2019年高考数学教师版（含解析)之不等式与线性规划

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1、不等式与线性规划【2019 年高考考纲解读】高考对 本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是 C级要求，线性规划是 A级要求来源:(2)基本不等式是 C级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.【重点、难点剖析】1不等式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式 ax2 bx c0(a0)，再求相应一元二次方程 ax2 bx c0( a0)的根 ，最后根据相应二次函数图象与 x轴的位置关系，确定一元二 次不等式的解集(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对

2、参数进行讨论的原因确定好分类标准 、层次清楚地求解2基本不等式(1)基本不等式 a2 b22 ab取等号的条件是当且仅当 a b.(2)几个重要的不 等式： ab 2(a， bR)(a b2 ) (a0， b0)a2 b22 a b2 ab 2aba b a 2( a0，当 a1 时等号成立)1a2( a2 b2)( a b)2(a， bR，当 a b时等号成立)(3)最值问题：设 x， y都为正数，则有若 x y s(和为定值)，则 x y时，积 xy取得最大值 ；s24若 xy p(积为定值)，则当 x y时，和 x y取得最小值 2 .p3不等式的恒成立、能成立、恰成立问题来源:Z,xx

3、,k.Com(1)恒成立问题若不等式 f(x)A在区间 D上恒成立，则等价于在区间 D上 f(x)minA；若不等式 f(x)A成立，则等价于在区间 D上 f(x)maxA；若在区间 D上存在实数 x使不等式 f(x)A在区间 D上恰成立，则等价于不等式 f(x)A的解集为 D；若不等式 f(x) Bln( x21)ln( y21)1x2 1 1y2 1Csin xsin y D x3y3【方法技巧】解不等式的四种策略(1)解一元二次不等式的策略：先化为一般形式 ax2 bx c0(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集(2)解简单的分式不等式的策略：将不等式一边

4、化为 0，再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解(3)解含指数、对数不等式的策略：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解(4)解含参数不等式的策略：根据题意确定参数分类的标准，依次讨论求解【变式探究】 (1)若不等式 x2 ax10 对于一切 x 成立，则 a的取值范围是(0，12)_(2)已知一元二次不等式 f(x)0的解集为_【规律方法】解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解题型二、简单的线性规划问题【例 2】 （201

5、8 年全国 I 卷）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为A. 6 B. 19C. 21 D. 45【变式探究】 【2017 山东，文 3】已知 x,y 满足约束条件 ,则 z=x+2y 的最大2503xy值是A.-3 B.-1 C.1 D.3【变式探究】 【2016 年高考北京文数】若 x， y满足203xy，则 2xy的最大值为（ ）A.0 B.3 C.4 D.5来源:ZXXK【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得【举一反三】(2015广东，6

6、)若变量 x，y 满足约束条件 则 z3x2y 的最小4x 5y8，1x3，0y2， )值为( )A. B6 C. D4315 235【变式探究】(1)(2014新课标全国卷) 设 x，y 满足约束条件Error! 则 z2xy 的最大值为( )A10 B8 C3 D2(2)(2014浙江)当实数 x， y满足Error!时，1 ax y4 恒成立，则实数 a的取值范围是_(2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图中阴影部分所示，令 z ax y，即y ax z.作直线 l0： y ax，平移 l0，最优解可在 A(1,0)， B(2,1)， C 处取(1，32)得故由 1 z4 恒成立，可得

7、Error!解得 1 a .32【感悟提升】1线性规划问题的三种题型(1)求最值，常见形如截距式 z ax by，斜率式 z ，距离式 z( x a)2( y b)2.x bx a(2)求区域面积(3)由最优解或可行域确定参数的值或取值范围2解答线性规划问题的步骤及应注意的问题(1)解决线性规划问 题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决(2)画可行域时应注意区域是否包含边界(3)对目标函数 z Ax By中的 B的符号，一定要注意 B的正负与 z的最值的对应，要结合图形分析题型三

8、、基本不等式及其应用例 3、 （2018 年天津卷）已知 a， bR，且 a3b+6=0，则 2a+ 的最小值为_【变式探究】 【2017 课标 II，文 7】设 满足 约束条件 ,则 的,xy2+30xy2zxy最小值是A. B. C. D 来源:ZXXK15919【变式探究】 【2016 高考天津文数】设变量 x，y 满足约束条件20,369.xy则目标函数25zxy的最小值为（ ）（A） 4（B）6 （C）10 （D） 17【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、“等

9、”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误【举一反三】(1)已知不等式 0，则 的最小值为( ) 2m 1nA4 B82C9 D12(2)要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20元，侧面造价是每平方米 10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)【感悟提升】(1)一般地，分子、分母有一个一次、一 个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号

10、取得的条件)的条件(3)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错【2019 年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是 C级要求，线性规划是 A级要求(2)基本不等式是 C级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.【重点、难点剖析】1不等 式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式 ax2 bx c0(a0)，再求相应一元二次方程 ax2 bx c0( a0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解

11、集(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因确定好分类标准、层次清楚地求解2基本不等式(1)基本不等式 a2 b22 ab取等号的条件是当且仅当 a b.(2)几个重要的不等式 ： ab 2(a， bR)(a b2 ) (a0， b0)a2 b22 a b2 ab 2aba b a 2( a0，当 a1 时等号成立)1a2( a2 b2)( a b)2(a， bR，当 a b时等号成立)(3)最值问题：设 x， y都为正数，则有若 x y s(和为定值)，则 x y时，积 xy取得最大值 ；s24若 xy p(积为定值)，则当 x y时，和 x y取得最小值

12、 2 .p3不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题若不等式 f(x)A在区间 D上恒成立，则等价于在区间 D上 f(x)minA；来源:Z*xx*k.Com若不等式 f(x)A成立，则等价于在区间 D上 f(x)maxA；若在区间 D上存在实数 x使不等式 f(x)A在区间 D上恰成立，则等价于不等式 f(x)A的解集为 D；若不等式 f(x) Bln( x21)ln( y21)1x2 1 1y2 1Csin xsin y D x3y3方法技巧】解不等式的四种策略(1)解一元二次不等式的策略：先化为一般形式 ax2 bx c0(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二

13、次不等式的解集(2)解简单的分式不等式的策略：将不等式一边化为 0，再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解(3)解含指数、对数不等式的策略：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解(4)解含参数不等式的策略：根据题意确定参数分类的标准，依次讨论求解【变式探究】 (1)若不等式 x2 ax10 对于一切 x 成立，则 a的取值范围是(0，12)_(2)已知一元二次不等式 f(x)0的解集为_【答案】(1) ，) (2) x|x0 成立，故 a0.若 00的解为10，则 的最小值为( )2m 1nA4 B82C9 D12(2)要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m的无盖长方体容器已知

14、该容器的底面造价是每平方米 20元，侧面造价是每平方米 10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)来源:Zxxk.Com【命题意图】(1)本题主要考查解分式不等式、均值不等式等基础知识，对学生的转化思想、运算能力有一定要求(2)本题主要考查空间几何体的表面积 、基本不等式等基础知识，意在考查考生处理实际问题的能力、空间想象能力和运算求解能力设该容器的总造价为 y元，长方体的底面矩形的长为 x m，因为无盖长方体的容积为 4 m3，高为 1 m，所以长方体的底面矩形的宽为 m，依题意，得 y20410 4x8020 80202 160(2x24x ) (x 4x) x4x，所以该容器的最低总造价为 160元(当 且 仅 当 x4x， 即 x 2时 取 等 号 )【感悟提升】(1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等 式求最值 (2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件(3)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错