2019年福建省宁德市高考数学二模试卷(理科)含答案解析
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1、2019 年福建省宁德市高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 Ax|log 2(x1)2,B x|1x6 ,则 AB( )A x| 1x5 Bx|1x6 C x|1x5 D x|1x62 (5 分)复数 za+ bi(a,b R)满足 2zi (1z ) ,则 a+b( )A B C D3 (5 分) 的展开式中 的系数为( )A12 B12 C192 D1924 (5 分) 孙子算经是中国古代重要的数学著作其中的一道题“今有木,方三尺,高
2、三尺,欲方五寸作枕一枚问:得几何?”意思是:“有一块棱长为 3 尺的正方体方木,要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头,可作多少个?”现有这样的一个正方体木料,其外周已涂上油漆,则从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率为( )A B C D5 (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某棱锥的三视图,则该棱锥的体积为( )A4 B16 C32 D486 (5 分)已知平面区域 , 则点 P(x,y) 1是 P(x,y ) 2 的( )第 2 页(共 31 页)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条
3、件7 (5 分)已知函数 f(x )lg (| x|+1) ,记 af(5 0.2) , bf (log 0.23) ,cf(1) ,则a,b,c 的大小关系为( )Abca Babc Ccab Dc ba8 (5 分)若函数 f(x )sin2x+cos2x ,则下列结论正确的是( )A函数 f(x)的最小正周期为 2B对任意的 xR,都有C函数 f(x )在 上是减函数D函数 f(x)的图象关于直线 对称9 (5 分)如图,为了测量某湿地 A,B 两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E从 D 点测得ADC 67.5,从 C 点测得ACD45,BCE7
4、5,从E 点测得 BEC60若测得 , (单位:百米) ,则 A,B 两点的距离为( )A B C3 D10 (5 分)如图,点 F 是抛物线 C:x 24y 的焦点,点 A,B 分别在抛物线 C 和圆x2+( y1) 24 的实线部分上运动,且 AB 总是平行于 y 轴,则AFB 周长的取值范围是( )A (3,6) B (4,6) C (4,8) D (6,8)11 (5 分)下列图象中,可能是函数 f(x )x a(e x+ex ) (aZ )的图象的是( )第 3 页(共 31 页)A BC D12 (5 分)已知直线 l: 交双曲线 : 于 A,B
5、 两点,过 A 作直线 l 的垂线 AC 交双曲线 于点 C若ABC60,则双曲线 的离心率为( )A B C2 D二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13 (5 分)已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P(1,2) ,则 cos2 14 (5 分)在矩形 ABCD 中,AB2, ,点 F 在边 CD 上若 ,则的值是 15 (5 分)已知正三棱锥 ABCD 每个顶点都在球 O 的球面上,球心 O 在正三棱锥的内部球的半径为 R,且 若过 A 作球 O 的截面,
6、所得圆周长的最大值是 8,则该三棱锥的侧面积为 16 (5 分)已知函数 f(x )a x+x2xlna ,对任意的 x1、x 20,1,不等式|f(x 1)f(x 2)| a1 恒成立,则实数 a 的取值范围为 三、解答题:共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分17 (12 分)已知数列a n的前 n 项和 (kN *) ,S n 的最小值为9(1)确定 k 的值,并求数列a n的通项公式;(2)
7、设 ,求数列b n的前 2n+1 项和 T2n+1第 4 页(共 31 页)18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,ABDC, , ,PDBC(1)求证:平面 PBD平面 PBC;(2)在线段 PC 上是否存在点 M,使得平面 ABM 与平面 PBD 所成锐二面角为 ?若存在,求 的值;若不存在,说明理由19 (12 分)绿水青山就是金山银山某山村为做好水土保持,退耕还林,在本村的山坡上种植水果,并推出山村游等旅游项目为预估今年 7 月份游客购买水果的情况,随机抽样统计了去年 7 月份 100 名游客的购买金额分组如下:0,20) ,20 ,40) ,100, 120,得到如图所示的频
8、率分布直方图:(1)请用抽样的数据估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点作代表) (2)若把去年 7 月份购买水果不低于 80 元的游客,称为“水果达人” 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系?水果达人 非水果达人 合计男 10女 30合计(3)为吸引顾客,商家特推出两种促销方案方案一:每满 80 元可立减 10 元;方案二:金额超过 80 元可抽奖三次,每次中奖的概率为 ,且每次抽奖互不影响,中奖 1 次打 9 折,中奖 2 次打 8 折,中奖 3 次打 7 折若每斤水果 10 元,你打算购买 12斤水果,请从实际付
