2019年高考数学教师版（含解析)之空间中的平行与垂直

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1、空间中的平行与垂直【2019 年高考考纲解读】1.以选择题、填空题的形 式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题.2.以解答题的形式考 查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系的交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中档【重点、难点剖析】1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理： a ， b ， a ba .(2)线面平行的性质定理： a ， a ， ba b.(3)面面平行的判定定理： a ， b ， a b P， a ， b .(4)面面平行的性质定理： ， a， ba b

2、.2平行关系的转化两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图3 直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理： m ， n ， m n P， l m， l nl .(2)线面垂直的性质定理： a ， b a b.(3)面面垂直的判定定理： a ， a .(4)面面垂直的性质定理： ， l， a ， a la .4垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一

3、个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化.来源:【题型示例】题型一 空间线面位置关系的判定例 1. (2018全国)在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABBC2 ，AC 1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30，则该长 方体的体积为( )A8 B6 C8 D82 2 3【举一反三】(2018全国 )在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 ( ) 来源:Z#xx#k.ComA . B. C. D.22 32 52 72【变式探究】(2017全国 改编)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体

4、的两个顶点，M ， N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是_( 填序号 )【变式探究】(1)若 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A若 m ，n ， ，则 mnB若 m ，n ， ，则 mnC若 m ，n ， ，则 mn 来源 :Z,xx,k.ComD若 m ，n ， ，则 mn(2)如图，平面 平面 ， l，A，C 是 内不同的两点，B，D 是 内不同的两点，且 A，B ，C，D直线 l，M ，N 分别是线段 AB，CD 的中点下列判断正确的是( )A当 CD2AB 时，M ，N 两点不可能重合BM，N 两点

5、可能重合，但此时直线 AC 与 l 不可能相交C当 AB 与 CD 相交，直线 AC 平行于 l 时，直线 BD 可以与 l 相交D当 AB，CD 是异面直线时，直线 MN 可能与 l 平行【感悟提升】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及 空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中【变式探究】(1)已知直线 a，b，平面 ， ， ，下列命题正确的是( )A若 ， ， a，则 a B若 a， b， c，则 abcC若 a，ba

6、 ，则 b D若 ， a， b ，则 ba(2)如图，平面 与平面 相交于 BC，AB ，CD ，点 ABC，点 DBC，则下列叙述错误的是( )A直线 AD 与 BC 是异面直线B过 AD 只能作一个平面与 BC 平行C过 AD 只能作一个平面与 BC 垂直D过 D 只能作唯一平面与 BC 垂直，但过 D 可作无数个平面与 BC 平行题型二 空间平行、垂直关系的证明例 2. (2018全国)如图，在三棱锥 PABC 中，AB BC2 ， PAPBPCAC 4 ，O 为 AC 的中点2(1)证明：PO 平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC2 MB，求点 C 到平面 POM 的

7、距离【变式探究】(1)如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2的正方形，平面 PAB平面 ABCD，点 E 是 PD 的中点，棱 PA 与平面 BCE 交于点 F.求证：ADEF ；若PAB 是正三角形，求三棱锥 PBEF 的体积(2)(2018北京)如图， 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面ABCD， PAPD ，PAPD，E ，F 分别为 AD，PB 的中点求证：PEBC；求证：平面 PAB平面 PCD；求证：EF平面 PCD.【感悟提升】垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，

8、即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂 直的性质，即要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一 条直线所在的平面即可，l ，a la.【变式探究】 (2018全国 )如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 ACD所在平面垂直，M 是 ACD上异于 C，D 的点(1)证明：平面 AMD平面 BMC.(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由题型三 平面图形的翻折问题平面图形经过

9、翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法例 3、如图 1，已知菱形 AECD 的对角线 AC，DE 交于点 F，点 E 为 AB 中点将ADE沿线段 DE 折起到 PDE 的位置，如图 2 所示(1)求证：DE平面 PCF；来源:ZXXK(2)求证：平面 PBC平面 PCF；(3)在线段 PD，BC 上是否分别存在点 M，N，使

10、得平面 CFM平面 PEN？若存在，请指出点 M，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由【感悟提升】(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进 行逻辑推理，得出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论【变式探究】如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC ，ABBC，BDDC，点 E 是 BC 边的中点，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，连接 AE，AC，DE，得到如图所示的空间几何体(1)求证：AB 平面 ADC；(2)若 AD1 ，AB ，求点 B 到平面 ADE 的距离2【2019 年高考考纲解读】1.以选择题、填空题

11、的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系的交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中档【重点、难点剖析】1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理： a ， b ， a ba .(2)线面平行的性质定理： a ， a ， ba b.(3)面 面平行的判定定理： a ， b ， a b P， a ， b .(4)面面平行的性质定理： ， a， ba b.2平行关系的转化两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直

12、线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图3直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理： m ， n ， m n P， l m， l nl .(2)线面垂直的性质定理： a ， b a b.(3)面面垂直的判定定理： a ， a .(4)面面垂直的性质定理： ， l， a ， a la .4垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化.【题型示

