2019年高考数学解密题（含解析）空间中的平行与垂直

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1、 空间中的平行与垂直高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率空间点、线、面位置关系的基本问题2018 课标全国92016 课标全国14来源:学&科&网来源:学科网 ZXXK平行与垂直关系的证明来源:Z+xx+k.Com2018 课标全国182017 课标全国182016 课标全国19平面图形的翻折与存在性问题空间点、线、面位置 关系既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，以解答题的形式重点考查空间平行关系和垂直关系的证明来源:学科网来源:学# 科#网2016 课标全国19 考点 1 空间点、线、面位置关系的基本问题题组一 位置关系的判断调研 1 设 m，n 是两条不同

2、的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列四个命题：若 mn，m ，则 n ； 若 m，m，则 ；若 mn，m ，则 n ； 若 m，m 则 其中真命题的个数为A1 B2C3 D4【答案】A【解析】根据空间平行与垂直的判定和性质定理逐个对命题进行判断 显然正确；对于，由 m，m ，不一定得到 ， 和 的关系不确定；对于，n 可能在平面 内，所以不正确；对于，由 m，m，可知 ，所以不正确故选 A调研 2 设 表示三条直线， 表示三个平面，则下列命题中不成立的是A若 ，则 B若 ，则C若 是 在 内的射影， ，则D若 ，则【答案】D技巧点拨空间中点、线、面的位置关系的 判定方法：（1）可以从线、面

3、的概念、定理出发，学会找特例、反例（2）可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义题组二 位置关系的判断与其他知识相结合调研 3 已知 表示两个不同的平面， 表示一条直线，且 ，则 是， ll的lA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由题意， ， ，则 或 ，所以充分条件不成立；又当 ，ll l时，不能得到 ，所以必要条件不成立，故选 Dl l调研 4 已知 l 为平面 内的一条直线， ， 表示两个不同的平面，则“ ”是“l ”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案

4、】B【解析】若 l 为平面 内的一条直线且 l，则 ，反过来则不一定成立，所以“”是“l”的必要不充分条件，故选 B学- 科网考点 2 平行与垂直关系的证明题组一 平行的判定及性质调研 1 如图，四棱锥 中， 平面为线段 上一点， 为的中点（1）证明：（2）求四面体 的体积【答案】 （1）见解析；（2） 453【解析】 （1）由已知得 ，取 的中点 ，连接 ，由 为 中点知 ，即又 ，即 故四边形 为平行四边形，于是因为 所以 调研 2 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA 1平面 ABC，BCAB，点 M，N 分别是线段A1C1，A 1B 的中点设平面 MNB1 与平面 BCC1B1

5、 的交线为 l，求证：MNl【答案】见解析【解析】可先证明 MN平面 BCC1B1，然后利用线面平 行的性质定理即可得证方法 1：如图，连接 C1B，在 中，点 M，N 分别为 A1C1，A 1B 的中点， 所以AMNC 1B又 MN平面 BCC1B1，C 1B平面 BCC1B1，所以 MN平面 BCC1B1又 MN平面 MNB1，平面 MNB1平面 BCC1B1=l，所以 MNl 方法 2：取 A1B1 的中点 P，连接 MP，NP，如图所示在 中， 点 M，P 分别为 A1C1，A 1B1 的中点，所以 MPC 1B1C又 MP平面 BCC1B1，C 1B1平面 BCC1B1，所以 MP平

6、面 BCC1B1同理可证 NP平面 BCC1B1因为 MPNP=P，MP 平面 MNP，NP 平面 MNP，所以平面 MNP平面 BCC1B1因为 MN平面 MNP，所以 MN平面 BCC1B1又 MN平面 MNB1，平面 MNB1平面 BCC1B1=l，所以 MNl 题组二 垂直的判定及性质调研 3 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别1ABC90ABC1=AMN是 ， 的中点AC1B（1 ）求证： 平面 ；MN 1（2 ）求证： 1【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）如图，取 的中点 ，连接ABP1,.MB因为 分别是 的中点，所以 且,MP,C,C.2P在直三棱柱 中