9、款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案附:参考公式和数据: ,na+b+c+d第 5 页(共 31 页)临界值表:k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879P(K 2k 0) 0.150 0.100 0.050 0.010 0.00520 (12 分)已知椭圆 的左焦点为 F,A,B 是椭圆上关于原点 O 对称的两个动点,当点 A 的坐标为 时,ABF 的周长恰为 (1)求椭圆的方程;(2)过点 F 作直线 l 交椭圆于 C,D 两点,且 (R) ,求ACD 面积的取值范围21 (12 分)已知函数 函数 yf(f(x)+1)m(mR)恰有两个零点 x1 和 x2
10、(1)求函数 f(x )的值域和实数 m 的最小值;(2)若 x1x 2,且 ax1+x21 恒成立,求实数 a 的取值范围(二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一个题目计分选修 4-4:坐标系与参数方程22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ( 为参数) ,直线 l 的方程为 (1)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的极坐标方程;(2)在(1)的条件下,直线 m 的极坐标方程为 (R ) 设曲线 C 与直线 l 的第 6 页(共 31 页)交点为 O,A,曲线
11、 C 与直线 m 的交点为 O,B,求OAB 的面积选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|x 1|(1)求不等式 f(2x )f(x+1)2 的解集(2)若 a0,b0 且 a+bf(3) ,求证: 第 7 页(共 31 页)2019 年福建省宁德市高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 Ax|log 2(x1)2,B x|1x6 ,则 AB( )A x| 1x5 Bx|1x6 C x|1x5 D x|1x6【分析】可求出集合 A,然后
12、进行交集的运算即可【解答】解:Ax|1 x 5;ABx|1 x5故选:C【点评】考查描述法的定义,对数函数的单调性,以及交集的运算2 (5 分)复数 za+ bi(a,b R)满足 2zi (1z ) ,则 a+b( )A B C D【分析】把 za+ bi(a,bR)代入 2zi (1z ) ,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件列式求得 a,b 的值,则答案可求【解答】解:za+ bi,由 2zi(1z) ,得 2a+2bi i(1abi)b+ (1a) i, ,解得 a ,b a+b 故选:D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,是基础题3
13、 (5 分) 的展开式中 的系数为( )A12 B12 C192 D192【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 ,求出 r 的值,即可求得展开式中 的系数【解答】解:二项式 的展开式的通项公式为 Tr+1 (2) r ,第 8 页(共 31 页)令 3 ,求得 r1,可得展开式中 的系数为12,故选:A【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题4 (5 分) 孙子算经是中国古代重要的数学著作其中的一道题“今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚问:得几何?”意思是:“有一块棱长为 3 尺的正方体方木,要把它作成边长为
14、5 寸的正方体枕头,可作多少个?”现有这样的一个正方体木料,其外周已涂上油漆,则从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率为( )A B C D【分析】有一块棱长为 3 尺的正方体方木,要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头,可作216 个,由正方体的结构及锯木块的方法,可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16 块,共有 61696 个,由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率【解答】解:有一块棱长为 3 尺的正方体方木,要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头,可作 216 个,由正方体的结构及锯木块的方法,可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那
