与椭圆 1 有共同焦点，且过点 (0,2)的双曲线方程，x2144 y2169并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程解：椭圆 1 的焦点是(0，5) ，(0,5)，焦点在 y 轴上，x2144 y2169于是设双曲线方程是 1(a0 ，b0)，y2a2 x2b2又双曲线过点(0,2)， c5，a2，b2 c2a 225 421，双曲线的标准方程是 1，实轴长为 4，y24 x221焦距为 10，离心率 e ，ca 52渐近线方程是 y x.2212116(本小题满分 14 分)已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F

14、，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 |AB|8，求直线 l 的方程解：抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，当直线 l 斜率不存在时， |AB|4，不合题意设直线 l 的方程为 yk(x1)，代入 y24x，整理得 k2x2(2 k24)xk 20.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由题意知 k0，则 x1x 2 .2k2 4k2由抛物线定义知，|AB| AF|BF|x 11x 21x 1x 22，x1 x228，即 28.2k2 4k2解得 k1.所以直线 l 的方程为 y( x1)，即 xy10，x y10.17(本小题满分 14 分) 如图，F 1，

15、F 2 分别是椭圆C： 1(ab0)的左、右焦点，A 是椭圆 C 的顶点， B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个x2a2 y2b2交点，F 1AF260.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)已知AF 1B 的面积为 40 ，求 a，b 的值3解：(1)由题意可知，AF 1F2 为等边三角形，a2c，所以 e .12(2)法一：a 24c 2，b 23c 2，直线 AB 的方程为 y (xc)3代入椭圆方程 3x24y 212c 2，得 B .(85c， 335c)所以|AB| | c0| c.1 385 165由 SAF1B |AF1|AB|sin F1AB a c a240 ，解得 a10

16、，b5 .12 12 165 32 235 3 3法二：设 ABt.因为|AF 2|a ，所以|BF 2|t a.由椭圆定义 BF1BF 22a 可知，BF 13at.由余弦定理得(3at) 2a 2t 22atcos 60可得，t a.85由 SAF1B a a a240 知，12 85 32 235 3a10，b5 .318(浙江高考)( 本小题满分 16 分)如图，点 P(0，1) 是椭圆 C1： 1( ab0)的x2a2 y2b2一个顶点，C 1 的长轴是圆 C2：x 2y 24 的直径l 1，l 2 是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1 交圆 C2 于 A，B 两点，l 2

17、交椭圆 C1 于另一点 D.(1)求椭圆 C1 的方程；(2)求ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程解：(1)由题意得Error!所以椭圆 C1 的方程为 y 21.x24(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，D( x0，y 0)由题意知直线 l1 的斜率存在，不妨设其为 k，则直线 l1 的方程为 ykx1.又圆 C2：x 2y 24，故点 O 到直线 l1 的距离 d ，1k2 1所以 AB2 2 .4 d24k2 3k2 1又 l2l1，故直线 l2 的方程为 xkyk0.由Error!消去 y，整理得(4 k 2)x28kx0，故 x0 ，y 0 1.8k4 k2 8

18、4 k2所以 PD .8k2 14 k2设ABD 的面积为 S，则 S ABPD ，12 84k2 34 k2所以 S ，324k2 3 134k2 3322 4k2 3 134k2 3 161313当且仅当 k 时取等号102所以所求直线 l1 的方程为 y x1.10219(陕西高考)( 本小题满分 16 分)已知动点 M(x，y )到直线 l：x4 的距离是它到点N(1,0)的距离的 2 倍(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程；(2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A，B 两点，若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率解：(1)设 M 到直线 l 的距离为 d，根据题

19、意 d2|MN|.由此得|4x| 2 ，(x 1)2 y2化简得 1，x24 y23所以，动点 M 的轨迹方程为 1.x24 y23(2)法一：由题意，设直线 m 的方程为 ykx 3，A(x1，y 1)，B (x2，y 2)将 ykx3 代入 1 中，x24 y23有(34k 2)x2 24kx240，其中 (24k)2424(34k 2)96(2 k23)0，故 k2 .32由根与系数的关系得，x1x 2 ，24k3 4k2x1x2 .243 4k2又因为 A 是 PB 的中点，故 x22x 1，将代入，得x1 ，x ，8k3 4k2 21 123 4k2可得 2 ，且 k2 ，( 8k3

20、 4k2) 123 4k2 32解得 k 或 k ，32 32所以直线 m 的斜率为 或 .32 32法二：由题意，设直线 m 的方程为 ykx3，A( x1，y 1)，B(x 2，y 2)A 是 PB 的中点，x1 ，x22y1 .3 y22又 1，x214 y213 1，x24 y23联立，解得Error!或Error!即点 B 的坐标为(2,0)或(2,0)，所以直线 m 的斜率为 或 .32 3220(湖南高考)( 本小题满分 16 分)过抛物线 E：x 22py (p0)的焦点 F 作斜率分别为k1，k 2 的两条不同直线 l1，l 2，且 k1k 22，l 1 与 E 相交于点 A，B，l 2 与 E 相交于点C，D，以 AB，CD 为直径的圆 M，圆 N(M，N 为圆心) 的公共弦所在直线记为 l.(1)若 k10，k 20，证明： F0，k 20， k1k2，所以 00，所以点 M 到直线 l 的距离d |2pk21 pk1 p|5 p|2k21 k1 1|5 .p2(k1 14)2 785故当 k1 时，d 取最小值 .14 7p85由题设， ，解得 p8.7p85 755故所求的抛物线 E 的方程为 x216y .