2019年苏教版高二数学选修2-1讲义:3.1.5 空间向量的数量积(含解析)
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1、31.5 空间向量的数量积对 应 学 生 用 书 P59空间向量的夹角在帮助日本地震灾区重建家园的过程中,中国某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件,已知它的质量为 5 000 kg,在它的顶点处分别受大小相同的力 F1, F2,F 3 并且每两个力之间的夹角都是 60,( 其中 g10 N/kg)问题 1:向量 F1 和F 2 夹角为多少?提示:120.问题 2:每个力最小为多少时,才能提起这块混凝土构件? 提示:设每个力大小为|F 0|,合力为|F |,则|F| 2( F1F 2F 3)(F1F 2F 3)(F 1F 2F 3)26| F0|2.|F| |F0|.6|F
2、0| 10 10 (N)5 00066 2 50063 25 000631空间两个向量的夹角:定义 图示 表示 范围已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点O,作 a, Bb,则 AOB 叫做向A量 a,b 的夹角a,b 0,2.如果a,b0,那么向量 a 与 b 同向;如果a,b,那么向量 a 与 b 反向;如果a,b ,那么向量 a 与 b 互相垂直,记作 ab.2向量的数量积两个向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量 a,b,则|a|b|cosa,b叫做 a,b 的数量积,记作 ab.即ab| a|b|cosa,b 零向量与任何向量的数量积为 0.两非零向量 a,b 的夹角a,b可以由
3、下面的公式求得 cosa,b .ab|a|b|abab0(a,b 是两个非零向量)|a |2 aaa 2.(2)运算律:abb a;(a)b (ab)( R);a(bc)aba c.数量积的坐标运算在平面向量中,a(a 1,a 2),b(b 1,b 2),我们知道 aba 1a2b 1b2,那么在空间向量中,a( a1,a 2,a 3),b( b1,b 2,b 3)则 ab 为多少?提示:aba 1b1a 2b2a 3b3.设空间两个非零向量 a(x 1,y 1,z 1),b( x2,y 2,z 2),则(1)ab x1x2y 1y2z 1z2;(2)|a| ;x21 y21 z21(3)co
4、s a,b .x1x2 y1y2 z1z2x21 y21 z21 x2 y2 z2特别地,aba b0x 1x2y 1y2z 1z20.1数量积是数量(数值),可以为正,可以为负,也可以为零2数量积的运算不满足消去律和结合律,即 abb c 推不出 ac;(ab) ca(bc )3空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,可以用来求解线段的长度和夹角问题对 应 学 生 用 书 P60求空间向量的数量积例 1 已知长方体 ABCDA 1B1C1D1 中,ABAA 12,AD4,E 为侧面 AA1B1B 的中心,F 为 A1D1 的中点求下列向量的数量积:(1) BC E;(2) 1.思路点拨 法一:
5、基向量法:与 1D, F与 1AB的夹角不易求,可考虑用向量 AB、 D、 1表示向量BC、 E、 、 ,再求结论即可法二:坐标法:建系求相关点坐标向量坐标数量积精解详析 法一:( 基向量法)如图所示,设ABa, Db, 1Ac,则| a|c|2,|b|4,abb cc a0.(1) C 1E( 1 1D)b |b| 24 216.12(c a) b(2) BF 1A ( 1 F)( AB 1) (ac)(c a 12b)|c |2 |a|22 22 20.法二:(坐标法)以 A 为原点建立空间直角坐标系,如图所示,则 B(2,0,0),C(2,4,0),E(1,0,1),D 1(0,4,2)
6、,F(0,2,2),A(0,0,0),B 1(2,0,2), BC(0,4,0), 1E( 1,4,1), F(2,2,2) , 1A(2,0,2),(1) 0(1) 440116;(2) 1 222 0220.一点通 解决此类问题的常用方法有两种:(1)基向量法:首先选取基向量,然后用基向量表示相关的向量,最后利用数量积的定义计算注意:基向量的选取要合理,一般选模和夹角都确定的向量(2)坐标法:对于建系比较方便的题目,采用此法较简单,只需建系后找出相关点的坐标,进而得向量的坐标,然后利用数量积的坐标公式计算即可1.如图所示,在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,点 E,F,G 分别为棱 A
7、B,AD ,DC的中点,试计算下列各式的值:(1) AB C; (2) D B;(3) GF ; (4) .解:在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,(1)| |1, A, C60 , AB C| | |cos 6011 ;12 12(2)| D| |1, , DB180 60120, | | |cos 12011 ;( 12) 12(3)|GF| ,| AC|1,12又 GFAC, ,180, | |cos 180 1(1) ;12 12(4)BC D,又 C, AD B, 120, A ( B) 11 11 0.( 12) ( 12)2已知 a(2,0,5),b(3,2,1) ,求下列各
8、式的值:(1)aa; (2)|b|;(3)(3 a2b)(a b)解:(1)aaa 2(2) 20 2 (5) 229;(2)|b| ;b2 32 22 ( 1)2 14(3)法一:因为 3a2b3( 2,0,5)2(3,2,1) (0,4,17),ab( 2,0,5)(3,2, 1) (5,2,4) ,所以(3a2b)(ab)(0,4,17)( 5,2,4) 0 (5)4(2) (17)(4)60;法二:因为 ab(2,0,5)(3,2 ,1) (2) 302( 5)(1)1,所以(3a2b)(ab)3a 2a b2b 2329(1) 21460.利用数量积解决夹角和距离问题例 2 如图所示
9、,在平行六面体 ABCDAB CD 中,AB 4,AD 3 ,AA5,BAD90 ,BAA DAA60.(1)求 AC的长;(2)求 AC与 的夹角的余弦值思路点拨 求线段长,要利用向量的方法求解,关键是找到表示 的基向量,只要模与夹角均可知,则问题可求解,求夹角问题则是向量数量积的逆用精解详析 (1) AC B D A,| |2( )2| B|2| D|2| |22( D A)4 23 25 22(0107.5)85.| AC| .85(2)法一:设 与的夹角为 ,ABCD 是矩形,| | 5.32 42由余弦定理可得cos .AC 2 AC2 CC 22AC AC 85 25 252 85
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