2019年高考数学教师版（含解析)之等差数列与等比数列

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1、等差数列与等比数列1.等差、等比数列基本量 和性质的 考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力【重点、难点剖析】一、等差数列、等比数列的运 算1通项公式等差数 列：a na 1( n1) d；等比数列：a na 1qn1 .2求和公式等差数列：S n na 1 d；na1 an2 nn 12等比数列：S n (q1)来源:Zxxk.Coma11 qn1 q a1 anq1 q3性质若 mnp q，在等差数列中 ama na pa q；在等比数列中 amana paq.二 等差数列、等比数列的判定与证明证明数

2、列 an是等差数列或等比数列的证明方法 来源:Z|xx|k.Com(1)证明数列 an是等差数列的两种基本方法：利用定义，证明 an1 a n (nN *)为一常数；利用等差中项，即 证明 2ana n1 a n1 (n2，nN *) 来源:ZXXK(2)证明数列 an是等 比数列的两种基本方法：利用定义，证明 (nN *)为一常数；an 1an利用等比中 项，即证明 a a n1 an1 (n2，nN *)2n三、等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解【高考题型示

3、例】题型一、等差数列、等比数列的运算例 1、(2018北京)设a n是等差数列，且 a13 ，a 2a 536 ，则a n的通项公式为_ 【变式探究】(2018全国)等比数列a n中，a 11，a 54 a3.求a n的通项公式；记 Sn 为 an的前 n 项和，若 Sm63，求 m.【变式探究】(201 7全国 )记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和若 a4a 524，S 648，则an的公差为_【感悟提升】在进行等差(比 )数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于 a1 和 d(q)的方程组求解 ，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量【变式探究】设公比为 q(q

4、0)的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若S23a 22 ，S 43a 42，则 a1 等于( )A2 B1 C. D.12 23【变式探究】设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a3a11 2a ，且 S4S 12S 8，则25 _.题型二 等差数列、等比数列的判定与证明例 2、已知数列a n， bn，其中 a13 ，b 11 ，且满足 an (3an1 b n1 )，12bn (an1 3b n1 )，nN *，n2.12(1)求证：数列 anb n为等比数列； 来源:(2)求数列 的前 n 项和 Tn.2nanan 1【感悟提升】(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通

5、项公式及前 n 项和公式，但不能作为证明方法(2)a a n1 an1 (n2)是数列a n为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为2n零【变式探究】已知a n是各项都为正数的数列，其前 n 项和为 Sn，且 Sn 为 an 与 的 等差中1an项(1)求证：数列 S 为等差数列；2n(2)求数列 an的通项公式；(3)设 bn ，求b n的前 n 项 和 Tn. 1nan数列 bn的前 n 项和 Tn(1) n (nN *)n题型三 等差数列、等比数列的综合问题例 3、已知等差数列a n的公差为 1，且 a2a 7a 126.(1)求数列 an的通项公式 an 与其前 n 项和 S

6、n；(2)将数列a n的前 4 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列b n的前 3 项，记b n的前 n 项和为 Tn，若存在 mN *，使得对任意 nN *，总有 Sn0)的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若S23a 22 ，S 43a 42，则 a1 等于( )A2 B1 C. D.12 23答案 B解析 S 4S 2 a3a 43a 43 a2，即 3a2 a32a 40，即 3a2 a2q2a 2q20，即 2q2 q3 0，解得 q 1(舍) 或 q ，32当 q 时，代入 S23a 22，32得 a1a 1q3 a1q2，解得 a11.【变式探究】设等比数列a n

7、的前 n 项和为 Sn，若 a3a11 2a ，且 S4S 12S 8，则25 _.答案 83解析 a 3a112a ，a 2a ，q 42，25 27 25S 4S 12S 8， ，a11 q41 q a11 q121 q a11 q81 q1 q4 1q 12(1q 8)，将 q42 代入计算可得 .83题型二 等差数列、等比数列的判定与证明例 2、已知数列a n， bn，其中 a13 ，b 11，且满足 an (3an1 b n1 )，12bn (an1 3b n1 )，nN *，n2.12(1)求证：数列 anb n为等比数列；(2)求数列 的前 n 项和 Tn.2nanan 1(1)

8、证明 a nb n (3an1 b n1 ) (an1 3 bn1 )2(a n1 b n1 )，12 ( 12)又 a1b 13(1)4，所以a nb n是首项为 4，公比为 2 的等比数列(2)解 由(1)知，a nb n2 n1 ，又 anb n (3an1 b n1 ) (an1 3b n1 )a n1 b n1 ，12 ( 12)又 a1b 13(1)2，所以a nb n为常数数列，a nb n2，联立得，a n2 n1， ，2nanan 1 2n2n 12n 1 1 12n 1 12n 1 1所以 Tn (121 1 122 1) ( 122 1 123 1) ( 12n 1 12

9、n 1 1) (nN *)121 1 12n 1 1 13 12n 1 1【感悟提升】(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前 n 项和公式，但不能作为证明方法(2)a a n1 an1 (n2)是数列a n为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为2n零【变式探究】已知a n是各项都为正数的数列，其前 n 项和为 Sn，且 Sn 为 an 与 的等差中1an项(1)求证：数列 S 为等差数列；2n(2)求数列 an的通项公式； (3)设 bn ，求b n的前 n 项和 Tn. 1nan(2)解 由(1)可得 S 1n1 n，2n数列 an的各项都为正数，S n ，n

10、当 n2 时，a nS nS n1 ，n n 1又 a1S 11 满足上式，a n (nN *)n n 1(3)解 由(2)得 bn 1nan 1nn n 1(1) n( )，n n 1当 n 为奇数时，Tn1( 1) ( )( )( ) ，2 3 2 n 1 n 2 n n 1 n当 n 为偶数时，Tn1( 1)( )( )( ) ，2 3 2 n 1 n 2 n n 1 n数列 bn的前 n 项和 Tn(1) n (nN *)来源:Z.xx.k.Comn题型三 等差数列、等比数列的综合问题例 3、已知等差数列a n的公差为 1，且 a2a 7a 126.(1)求数列 an的通项公式 an

11、与其前 n 项和 Sn；(2)将数列 an的前 4 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列b n的前 3 项，记b n的前 n 项和为 Tn，若存在 mN *，使得对任意 nN *，总有 Sn2.即实数 的取值范围为(2，)【感悟提升】(1)等差数列与等比数列交汇的 问题，常用“ 基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便(2)数列的项或前 n 项和可以看作关于 n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解【变式探究】已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn1 3(a n1)，nN *.(1)求数列 an的通项公式；(2)设数列 bn满足 an1 32nab，若 bnt 对于任意正整数 n 都成立，求实数 t 的取值范围(2)由 an1 32nab，得 bn312logn n132logn1an (23)n n1 ，(23)所以 bn1 b n(n1) nn n1(23) (23) (2n)，2n 13n所以(b n)maxb 2b 3 ，所以 t .43 43即 t 的取值范围为 .43， )