7、， ， ，11 1又因为 是 的中点，所以 且 ，NB,PMBN所以四边形 是平行四边形，所以 ，1P1而 平面 ， 平面 ，所以 平面 MA11A 1AB（2 ）因为三棱柱 为直三棱柱，所以 平面 ，1ABC1B1AC又因为 平面 ，所以平面 平面 ， 11A又因为 ，所以 ，901因为平面 平面 ， ，所以 平面 ，1AB11=CBA11ABC平 面 11AB又因为 平面 ，所以 ，111N如图，连接 ，因为在平行四边形 中， ，所以 ，ABAB1=A1BA又因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ， 11=N11 N而 平面 ，所以 N调研 4 如图 ，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面 底

8、面 ，ABCDEBEABECD，点 ， 分别是 ， 的中点ABEMA（1 ）求证： 平面 ；学-科网N（2 ）求证： 平面 ；AE（3 ）在棱 上求作一点 ，使得 ，并说明理由DPCAD【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】 （1）因为点 ， 分别是 ， 的中点，所以MNAED.MNDE因为四边形 BCDE 为正方形，所以 ，所以BC .BC因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 NA A（2 ）因为平面 底面 ， ，所以 平面EDEE.因为 平面 ，所以BM.BM因为 ，点 是 的中点，所以AA.A因为 ， 平面 ， 平面 ，DEEDE所以 平面 BM.ADE技巧点拨空间平行

9、与垂直关系的证明主要是转化思想的应用，如下图：在解决平行(垂直)关系的判定时，一般遵循从“低维” 到“高维”的转化；而应用性质定理时，其顺序则正好相反在实际应用中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用题组三 线面角与二面角调研 5 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB1 ，AC2，BC ，D ，E 分别是 AC1 和 BB1 的中点，则直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为A30 B45C 60 D90【答案】A调研 6 如图所示，在四棱锥 中，平面 平面 ，ABC， 43BECAB， ，（1）求证： ；（2）若二面角 为 ，求直线 与平面 所成的角的正弦值【答案】 （1）见

10、解析；（2） 64【解析】 （1）在 中，应用余弦定理得 ，解ACB223cosABC得 所以 ，所以 因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 又因为 平面 ，所以 （2）因为 平面 平面 ，所以 又 ，平面 平面 ，所以 是平面 与平面 所成的二面角的平面角，即 因为 ，所以 平面 所以 是直线 与平面 所成的角因为在 中， ，RtBCE所以在 中， ，tA6sin4BEA即直线 与平面 所成的角的正弦 值为 学- 科网调研 7 已知三棱柱 在底面 ABC 上的射影恰为 的中点 ， （1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】 （1）由题意知 平

11、面 ，且 ，又 平面 平面 平面 又 平面 ，又 平面 ，又 ，且 为平面 内的两条相交直线， 平面 （2）设 与 的交点为 ，则由（1）有 平面 过点 作 于 ，连 ，则 ，故 为所求二面角的平面角平 面 由 为 中点，得 ，则 又在 中，得 1ABC在 中， ，得 ，OE即二面角 的余弦值为 调研 8 如图，在直三棱柱 中， 是 的中点，是 的中点（1 ）求异面直线 与 所成的角；（2 ）求证： ；（3 ）求二面角 的正切值【答案】 （1） ；（2）见解析；（3） （2 ）由（1 ）可知， ，又因为三棱柱 是直三棱柱，所以 ，得 ；又由 与 相似，得 ，1EC G又由 ，所以 （3 ）设

12、是 的中点，过点 作 于 ，连接 ，则 又由平面 平面 ，得 ，则 （或其补角）是二面角PQE的平面角由 ，得 ，tan5PE所以二面角 的正切值是 技巧点拨记住以下几个常用结论：（1）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等（2）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行（3）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行（5）垂直于同一条直线的两个平面平行（6）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直（7）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直考点 3 平面图形的翻折与存在性问题题组一 翻折问题调研 1 如图，在直角梯形 中， ，

13、， ABCDBADC，点 是线段 上异于点 ， 的动点， 于点 ，12ABCDECEF将 沿 折起到 的位置，并使 ，则五棱锥 的体积EF PF PFP的取值范围为_【答案】1(0,)3【解析】 ， 平面 ，设,PFEAFPFABCE，则01Dx,2,xABCEDFSS则五棱锥 的体积2132，则 ，当 时，336Vxxx 21Vx01x单调递增，故 ，即 的取值范围是 0,0(,)3调研 2 如图，在正方形 ABCD 中，E 、 F 分别是 的中点，G 是 EF 的中点现在沿及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 三点重合，重合后的点记为下列说法错误的是_ (将符合题意的选项序号填到横线