13、例】题型一 空间线面位 置关系的判定例 1. (2018全国)在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABBC2 ，AC 1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30，则该长方体的体积为( )A8 B6 C8 D82 2 3答案 C解析 如图，连接 AC1，BC 1，AC .AB 平面 BB1C1C，AC 1B 为直线 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角，AC 1B30 .又 ABBC2，在 RtABC 1 中，AC1 4，2sin 30在 Rt ACC1 中，CC 1 2 ，AC21 AC2 42 22 22 2V 长方体 AB BCCC1222 8 .2 2故选 C.【举一反三】(20

14、18全国 )在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线AE 与 CD 所成角的正切值为 ( )A. B. C. D.22 32 52 72答案 C解析 如图，因为 ABCD，所以 AE 与 CD 所成角为EAB.在 Rt ABE 中，设 AB2，则 BE ，5则 tanEAB ，BEAB 52所以异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 .来源:52【变式探究】(2017全国 改编)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M， N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是_( 填序号 )答案 (1)来源

15、:Zxxk.Com对于(3)，作如图 所示的辅助线，则 AB CD，CDMQ，ABMQ，又 AB平面 MNQ，MQ 平面 MNQ，AB平面 MNQ；对于(4)，作如图 所示的辅助线，则 AB CD，CDNQ，AB NQ，又 AB平面 MNQ，NQ 平面 MNQ，AB 平面 MNQ.【变式探究】(1)若 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A若 m ，n ， ，则 mnB若 m ，n ， ，则 mnC若 m ，n ， ，则 mnD若 m ，n ， ，则 mn答案 A(2)如图，平面 平面 ， l，A，C 是 内不同的两点，B，D 是 内不同的两点，且 A，B

16、，C，D直线 l，M ，N 分别是线段 AB，CD 的中点下列判断正确的是( )A当 CD2AB 时，M ，N 两点不可能重合BM，N 两点可能重合，但此时直线 AC 与 l 不可能相交C当 AB 与 CD 相交，直线 AC 平行于 l 时，直线 BD 可以与 l 相交D当 AB，CD 是 异面直线时，直线 MN 可能与 l 平行答案 B解析 由于直线 CD 的两个端点都可以动，所以 M，N 两点可能重合，此时两条直线AB， CD 共面，由于两条线段互相平分，所以四边形 ACBD 是平行四边形，因此 ACBD，而 BD ，ACB，所以由线面平行的判定定理可得 AC ，又因为 AC ， l，所以

17、由线面平行的性质定理可得 ACl ，故选 B.【感悟提升】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中【变式探究】(1)已知直线 a，b，平面 ， ， ，下列命题正确的是( )A若 ， ， a，则 a B若 a， b， c，则 abcC若 a，ba ，则 b D若 ， a， b ，则 ba答案 A解析 A 中，若 ， ， a，则 a ，该说法正确；B 中，若 a， b， c，来源:Z|xx|

18、k.Com在三棱锥 PABC 中，令平面 ， ， 分别为平面 PAB，PAC ，PBC ，交线 a， b，c 为 PA，PB，PC，不满足 abc ，该说法错误；C 中，若 a，ba ，有可能 b ，不满足 b ，该说法错误；D 中，若 ， a，b ，正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，取平面 ， 为平面 ABCD，ADD 1A1，直线 b 为 A1C1，满足 b ，不满足 ba，该说法错误(2)如图，平面 与平面 相交于 BC，AB ，CD ，点 ABC，点 DBC，则下列叙述错误的是( )A直线 AD 与 BC 是异面直线B过 AD 只能作一个平面与 BC 平行C过 AD 只能作一个平

19、面与 BC 垂直D过 D 只能作唯一平面与 BC 垂直，但过 D 可作无数个平面与 BC 平行答案 C解析 由异面直线的判定定理得直线 AD 与 BC 是异面直线；在平面 内仅有一条直线过点 D 且与 BC 平行，这条直线与 AD 确定一个平面与 BC 平行，即过 AD 只能作一个平 面与BC 平行；若 AD 垂直于平面 ，则过 AD 的平面都与 BC 垂直，因此 C 错；过 D 只能作唯一平面与 BC 垂直，但过 D 可作无数个平面与 BC 平行题型二 空间平行、垂直关系的证明例 2. (2018全国)如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2 ，PAPB PC AC4 ，O2为 AC 的中点

20、(1)证明：PO 平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC2 MB，求点 C 到平面 POM 的距离(1)证明 因为 PAPCAC 4 ，O 为 AC 的中点，所以 OPAC，且 OP2 .3如图，连接 OB.因为 ABBC AC，22所以AB C 为等腰直角三角形，所以 OBAC， OB AC2.12由 OP2OB 2PB 2 知 PO OB.因为 OPOB，OPAC ，OBAC O ，OB，AC 平 面 ABC，所以 PO平面 ABC.(2)解 作 CH OM，垂足为 H，又由(1)可得 OPCH，因为 OMOPO，OM，OP 平面 POM，所以 CH平面 POM.故 CH

