《平行四边形及其性质》知识讲解（提高）

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1、平行四边形及其性质（提高）【学习目标】1理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理.2能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等” 。 “夹在两条平行线间的垂线段相等” 【要点梳理】【高清课堂 平行四边形 知识要点】知识点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形 ABCD 记作“ABCD”，读作 “平行四边形 ABCD”.A要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；

2、相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行线的性质定理1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意

3、一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.2平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质【高清课堂 平行四边形 例 10】1、如图，平行四边形 ABCD 的周长为 60 ，对角线交于 O，AOB 的周长比BOCcm的周长大 8 ，求 AB，BC 的长cm【答案与解析】解： 四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD，ADBC，AOCO， ABCD 的周长是 602AB2BC60，即 ABBC30，又 AOB 的周长比BOC 的周长大 8即（AOOBAB）（B

4、OOCBC）ABBC8， 由有 解得 AB，BC 的长分别是 19 和 11 cm【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.举一反三：【变式】如图：在平行四边形 ABCD 中，CE 是DCB 的平分线，F 是 AB 的中点，AB6，BC4.求 AE：EF：FB 的值.【答案】解： ABCD 是平行四边形，所以 ABCD，ECDCEBCE 为DCB 的角平分线，ECDECB，ECBCEB，BCBEBC4，所以 BE4AB6，F 为 AB 的中点，所以 BF3EFBEBF1，AEABBE2AE：EF：FB2：1：3.2、平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，且 ADCD，

5、过点 O 作 OMAC，交 AD 于点M，如果CDM 的周长是 40cm，求平行四边形 ABCD 的周长【思路点拨】由四边形 ABCD 是平行四边形，即可得 AB=CD，AD=BC，OA=OC，又由 OMAC，根据垂直平分线的性质，即可得 AM=CM，又由CDM 的周长是 40cm，即可求得平行四边形ABCD 的周长【答案与解析】解：四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，AD=BC，OA=OC，OMAC，AM=CM，CDM 的周长是 40，即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40，平行四边形 ABCD 的周长为：2（AD+CD）=240=80（cm） 平行四边形 ABCD

6、 的周长为 80cm【总结升华】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质解题的关键是注意数形结合思想的应用举一反三：【变式】 （2016 本溪）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 过点O 且与 AB、CD 分别相交于点 E、F，连接 EC（1）求证：OE=OF；（2）若 EFAC，BEC 的周长是 10，求平行四边形 ABCD 的周长【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，OD=OB，DCAB，FDO=EBO，在FDO 和EBO 中 ODBFE FDO EBO（AAS） ，OE=OF；（2）解：四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，A

7、D=BC，OA=OC，EFAC ，AE=CE，BEC 的周长是 10BC+BE+CE=BC+AB=10，平行四边形 ABCD 的周长=2（BC+AB）=203、 （2015 春 白云区期末）如图， 口 ABCD 的周长为 52cm，AB 边的垂直平分线经过点 D，垂足为 E， 口 ABCD 的周长比 ABD 的周长多 10cm BDE=35（1）求C 的度数；（2）求 AB 和 AD 的长【思路点拨】 （1）由于 DE 是 AB 边的垂直平分线，得到 ADE=BDE=35，于是推出A55，根据平行四边形的性质得到C=55；（2）由 DE 是 AB 边的垂直平分线，得到DA=DB，根据平行四边形

8、的性质得到 AD=BC，AB=DC，由于 口 ABCD 的周长为 52，于是得到 AB+AD=26，根据 口 ABCD 的周长比ABD 的周长多 10，得到BD=16，AD=16（cm ） ，于是求出结论【答案与解析】解：（1）DE 是 AB 边的垂直平分线，ADE=BDE=35，A=90ADE=55，口 ABCD，C=A=55；（2）DE 是 AB 边的垂直平分线，DA=DB，四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC，AB=DC，口 ABCD 的周长为 52，AB+AD=26，口 ABCD 的周长比ABD 的周长多 10，52（AB+AD+BD）=10，BD=16，AD=16（cm） ，A

