2019年高考数学教师版(含解析)之函数与方程思想、数形结合思想
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1、函数与方程思想、数形结合思想【2019 年高考考纲解读】数 学教学的最终目标,是要让学生会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力,数学核心素养高于具体的数学知识技能,具有综合性、整体性和持久性,反映数学本质与数学思想,数学核心素养是数学思想方法在具体学习 领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想,加强个人数学素养的培养,就会在复习中高屋建瓴,对整体复习起到引领和导向作用.【高考题型示例】题型一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题,常涉及不等式
2、恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数 思想构造新函数,建立函数关系求解.例 1.若 0ln x2ln x1B. 21xD.1221 的解集为_ _.gxex例 3.已知 f(t)log 2t, t ,8,对于 f(t)值域内的所有 实数 m,不等式2x2 mx42 m4 x 恒成立,则 x 的取值范围是_.例 4.若 x2,1时,不等式 ax3 x24 x30 恒成立,则实数 a 的取值范围是_.题型二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数,可用函数的观点去处理数列问题,常涉及最值问题或参数范围问题,一般利用二次函数;等差数列或等比数列的基本量的计算一般
3、化归为方程(组)来解决.例 5. 已知 an是等差数列, a1010,其前 10 项和 S1070,则其公差 d 等于( )A. B. C. D.23 13 13 23例 6.已知在数列 an中,前 n 项和为 Sn,且 Sn an,则 的最大值为( )来源:n 23 anan 1A.3 B.1 C.3 D.1例 7.在等差数列 an中,若 a10, b0)的右顶点为 A, O 为坐标原点,以 A 为圆x2a2 y2b2心的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于 P, Q 两点,若 PAQ60,且 3 ,则双曲线 COQ OP 的离心率为( )A. B. C. D.2 33 72 396 3例 11
4、.设椭圆中心在坐标原点, A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点,直线 y kx(k0)与 AB相交于点 D,与椭圆相交于 E, F 两点.若 6 ,则 k 的值为_.ED DF 例 12.已知直线 l: y k(x1)与抛物线 C: y24 x 交于不同的两点 A, B,且以 AB 为直径的圆过抛物线 C 的焦点 F,则 k_. 题型四、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数,将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时,要先对方程进行变形,尽量构造两个比较熟悉的函数.例 1.函数 f(x)2 x 的零点个数为( )1xA.0
5、 B.1 C.2 D.3例 2.若关于 x 的方程 kx2有四个不同的实数解,则 k 的取值范围为_.|x|x 4例 3.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f( x1) f(x1),当 x1,0时,f(x) x3,则关于 x 的方程 f(x)|cos x|在 上的所有实数解之和为_.52, 12例 4.已知函数 f(x)Error!则方程 f(x) ax 恰有两个不同的实根时,实数 a 的取值范围是_.题型五、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型,分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018全国 )设函数
6、f(x)Error!则满足 f(x1) f(2x)的 x 的取值范围是( )A.(,1 B .(0,)C.(1,0) D.(,0)例 6.设 A( x, y)|x2( y1) 21, B( x, y)|x y m0,则使 AB 成立的实数 m的取值范围是_.例 7.若不等式| x2 a| x a1 对 xR 恒成立,则实数 a 的取值范围是_.12例 8.已知函数 f(x)Error!若存在两个不相等的实数 x1, x2,使得 f(x1) f(x2),则实数a 的取值范围为_. 题型六、数形结合思想在解析几何中的应用在解析几何的解题过程中,通常要数形结合,挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式,
7、构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围; 常见的几何结构的代数形式主要有:比值可考虑直线的斜率;二元一次式可考虑直线的截距;根式分式可考虑点到直线的距离;根式可考虑两点间的距离.来源:Z+xx+k.Com例 9.已知圆 C:( x3) 2( y4) 21 和两点 A( m,0), B(m,0)( m0).若圆 C 上存在点P,使得 APB90,则 m 的最大值为( )A.7 B.6 C.5 D.4例 10.设双曲线 C: 1( a0, b0)的左、右顶点分别为 A1, A2,左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1, F2,以 F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 A1
8、A2为 直径的圆与直线 PF2相切,则双曲线 C 的离心率为( )A. B. C.2 D.2 3 5例 11.已知抛物线的方程为 x28 y, F 是其焦点,点 A(2,4),在此抛物线上求一点 P,使 APF 的周长最小,此时点 P 的坐标为_.例 12.已知 P 是直线 l:3 x4 y80 上 的动点, PA, PB 是圆 x2 y22 x2 y10 的两条切线, A, B 是切点, C 是圆心,则四边形 PACB 面积的最小值为_.【2019 年高考考纲解读】数学教学的最终目标,是要让 学生会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特
9、定意义的综合性能力,数学核心素养高于具体的数学知识技能,具有综合性、整体性和持久性,反映数学本质与数学思想,数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想,加强个人数学素养的培养,就会在复习中高屋建瓴,对整体复习起到引领和导向作用.【高考题型示例】题型一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题,常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,建立函数关系求解.例 1.若 0ln x2ln x1B. 21xD.122g(x2), e,故选 C.例 2.已知定义在 R 上的函
10、数 g(x)的导函数为 g( x),满足 g( x) g(x)1 的解集为_.gxex答案 (,0)例 3.已知 f(t)log 2t, t ,8,对于 f(t)值域内的所有实数 m,不等式2x2 mx42 m4 x 恒成立,则 x 的取值范围是_.答案 (,1)(2,)解析 t ,8, f(t) .2 12, 3问题转化为 m(x2)( x2) 20 恒成立,当 x2 时,不等式不成立, x2.令 g(m) m(x2)( x2) 2, m .12, 3问题转化为 g(m)在 上恒大于 0,12, 3则Error!即Error!解得 x2 或 x0, 设 Sn f(n),则 f(n)为二次函数
11、,又由 f(7) f(17)知, f(n)的图象开口向上,关于直线 n12 对称,故 Sn取最小值时 n 的值为 12.例 8.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn,若 S42, S63,则 nSn的最小 值为_.答案 9解析 由Error!解得 a12, d1,所以 Sn ,故 nSn .n2 5n2 n3 5n22令 f(x) ,则 f( x) x25 x,x3 5x22 32令 f( x)0,得 x0 或 x ,103 f(x)在 上单调递减,在 上单调递增.(0,103) (103, )又 n 是正整数,故当 n3 时, nSn取得最小值9.题型三、函数与方程思想在解析几何中的应用解
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