15、16 块,共有 61696 个,从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率:p 故选:C【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识,考查运算求解能力,是基础题5 (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某棱锥的三视图,则该棱锥第 9 页(共 31 页)的体积为( )A4 B16 C32 D48【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果【解答】解:根据几何体得三视图转换为几何体为:所以:该几何体的体积为:V 故选:B【点评】本题考查的知识要点:三视图和几何体之间的转换,几何体的体积公式的应用,主要
16、考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型6 (5 分)已知平面区域 , 则点 P(x,y) 1是 P(x,y ) 2 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】画出两个平面区域,然后判断充要条件即可【解答】解:平面区域 ,表示圆以及内部部分;第 10 页(共 31 页)的可行域如图三角形区域:则点 P(x,y) 1 是 P(x ,y) 2 的必要不充分条件故选:B【点评】本题考查线性规划的简单应用,充要条件的应用,是基本知识的考查7 (5 分)已知函数 f(x )lg (| x|+1) ,记 af(5 0.2) , bf (log 0
17、.23) ,cf(1) ,则a,b,c 的大小关系为( )Abca Babc Ccab Dc ba【分析】可以看出,f(x )是偶函数,并且在0 ,+)上单调递增,从而得出,并且可以得出 ,从而由 f(x)在0,+ )上的单调性即可得出 a,b,c 的大小关系【解答】解:f(x )是偶函数,在0 ,+)上单调递增;bf(log 0.23)f(log 0.23) ;5 0.25 01, ; ; ;bca故选:A【点评】考查偶函数的定义,对数函数的单调性,指数函数的单调性,以及增函数的定义第 11 页(共 31 页)8 (5 分)若函数 f(x )sin2x+cos2x ,则下列结论
18、正确的是( )A函数 f(x)的最小正周期为 2B对任意的 xR,都有C函数 f(x )在 上是减函数D函数 f(x)的图象关于直线 对称【分析】首先利用三角函数关系式的变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解:函数 f(x )sin2x+cos2x , ,则: 函数的最小正周期为 故选项 A 错误令: (k Z) ,解得: , (kZ) ,当 k0 时,函数的单调递减区间为: ,故:选项 C 错误当 x 时,f( )0,故选项 D 错误,故选:B【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数性质的应用,主要考察学生
19、的运算能力和转换能力,属于基础题型9 (5 分)如图,为了测量某湿地 A,B 两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E从 D 点测得ADC 67.5,从 C 点测得ACD45,BCE75,从E 点测得 BEC60若测得 , (单位:百米) ,则 A,B 两点的距离为( )第 12 页(共 31 页)A B C3 D【分析】根据题意,在ADC 中,分析角边关系可得 ACDC2 ,在BCE 中,由正弦定理可得 BC 的值,据此在 ABC 中,利用余弦定理分析可得答案【解答】解:根据题意,在ADC 中,ACD45,ADC67.5,DC2 ,则DAC1804567.567.5,
20、则 ACDC2 ,在BCE 中,BCE75,BEC60,CE ,则EBC180756045,则有 ,变形可得 BC ,在ABC 中,AC2 ,BC ,ACB 180ACDBCE60,则 AB2AC 2+BC22ACBCcosACB 9,则 AB3;故选:C【点评】本题考查三角形中的几何计算,涉及正弦、余弦定理的应用,属于基础题10 (5 分)如图,点 F 是抛物线 C:x 24y 的焦点,点 A,B 分别在抛物线 C 和圆x2+( y1) 24 的实线部分上运动,且 AB 总是平行于 y 轴,则AFB 周长的取值范围是( )A (3,6) B (4,6) C (4,8) D (6,
21、8)【分析】圆(y1) 2+x24 的圆心为(0,1) ,半径 r2,与抛物线的焦点重合,可得|FB|2 ,| AF| yA+1,| AB|y By A,即可得出三角形 ABF 的周长2+y A+1+yBy Ay B+3,利用 1y B3,即可得出第 13 页(共 31 页)【解答】解:抛物线 x24y 的焦点为(0,1) ,准线方程为 y1,圆(y1) 2+x24 的圆心为(0,1) ,与抛物线的焦点重合,且半径 r2,|FB| 2,| AF|y A+1,| AB|y By A,三角形 ABF 的周长2+ yA+1+yBy Ay B+3,1y B3,三角形 ABF 的周长的取值范围是(4,6
22、) 故选:B【点评】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长,考查了推理能力与计算能力,属于中档题11 (5 分)下列图象中,可能是函数 f(x )x a(e x+ex ) (aZ )的图象的是( )A BC D【分析】根据题意,求出函数的导数,按 a 的值分 5 种情况讨论,分析函数 f(x)的定义域、是否经过原点以及在第一象限的单调性,综合即可得答案【解答】解:根据题意,函数 f(x )x a(e x+ex ) ,其导数 f(x)ax a1 (e x+ex )+ xa(e x ex ) ,又由 aZ,当 a0,f(x)( ex+ex ) , (x 0)其定义域
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