9、B=2616=10（cm ） 【总结升华】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，能综合应用这两个性质是解题的关键4、如图 1，P 为 RtABC 所在平面内任一点（不在直线 AC 上） ，ACB=90，M 为 AB的中点操作：以 PA、PC 为邻边作平行四边形 PADC，连接 PM 并延长到点 E，使 ME=PM，连接 DE（1）请你猜想与线段 DE 有关的三个结论，并证明你的猜想；（2）若将“RtABC”改为“任意ABC” ，其他条件不变，利用图 2 操作，并写出与线段DE 有关的结论（直接写答案） 【思路点拨】 （1）连接 BE，证PMAEMB，推出 PA=BE，MPA=M

10、EB，推出PABE根据平行四边形的性质得出 PADC，PA=DC，推出 BEDC，BE=DC，得出平行四边形 CDEB 即可；（2）连接 BE，证PMAEMB，推出 PA=BE，MPA=MEB，推出 PABE根据平行四边形的性质得出 PADC，PA=DC，推出 BEDC，BE=DC，得出平行四边形 CDEB 即可【答案与解析】（1） DEBC，DE=BC，DEAC，证明：连接 BE，M 为 AB 中点，AM=MB，在PMA 和EMB 中 ， PMEABPMAEMB（SAS），PA=BE，MPA=MEB，PABE四边形 PADC 是平行四边形，PADC，PA=DC，BEDC，BE=DC，四边形

11、DEBC 是平行四边形，DEBC，DE=BCACB=90，BCAC，DEAC（2）解：DEBC，DE=BC【总结升华】本题考查了平行四边形性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运用举一反三：【变式】已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，DEAB 于点 E，DFBC 于点 F，DAB 的平分线交 DE 于点 M，交 DF 于点 N，交 DC 于点 P（1）求证：ADE=CDF；（2）如果B=120，求证：DMN 是等边三角形【答案】证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，DAB=C，DCAB，DEAB 于点 E，DFBC 于点 F，ADE=90-DAB，CDF=90-

12、C，ADE=CDF（2）证明：DAB 的平分线交 DE 于点 M，交 DF 于点 N，交 DC 于点 P，DAP=BAP，DCAB，DPA=BAP，DAP=DPA，DA=DP，ADE=CDF，DAP=DPA，DA=DP，DAMDPN，DM=DN，B=120，MDN=360-DEB-EFB-B=360-90-90-120=60，DMN 是等边三角形类型二、平行线性质定理及其推论5、如图 1，已知直线 mn，点 A、B 在直线 n 上，点 C、P 在直线 m 上；（1）写出图 1 中面积相等的各对三角形：_；（2）如图，A、B、C 为三个顶点，点 P 在直线 m 上移动到任一位置时，总有_与ABC

13、 的面积相等；（3）如图，一个五边形 ABCDE，你能否过点 E 作一条直线交 BC（或延长线）于点 M，使四边形 ABME 的面积等于五边形 ABCDE 的面积【思路点拨】 （1）找出图中同底等高的三角形，这些三角形的面积相等；（2）因为两平行线间的距离是相等的，所以点 C、P 到直线 n 间的距离相等，也就是说ABC 与PAB 的公共边 AB 上的高相等，所以总有PAB 与ABC 的面积相等；（3）只要作一个三角形 CEM 与三角形 CED 的面积相等即可【答案与解析】解：（1）mn，点 C、P 到直线 n 间的距离与点 A、B 到直线 m 间的距离相等；又同底等高的三角形的面积相等，图中符合条件的三角形有：CAB 与PAB、BCP 与APC，ACO 与BOP；（2）mn，点 C、P 到直线 n 间的距离是相等的，ABC 与PAB 的公共边 AB 上的高相等，总有PAB 与ABC 的面积相等；（3）连接 EC，过点 D 作直线 DMEC 交 BC 延长线于点 M，连接 EM，线段 EM 所在的直线即为所求的直线【总结升华】本题主要考查了三角形的面积及平行线的性质，利用平行线间的距离相等得到同底等高的三角形是解题的关键