14、上 ) 所在平面； 所在平面； AGEFH AHEF 所在平面； 所在平面 G【答案】【解析】根据条件 ，所以 ，故 AG 不可能垂直于平面，所以错误；正确；若 ，则 ，显然一个三角形中不能有两个直角，错误；若 ，则 中有两个直角，错误，故填AHG调研 3 如图，已知矩形 中， ，将矩形沿对角线 把 折起，ABD使 移动到点 ，且 在平面 上的射影 恰好在 上（1）求证： ；（2）求证：平面 平面 ；（3）求三棱锥 的体积【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 （1）因为 在平面 上的射影 恰好在 上，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 （2

15、）因为 是矩形，所以 ，由（1）知 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 （3）因为 平面 ，所以 ，因为 = = ，所以 ，所以 = = = 调研 4 如图，在矩形 中， 分别为 的中点，现将沿 折起，得四棱锥 （1 ）求证：EF /平面 ；（2 ）若平面 平面 ，求四面体 的体积【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】 （1）取线段 的中点 ，连接 ，因为 为 的中点，所以 ，且 ，在折叠前，四边形 为矩形， 为 的中点，所以 ，且 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，故 ，又 平面 平面 ，所以 平面 （2 ）在折叠前，四边形 为矩形， 为 的中点，所以 都是等腰直角三角形，且 ，,

16、ADECB 所以 ，且 又 ，又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，所以 平面 ，即 为三棱锥 的高因为 为 的中点，所以 ，所以四面体 的体积 技巧点拨折叠与展开，这两种方式的转变是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，求解翻折问题的关键是把握翻折前后的变量和不变量题组二 探索性问题调研 5 如图，平行四边形 中， = = ，现将 沿 折起，得到ADC三棱锥 ，且 ，点 为侧棱 的中点（1）求证： 平面 ；（2）求三棱锥 的体积；（3）在 的角平分线上是否存在一点 ，使得 平面 ?若存在，求 的长；若DF不存在，请说明理由【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）见解析【解析】 （1）在平行四边

17、形 中，有 ，又 为侧棱 的中点，所以 ，又 ，且 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，因为 ，所以 平面 （2）因为 平面 ，所以 是三棱锥 的高，故 = = （3）取 中点 ，连接 并延长至点 ，使 ，连接 ，OE，因为 ，所以射线 是角 的角平分线，又点 是 中点，所以 ，因为 平面 平面 ，所以 平面 ，因为 互相平分，所以四边形 为 平行四边形，则 ，又 ，所以 = = = 调研 6 如图，在长方体 中， 分别为 的1ABCD1,2,ABDEF1,AD中点， 是 上一个动点，且 Q(0)Q（1 ）当 时，求证：平面 平面 ；EF 1（2 ）是否存在 ，使得 ？若存在，请求出 的值；若

18、不存在，请说明理由BD【答案】 （1）见解析；（2）见解析（2 ）如图，连接 与 ，,AQBDF因为 平面 平面 ，所以 学-科网1,CAC1BD若 又 平面 ，且 ，所以 平面 ,BF11FQ1AQ因为 平面 ，所以 AQBD在矩形 中，由 ，得 ，所以 CDA 2BD又 ，所以 ，则 ，即 1,2B13,2QC1Q3技巧点拨（1）推理型探索性问题推理型探索性问题，以探究空间中直线、平面的平行与垂直关系为主，解决此类问题主要采用直接法，即利用空间平行与垂直关系的判定与性质定理进行逻辑推理，将其转化为平面图形中的线线关系进行探究，逻辑推理的思维量较大学科*网（2）计算型探索性问题计算型探索性问

19、题，主要是对几何体的表面积、体积或距离等问题进行有关探究解决此类问题主要采用直接法，即利用几何体的结构特征，巧设未知量，将所探究的问题转化为建立关于所设未知量的函数或方程，依据目标函数的性质或方程解的存在性求解1 （广西南宁市、玉林市、贵港市等 2019 届高三毕业班摸底考试）如图，棱长为 的正方体 中， 为 中点，则直线 与平面 所成角的正切值为A BC D2 （安徽省合肥市 2019 届高三第一次教学质量检测） 平面 外有两条直线 ， ，它们在平面 内的射影分别是直线 ， ，则下列命题正确的是A若 ，则 B若 ，则C若 ，则 D若 和 相交，则 和 相交或异面3 （四川省凉山州 2019