21、的长为点 C 到平面 POM 的距离由题意可知 OC AC2，CM BC ，12 23 423ACB 45，所以在OMC 中，由余弦定理可得， OM ，253CH .OCMCsinACBOM 455所以点 C 到平面 POM 的距离为 .455【变式探究】(1)如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PAB平面 ABCD，点 E 是 PD 的中点，棱 PA 与平面 BCE 交于点 F.求证：ADEF ；若PAB 是正三角形，求三棱锥 PBEF 的体积证明 因为底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，所以 BCAD.又因为 BC平面 PAD，AD 平面 PAD，

22、所以 BC平面 PAD.又因为 B，C，E，F 四点共面，且平面 BCEF平面 PAD EF，所以 BCEF.又因为 BCAD ，所以 ADEF.解 由知，ADEF ，点 E 是 PD 的中点，所以点 F 为 PA 的中点，EF AD1.12又因为平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB，ADAB ，所以 AD平面 PAB，所以 EF平面 PAB.又因为PAB 是正三角形，所以 PAPBAB 2 ，所以 SPBF SPBA .12 32又 EF1，所以 VPBEF V EPBF 1 .13 32 36故三棱锥 PBEF 的体积为 .36(2)(2018北京)如图，在四棱锥 P

23、ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面ABCD，PAPD ，PAPD，E，F 分别为 AD，PB 的中点求证：PE BC；求证：平面 PAB平面 PCD；求证：EF平面 PCD.证明 因为 PAPD，E 为 AD 的中点，所以 PEAD.因为底面 ABCD 为矩形，所以 BCAD，所以 PEBC .如图，取 PC 的中点 G，连接 FG，DG.因为 F， G 分别为 PB，PC 的中点，所以 FGBC， FG BC，12因为四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点，所以 DEBC，DE BC.12所以 DEFG ，DEFG.所以四边形 DEFG 为平行四边形，所以 E

24、FDG .又因为 EF平面 PCD，DG平面 PCD，所以 EF平面 PCD.【感悟提升】垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用 平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平 行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，l ，a la.【变式探究】 (2018全国 )如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 ACD

25、所在平面垂直，M是 ACD上异于 C，D 的点(1)证明：平面 AMD平面 BMC.(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由(1)证明 由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD.因为 BCCD ， BC平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，又 DM平面 CMD，故 BCDM.因为 M 为 ACD上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DMCM.又 BCCMC ，BC，CM平面 BMC，所以 DM平面 BMC.又 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC.(2)解 当 P 为 AM 的中点时，MC平面 PBD.证明如下：连接 AC，BD ，交于

26、点 O.因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 的中点连接 OP，因为 P 为 AM 的中点，所以 MCOP.又 MC平面 PBD，OP平面 PBD，所以 MC平面 PBD.题型三 平面图形的翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法例 3、如图 1，已知菱形 AECD 的对角线 AC，DE 交于点 F，点

27、 E 为 AB 中点将ADE 沿线段 DE 折起到 PDE 的位置， 如图 2 所示(1)求证：DE平面 PCF；(2)求证：平面 PBC平面 PCF；(3)在线段 PD，BC 上是否分别存在点 M，N，使得平面 CFM平面 PEN？若存在，请指出点M， N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由(1)证明 折叠前，因为四边形 AECD 为菱形，所以 ACDE ，所以折叠后，DEPF，DECF，又 PFCF F， PF，CF平面 PCF，所以 DE平面 PCF.(2)证明 因为四边形 AECD 为菱形，所以 DCAE， DCAE .又点 E 为 AB 的中点，所以 DCEB，DC EB，所以四边

28、形 DEBC 为平行四边形，所以 CBDE .又由(1)得，DE平面 PCF，所以 CB平面 PCF.因为 CB平面 PBC，所以平面 PBC平面 PCF.(3)解 存在满足条件的点 M，N，且 M， N 分别是 PD 和 BC 的中点如图，分别取 PD 和 BC 的中点 M，N.连接 EN，PN， MF，CM.因为四边形 DEBC 为平行四边形，所以 EFCN ， EF BCCN，12所以四边形 ENCF 为平行四边形，所以 FCEN.在PDE 中，M，F 分别为 PD，DE 的中点，所以 MFPE .又 EN，PE平面 PEN，PEEN E ，MF ，CF 平面 CFM，MFCFF，所以平

29、面 CFM 平面 PEN.【感悟提升】(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论【变式探究】如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC ，ABBC，BDDC，点 E 是 BC 边的中点，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，连接 AE，AC，DE，得到如图所示的空间几何体(1)求证：AB 平面 ADC；(2)若 AD1 ，AB ，求点 B 到平面 ADE 的距离2(1)证明 因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，又 BD DC，DC 平面 BCD，所以 DC平面 ABD.因为 AB平面 ABD，所以 DCAB .又 ADAB，DCAD D，AD，DC平面 ADC，所以 AB平面 ADC.所以 SADE 1 .12 (32)2 (12)2 22因为 DC平面 ABD，所以 VABCD CDSABD .13 33设点 B 到平面 ADE 的距离为 d， 来源:Zxxk.Com则 dSADE V BADEV ABDE VABCD ，13 12 36所以 d ，62即点 B 到平面 ADE 的距离为 .62