2019年高考数学教师版（含解析)之三角函数图象与性质

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1、三角函数图象与性质【1.以图象为 载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点【重点、难点剖析】1记六组诱导公式对于“ ，kZ 的三角函数值 ”与“ 角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆，奇变偶k2不变，符号看象限2正弦、余弦、正切函数的图象与性质( 下表中 kZ)函数 ysin x ycos x ytan x图象单调性Error!， Error!为增；Error!Error!为减Error!Error!为增；为减2k， 2kError!Error!为增对称中心 (k，0) (k 2，

2、 0) (k2， 0)对称轴xk2xk 无3.yAsin(x)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法，设 Xx，X 取 0， ， ， ，2 来求相应的 x 值、y 值，2 32再描点作图(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是 ，一般是从 “五点法”中的第一点作为突破口( ， 0)(3)在用图象变换作图时，一般 按照先平移后伸缩，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总对字母 x 而言(4)把函数式化为 yAsin(x )的形式，然后 用基本三角函数的单调性求解时，要注意A， 的符号及复合函数的单调性规律：同增异减4三角函数中常用的转化思想及方法技巧(1)方程思想：s

3、in cos ，sin cos ，sin cos 三者中，知一可求二(2)“1”的替换： sin2cos 21.(3)切弦互化：弦的齐次式可化为切.【题型示例】题型一、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用【例 1】(1) 已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若它的终边经过点 P(2,1)，则 tan 2 等于( )A. B. C D43 12 12 43(2)已知曲线 f(x)x 32x 2x 在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为 ，则cos2 2cos 23sin(2 )cos() 的值为( )(2 )A. B C. D85 45 43 23【变式探究】 【2

4、016 高考新课标 2 文数】若 3cos()45，则 sin2（ ）（A） 725 （B） 15 （C） 1 （D） 75来源:ZXXK来源:Z_xx_k.Com【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在 x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义【举一反三】(2015重庆，9)若 tan 2tan ，则 ( )5cos( 310)sin( 5)A1 B2 C3 D4【变式探究】(1)已知 cos

5、，且 ，则 tan ( )2 35 (2， 32)A. B. C D43 34 34 34(2)设函数 f(x)(xR)满足 f(x )f (x)sin x当 0x0)的图象得到 ysin(x)的图象时，应将图象上所有点向左( 0)或向右(0)的图象上相邻最高点与最低点的距离332为 .2 4(1)求 的值；(2)若函数 yf(x ) 是奇函数，求函数 g(x)cos(2x)在0,2 上的单调递减区(00，cos 0)的图象得到 ysin(x)的图象时，应将图象上所有点向左( 0)或向右(0)的图象上相邻最高点与 最 低点的距离332为 .2 4(1)求 的值；(2)若函数 yf(x ) 是奇

6、函数，求函数 g(x)cos(2x)在0,2 上的单调递减区(00，T 2， .22 12(2)由(1)可知 f(x)sin ，(x 3)f(x )sin .(x 3)yf(x)是奇函数，sin 0，( 3)又 0 ， ，2 3g(x)cos(2x)cos .(2x 3)令 2k2x 2k，k Z，3得 k xk ，k Z，6 23函数 g(x)的单调递减区间是 ，kZ .k 6，k 23又x0,2 ，当 k0 时，函数 g(x)的单调递减区间是 ；6，23当 k1 时，函数 g(x)的单调递减区间是 .76，53函数 g(x)在0,2上的单调递减区间是 ， .6，23 76，53【方法技巧】

7、函数 yA sin(x)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 yAsin(x)B 的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求 yAsin(x)B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题【变式探究】(2017高考全国卷) 已知曲线 C1：ycos x，C 2：y sin ，则下面结(2x 23)论正确的是( )A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个6单位长度，得到曲线 C2来源:ZXXKB把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个12单位长度，得

8、到曲线 C2C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单12 6位长度，得到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个12 12单位长度，得到曲线 C2【变式探究】 【2016 年高考四川文数】为了得到函数 sin(2)3yx的图象，只需把函数sin2yx的图象上所有的点( )（A）向左平行移动3个单位长度 （B）向右平行移动 个单位长度（C ）向左平行移动 6个单位长度 （D ）向右平行移动6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数 sin(2)sin2()3yxx，只需把函数sin2yx的图像

9、上所有点向右移 6个单位，故选 D.【举一反三】(2015四川，4)下列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是( )Aycos Bysin(2x 2) (2x 2)C ysin 2xcos 2x Dysin xcos x解析 A 选项：y cos sin 2x，T，且关于原点对称，故选 A.(2x 2)答案 A来源:【变式探究】函数 f(x)cos 的最小正周期是( )(2x 6)A. B C2 D42解析 T ，B 正确22答案 B【举一反三】已知函数 f(x)cos xsin 2x，下列结论中错误的是( )Ayf( x)的图象关于(，0) 中心对称By f(x)的图象关于直线 x

10、 对称2C f(x)的最大值为32Df(x)既是奇函数，又是周期函数解析 对于 A 选项，因为 f(2x) f (x)cos(2 x)sin 2(2x)cos xsin 2xcos xsin 2x cos xsin 2x0，故 yf (x)的图象关于( ，0) 中心对称，A 正确；对于 B 选项，因为f( x)cos( x)sin 2(x)cos xsin 2xf(x) ，故 yf (x)的图象关于 x 对称，故 B 正确；2对于 C 选项，f(x )cos xsin 2x2sin xcos2x2sin x(1sin 2x)2sin x2sin 3x，令 tsin x1，1，则 h(t)2t2 t3，t1，1 ，则 h(t)2 6t2，令 h(t)0 解得 t ，故 h(t)2t 2t 3，在 上递增，在 与 上递减，又33 33 33， 33 1， 33 33， 1h(1)0，h ，故函数的最大值为 ，故 C 错误；对于 D 选项，因为 f(x)f(x)(33) 439 439cos xsin 2xcos xsin 2x0 ，故是奇函数，又 f(x2)cos(2x)sin 2(2x) cos xsin 2x，故 2 是函数的周期，所以函数既是奇函数，又是周期函数，故 D 正确 综上知，错误的结论只有 C，故选 C.答案 C