20、届高中毕业班第一次诊断性检测）如图，四棱柱中， 分别是 ， 的中点，下列结论中正确的是A B 平面C 平面 D 平面4 （深圳实验，珠海一中等六校 2019 届高三第二次联考）四边形 和 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线 与 所成的角为A BC D5 （湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测） 设 ， ， 表示不同直线， ， 表示不同平面，下列命题：若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ；若 ， ，则 ； 若 ， ， ，则 真命题的个数是A1 B2C 3 D46 （浙江省重点中学 2019 届高三 12 月期末热身联考）已知 ，则“mn” 是“ ml ”的A充分不必要条件 B必要

21、不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7 （四川省三台中学实验学校 2019 届期末仿真模拟）四棱锥 中，底面是边长为的正方形，若四条侧棱相等，且该四棱锥的体积 ，则二面角 的大小为A B30 45C D6 908 （湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测） 设正方体 的棱长为 ，为 的中点， 为直线 上一点， 为平面 内一点，则 ， 两点间距离的最小值为A BC D9 （ 长春市普通高中 2019 届高三质量监测）在正方体 中，直线 与平面 所成角的正弦值为A BC D10 （安徽省江淮名校 2019 届高三 12 月联考）如图，在棱长为 1 的正方体中， ， 分别是 ， 的中点

22、，过直线 的平面 平面 ，则平面 截该正方体所得截面的面积为A BC D11 （浙江省温州九校 2019 届高三第一次联考）正四面体 中， 在平面 内，点 是线段 的中点，在该四面体绕 旋转的过程中，直线 与平面 所成角不可能是A BC D12 （广西百色市高三年级 2019 届摸底调研考试）如图，在正方体 中，点在线段 上运动，则下列判断中 正确的是平面 平面 ； 平面 ；异面直线 与 所成角的取值范围是 ；三棱锥 的体积不变A BC D13 （湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测）在正方体 中，点 在线段 上运动，则异面直线 与 所成角的取值范围是_14 （河北省邢台市 2019

23、届高三上学期一轮摸底考试）已知三棱锥 的侧棱两两垂直， ， 为棱 上的动点， 与侧面 所成角为 ，则 的最大值为_15 （河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试）如图所示，在长方体中， ， ， 为底面 两条对角线的交点， 与平面所成的角为 ，则该长方体的表面积为_ 16 （山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试）如图，一张矩形白纸ABCD， AB=10，AD= ，E，F 分别为 AD，BC 的中点，现分别将ABE，CDF 沿102BE，DF 折起，且 A、C 在平面 BFDE 同侧，下列命题正确的是 _(写出所有正确命题的序号) 当平面 ABE平面 CDF 时， AC平面

24、BFDE；当平面 ABE平面 CDF 时， AECD ；当 A、C 重合于点 P 时，PGPD；当 A、C 重合于点 P 时，三棱锥 P-DEF 的外接球的表面积为 15017 （江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港)2019 届高三年级第一次质量检测）如图，在直三棱柱 中， 分别是 的中点（1 ）求证： 平面 ；（2 ）若 ，求证：平面 平面 18 （安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测）如图，在三棱锥 中， ，其体积 （1 ）求 的长；（2 ）在线段 上是否存在点 ，使得 ？若存在，请找出并给予证明；若不存在，请说明理由19 （河北省衡水中学 2019 届高三上学期五调）如图

25、，三棱柱中 ， 平面， ， （1 ）求证： ；（2 ）求直线 与平面 所成角的正切值20 （湖北省 2019 届高三 1 月联考） 如图，在四棱锥 中， ， ，且 PC=BC=2AD=2CD=2 ， （1 ）求证： 平面 ；（2 ）已知点 在线段 上，且 ， 求点 到平面 的距离21 （福建省泉州市 2019 届高 三 1 月单科质检）如图，在四棱锥 中， 平面， ， ，点 为 的中点（1 ）证明： 平面 ；（2 ）若直线 与底面 所成的角为 ，求四棱锥 的体积22 （湖北省 2019 届高三 1 月联考） 如图，在四棱锥 中， ， ，且 PC=BC=2AD=2CD=2 ， （1 ） 平面 ；

