《平行四边形及其性质》知识讲解（基础）

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1、平行四边形及其性质（基础）【学习目标】1理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理.2能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等” 。 “夹在两条平行线间的垂线段相等” 【要点梳理】知识点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形 ABCD记作“AABCD”，读作 “平行四边形 ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四

2、对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行线的性质定理1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距

3、离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.2平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质【高清课堂 平行四边形 例 11】1、如图所示，已知四边形 ABCD是平行四边形，若 AF、BE 分别为DAB、CBA 的平分线求证：DFEC【答案与解析】证明： 在 AABCD中，CDAB，DFAFAB又 AF 是DAB 的平分线， DAFFAB， DAFDFA， ADDF同理可得 ECBC 在 AABCD中，ADBC， DFEC【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供

4、了条件举一反三：【高清课堂 平行四边形 例 12】【变式】如图，E、F 是平行四边形 ABCD的对角线 AC上的点，CEAF，请你猜想：线段 BE与线段 DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.【答案】证明：猜想：BE DF 且 BEDF.四边形 ABCD是平行四边形 CB=AD，CBAD BCEDAF 在BCE 和DAF 中CBADEFBCEDAF BEDF，BECDFA BEDF即 BE DF 且 BEDF.2.（2016永州）如图，在ABCD 中，BAD 的角平分线 AE交 CD于点 F,交 BC的延长线于点 E（1）求证：BE=CD；（2）连接 BF，若 BFAE，BEA=60，AB=

5、4，求平行四边形 ABCD的面积【思路点拨】 （1）由平行四边形的性质和角平分线得出BAE=BEA，即可证明；（2）证明ABE 为等边三角形，由勾股定理求出 BF，由 AAS证明ADFECF，得出ADF 与ECF的面积相等，平行四边形 ABCD的面积=ABE 的面积，即可得出结果【答案与解析】（1）证明：在平行四边形 ABCD中，ADBC，ABCD，AB=CD，AEB=DAE，又AE 是BAD 的角平分线，BAE=DAE，AEB=BAE，AB=BE，BE=CD（2）解：AB=BE，BEA=60ABE 为等边三角形，AE=AB=4，BFAE，AF=EF=2，BF= ，23ADBC，D=ECF，D

6、AF=E，在ADF 和ECF 中，,DECFAADFECF（AAS）ADF 的面积=ECF 的面积，平行四边形 ABCD的面积=ABE 的面积= 14232AEBF【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定、勾股定理；解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质3.如图，在ABCD 中，点 E，F 分别在边 DC，AB 上，DE=BF，把平行四边形沿直线 EF折叠，使得点 B，C 分别落在 B，C处，线段 EC与线段 AF交于点 G，连接 DG，BG求证：（1）1=2；(2）DG=BG【思路点拨】 （1）根据平行四边形得出 DC

7、AB，推出2=FEC，由折叠得出1=FEC=2，即可得出答案；（2）求出 EG=BG，推出DEG=EGF，由折叠求出BFG=EGF，求出 DE=BF，证DEGBFG 即可【答案与解析】证明：（1）在平行四边形 ABCD中，DCAB，2=FEC，由折叠得：1=FEC，1=2；（2）1=2，EG=GF，ABDC，DEG=EGF，由折叠得：ECBF，BFG=EGF，DE=BF=BF，DE=BF，DEGBFG（SAS） ，DG=BG【总结升华】本题考查了平行四边形性质，折叠性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力4.如图，已知ABCD 中，F 是 BC边的中点，连接 DF

8、并延长，交 AB的延长线于点E求证：AB=BE【思路点拨】根据平行四边形性质得出 AB=DC，ABCD，推出C=FBE，CDF=E，证CDFBEF，推出 BE=DC即可【答案与解析】证明：F 是 BC边的中点，BF=CF，四边形 ABCD是平行四边形，AB=DC，ABCD，C=FBE，CDF=E，在CDF 和BEF 中 CFBEDCDFBEF（AAS），BE=DC，AB=DC，AB=BE【总结升华】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出CDFBEF举一反三：【变式】如图，已知在ABCD 中，延长 AB，使 AB=BF，连接 DF，交 BC于点 E求证：

9、E 是 BC的中点【答案】证明：在ABCD 中，ABCD，且 AB=CD，CDF=F，CBF=C，AB=FB，DC=FB，DECFEB，EC=EB，即 E为 BC的中点类型二、平行线的性质定理及其推论5.（1）如图 1，已知ABC，过点 A画一条平分三角形面积的直线；（2）如图 2，已知 l1l 2，点 E，F 在 l1上，点 G，H 在 l2上，试说明EGO 与FHO 面积相等；（3）如图 3，点 M在ABC 的边上，过点 M画一条平分三角形面积的直线【思路点拨】 （1）根据三角形的面积公式，只需过点 A和 BC的中点画直线即可；（2）结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明；（3）

10、结合（1）和（2）的结论进行求作【答案与解析】解：（1）取 BC的中点 D，过 A、D 画直线，则直线 AD为所求；（2）证明：l 1l 2，点 E，F 到 l2之间的距离都相等，设为 hS EGH = GHh，S FGH = GHh，S EGH =SFGH ，S EGH -SGOH =SFGH -SGOH ，EGO 的面积等于FHO 的面积；（3）解：取 BC的中点 D，连接 MD，过点 A作 ANMD 交 BC于点 N，过 M、N 画直线，则直线 MN为所求【总结升华】此题主要是根据三角形的面积公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等举一反三

11、：【变式】 （南京校级期中）有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等下面经历探索与应用的过程探索：已知：如图 1，ADBC，ABCD求证：AB=CD应用此定理进行证明求解应用一、已知：如图 2，ADBC，ADBC，AB=CD求证：B=C；应用二、已知：如图 3，ADBC，ACBD，AC=4，BD=3求：AD 与 BC两条线段的和【答案】探索：证明：如图 1，连接 AC，ADBC，DAC=BCAABCDBAC=DCA 在ABC 和CDA 中，ABCCDA（ASA） ，AB=CD；应用一：证明：如图 2，作 DEAB 交 BC于点 E，ADBC，AB=DEAB=CD，DE=CD，DEC=CDEAB，B=DEC，B=C；应用二、解：如图 3，作 DFAC 交 BC的延长线于点 FADBC，AC=DF、AD=CF，DFAC，BDF=BEC，ACBD，BDF=BEC=90，在 RtBDF 中，由勾股定理得：BF=5，故 BC+AD=BC+CF=BF=5