2019年高考数学教师版（含解析)之函数图像与性质

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1、函数图像与性质(1)函数的概念和函数的基本性质是 B 级要求，是重要题型 ；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是 B级；(3)幂函数是 A 级要求，不是热点题型 ，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。【重点、难点剖析】1函数及其图象(1)定 义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换2函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质证明函数的单调性时，规范步骤

2、为取值、作差、变形、判断符号和下结论复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质偶函数的图象关于 y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质若函数满足 f(a x) f(x)(a 不等于 0)，则其周期 T ka(kZ)的绝对值3求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的 函数；(4)

3、导数法：适合于可求导数的函数4指数函数、对数函数和幂函数的图象和性 质(1)指数函数 y ax(a0 且 a1)与对数函数 ylog ax(a0 且 a1)的图象和性质，分01 两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数 y x 的图象和性质，分幂指数 0 和 0 且 a1)与对数函数 ylog ax(a0 且 a1 )的图象和性质，分01 两种情况，着重关注 两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数 y x 的图象和性质，分幂指数 0 和 0，即( x3)( x1)0，解得 x1.故函数的定义域为(， 3)(1，)来源:ZXXK(2)答案：D解析： f(1)lg

4、10，所以 f(a)0.当 a0 时，则 lg a0， a1；当 a0 时，则a30， a3.所以 a3 或 1.【方法技巧】1已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数 ylog ax(a0， a1)的真数 x0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数 ytan x 中， x k (kZ)如果 f(x)是由几部分 2的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合根据函数求定义域时：(1)若已知函数 f(x)的定义域为 a， b，其复合函数 f(g(x)的定义域由不等式 a g(x) b

5、求出；(2)若已知函数 f(g(x)的定义域为 a， b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x a， b时的值域2函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域题型 2、函数的图象及其应用来源:ZXXK来源:Z+xx+k.Com【例 2】 （2018 年全国 III 卷） 函数 的图像大致为A. A B. B C. C D. D【答案】D【解析】当 时， ，排除 A,B.,当 时， ,排除 C，故

6、正确答案选 D.【变式探究】【2017 课标 1，文 8】函数 的部分图像大致为sin21coxyA B C D 【答案】 C【解析】由题意知，函数 为奇函数， 故排除 B；当 时， ，故sin21coxyx0y排除 D；当 时， ，故排除 A故选 C1x0【举一反三】 【2017 课标 3，文 7】函数 的部分图像大致 为（ ）2sin1yxA BDC D【答案】D【解析】当 时， ，故排除 A,C；当 时，1x1sin2i1fx，故排除 B,满足条件的只有 D,故选 D.y【变式探究】 【2016 高考新课标 1 卷】函数 2xye在 ,的图像大致为（A） （B）（C） （D）【 答案】D

7、【解析】函数 f(x)=2x2e|x|在2, 2上是偶函数，其图像关于 y轴对称，因为2()8e,01f，所以排除 A、B选项；当 0,2x时， ()=4exf有一零点，设为 x，当 0(,)x时， ()f为减函数，当 ()时， 为增函数故选 D。【感悟提升】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、 值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用【举一反三】(1)(2015四川卷)函数 y 的图象大致是( )

8、x33x 1(2)函数 y f(x)的图象如图所示，在区间 a， b上可找到 n(n2)个不同的数x1， x2， xn，使得 ，则 n 的取值范围是( )f x1x1 f x2x2 f xnxnA.3,4 B2,3,4C3,4,5 D2,3(2)答案：B解析： 表示( x1， f(x1)与原点连线的斜率；f x1x1 f x1 0x1 0 表示( x1， f(x1)，( x2， f(x2)，( xn， f(xn)与f x1x1 f x2x2 f xnxn原点连线的斜率相等，而( x1， f(x1)，( x2， f(x2)，( xn， f(xn)在曲线图象上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点

9、个数有几种情况如图所示，数形结合可得，有 2,3,4 三种情况，故选 B.【方法技巧】1关于判断函数图象的解题思路(1)确定定义域；(2)与解析式结合研究单调性、奇偶性；(3)观察特殊值2关于函数图象应用的解题思路主要有以下两点(1)方程 f(x) g(x)解的个数可以转化为函数 y f(x)与 y g(x)交点的个数；(2)不等式 f(x) g(x)(f(x) g(x)解集为函数 y f(x)位于 y g(x)图象上方(下方)的那部分点的横坐标的取值范围题型三、函数性质的综合应用例 3、 （2018 年全国卷）若 在 是减函数，则 的最大值是A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，

10、所以由 得，因此 ，从而的最大值为 。【变式探究】 【2017 天津，文 6】已知奇函数 在 上是增函数.若()fxR，则 的大小关系为0.8221(log),(log4.1),()5afbfcf,abc（A） （B） （C） （D）cab【答案】C 【解析】由题意： ，且：221logl5ff，0.822log5l4.1,据此： ，结合函数的单调性有：0.822log5l41，.2l.fff即 ，本题选择 C 选项.,abca【变式探究】 【201 6 年高考北京文数】设函数3,()2xaf.若 0a，则 ()fx的最大值为_；若 ()f无最大值，则实数 a的取值范围是_.【答案】 2， ,

11、1).【感悟提升】(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性【举一反三】(2015全国卷 )若函数 f(x) xln(x )为偶函数，则a x2a_.答案：1解析： f(x)为偶函数， f( x) f(x)0 恒成立， xln( x ) xln(x )0 恒成立，a x2 a x2 xln a0 恒成立， ln a0，即 a1.【变式探究】(1)已知 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x) g(x) x3 x21，则

12、 f(1) g(1)( )A3 B1 C1 D3(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x) (|x a2| x2 a2|3 a2)若 xR， f(x1) f(x)，则实数 a 的取值范围为( ) 12A. B. 来源:Zxxk.Com 16， 16 66， 66C. D.13， 13 33， 33【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式、奇偶性和求函 数的值，意在考查考生的转化思想和方程思想求解此题的关键是用“ x”代替“ x”，得出 f(x) g(x) x3 x21.(2)本题主要考查奇函数的性质、分段函数以及函数的最值与恒成立问题，意在考查考生应用数形结合

13、思想，综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力【答案】(1)C (2)B【解析】(1)用“ x”代替“ x”，得f( x) g( x)( x)3( x)21，化简得 f(x) g(x) x3 x21，令 x1，得 f(1) g(1)1，故选 C.(2)当 x0 时，f(x)Error!又 f(x)为奇函数，可得 f(x)的图象如图所示，由图象可得，当 x2 a2时， f(x)max a2，当 x2a2时，令 x3 a2 a2，得 x4 a2，又xR， f(x1) f(x)，可知 4a2(2 a2)1 a ，故选 B.66， 66【方法技巧】函数性质的综合应用主要是指利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来相互转化解决相对综合的问题主要的解析：奇偶性主要转化方向是 f( x)与 f(x)的关系，图象对称问题；单调性主要转化方向是最值、方程与不等式的解；周期性主要转化方向是利用f(x) f(x a)把区间外的函数转化到区间内，并结合单调性、奇偶性解决相关问题