26、（2 ）在线段 上，是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ？如果存在，求 的值；如果不存在，请说明理由1 （ 2018 新课标全国理科） 在长方体 中， ， ，1ABCD1ABC3A则异面直线 与 所成角的余弦值为1ADBA B556C D22 （ 2016 新课标全国理科） ， 是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：如果 mn，m，n，那么 如果 m，n，那么 mn如果 ，m ，那么 m如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号）3 （ 2017 新课标全国理科节选） 如图，在四棱锥 PABCD 中，AB/CD，且90BA

27、PCD证明：平面 PAB平面 PAD4 （ 2016 新课标全国理科节选） 如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，AD BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4 ，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点证明 MN平面 PAB5 (2015 新课标全国 I 理科节选)如图，四边形 ABCD 为菱形， ABC=120，E，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE 平面 ABCD，DF平面 ABCD， BE=2DF，AE EC 证明：平面AEC平面 AFC6 （ 2016 新课标全国理科节选） 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O， AB=5， A

28、C=6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE=CF= ，EF 交 BD 于点 H 将DEF54沿 EF 折到 的位置， D 10O证明： 平面 ABCDH7 （ 2018 新课标全国理科） 如图，四边形 为正方形， 分别为 的ABCD,EF,ADBC中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 DF P（1 ）证明：平面 平面 ；PEF（2 ）求 与平面 所成角的正弦值AB空间中的平行与垂直高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率空间点、线、面位置关系的基本问题2018 课标全国9来源:学_科_ 网2016 课标全国14来源:学+科+网Z+X+X+K平行与垂直关系的证明来源:学科网

29、 ZXXK来源:学科网 ZXXK2018 课标全国182017 课标全国182016 课标全国19平面图形的翻折与存在性问题空间点、线、面位置关系既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，以解答题的形式重点考查空间平行关系和垂直关系的证明来源:学,科,网2016 课标全国19 考点 1 空间点、线、面位置关系的基本问题题组一 位置关系的判断调研 1 设 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列四个命题：若 mn，m ，则 n ； 若 m，m，则 ；若 mn，m ，则 n ； 若 m，m 则 其中真命题的个数为A1 B2C3 D4【答案】A【解析】根据空间

30、平行与垂直的判定和性质定理逐个对命题进行判断 显然正确；对于，由 m，m ，不一定得到 ， 和 的关系不确定；对于，n 可能在平面 内，所以不正确；对于，由 m，m，可知 ，所以不正确故选 A调研 2 设 表示三条直线， 表示三个平面，则下列命题中不成立的是A若 ，则 B若 ，则C若 是 在 内的射影， ，则D若 ，则【答案】D技巧点拨空间中点、线、面的位置关系的判定方法：（1）可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例（2）可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义题组二 位置关系的判断与其他知识相结合调研 3 已知 表示两个不同的平面， 表示

31、一条直线，且 ，则 是， ll的lA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由题意， ， ，则 或 ，所以充分条件不成立；又当 ，ll l时，不能得到 ，所以必要条件不成立，故选 Dl l调研 4 已知 l 为平面 内的一条直线， ， 表示两个不同的平面，则“ ”是“l ”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若 l 为平面 内的一条直线且 l，则 ，反过来则不一定成立，所以“”是“l”的必要不充分条件，故选 B考点 2 平行与垂直关系的证明题组一 平行的判定及性质调研 1 如图，四棱锥 中， 平面为

32、线段 上一点， 为的中点（1）证明：（2）求四面体 的体积【答案】 （1）见解析；（2） 453【解析】 （1）由已知得 ，取 的中点 ，连接 ，由 为 中点知 ，即又 ，即 故四边形 为平行四边形，于是因为 所以 （2）因为 平面 为 的中点，所以 到平面 的距离为取 的中点 ，连接 ，由 得由 得 到 的距离为 ，故 ，1452BCMS所以四面体 的体积为 33NBBPAV调研 2 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA 1平面 ABC，BCAB，点 M，N 分别是线段A1C1，A 1B 的中点设平面 MNB1 与平面 BCC1B1 的交线为 l，求证：MNl【答案】见解析【解析】可先证明 MN平面 BCC1B1，然后利用线面平行的性质定理即可得证方 法 1：如图，连接 C1B，在 中，点 M，N 分别为 A1C1，A 1B 的中点， 所以AMNC 1B又 MN平面 BCC1B1，C 1B平面 BCC1B1，所以 MN平面 BCC1B1又 MN平面 MNB1，平面 MNB1平面 BCC1B1=l，所以 MNl