六年级高斯学校竞赛数论综合一含答案

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1、第 8 讲数论综合一内容概述运用已学过的数论知识，解决综合性较强的各类数论问题；学会利用简单代数式处理数论问题典型问题兴趣篇1如果某整数同时具备如下三条性质：这个数与 1 的差是质数；这个数除以 2 所得的商也是质数；这个数除以 9 所得的余数是 5那么我们称这个整数为“幸运数”，求出所有的两位幸运数2一个五位数 ，空格中的数未知，请问： 8(1)如果该数能被 72 整除，这个五位数是多少？(2)如果该数能被 55 整除，这个五位数是多少？3在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除、并且所有数字之和为 13 的数共有多少个？4一个各位数字均不为 0 的三位数能被 8 整除，将其百位数字、

2、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由 247 将得到 47、27、24） 已知这些两位数中一个是 5 的倍数，另一个是 6 的倍数，还有一个是 7 的倍数原来的三位数是多少？5 26460 的所有约数中，6 的倍数有多少个？与 6 互质的有多少个？6一个自然数 N 共有 9 个约数，而 N-1 恰有 8 个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？7一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是 111，这个自然数是多少？8有一个算式 65432l.小明在上式中把一些“”换成“” ，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？9一个两位数分别除以 7、8、

3、9，所得余数的和为 20.问：这个两位数是多少？10信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用有一天我军截获了敌军的一串密文：A3788421C，字母表示还没有被破译出来的数字如果知道密码满足如下条件：密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；三个三位数除以 12 所得到的余数是三个互不相同的质数；三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数你能破解此密文吗？拓展篇1已知 是 495 的倍数，其中 a、b、c 分别代表不同的数字请问：三位数 是73acb0 abc多少？2. 11 个连续两位数乘积的末 4 位都是 0，

4、那么这 11 个数的总和最小是多少？3有一个算式 98765432l.小明在上式中把一些“”换成“” ，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？4有 15 位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是 1 号到 15 号1 号同学写了一个自然数，2 号说：“这个数能被 2 整除” ，3 号接着说：“这个数能被 3 整除”依此下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除1 号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对，其余同学都对问：(1)说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？(2)如果 1 号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？5有 2008 盏灯，分

5、别对应编号为 1 至 2008 的 2008 个开关现在有编号为 1 至 2008 的 2008个人来按动这些开关已知第 1 个人按的开关的编号是 1 的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍） ，第 2 个人按的开关的编号是 2 的倍数，第 3 个人按的开关的编号是 3 的倍数依此做下去，第 2008 个人按的开关的编号是 2008 的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这 2008 个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？6狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 米，黄鼠狼每次跳 米，它们每秒钟都只跳442一次，在比赛道路上，从起点开始每隔 米设有一个陷阱请问：当它们之中有一个掉进8312陷阱

6、时，另一个跳了多少米？7一个偶数恰有 6 个约数不是 3 的倍数，恰有 8 个约数不是 5 的倍数请问：这个偶数是多少？8一个合数，其最大的两个约数之和为 1164.求所有满足要求的合数9已知 a 与 b 是两个正整数，且 ab请问：(1)如果它们的最小公倍数是 36，那么这两个正整数有多少种情况？(2)如果它们的最小公倍数是 120，那么这两个正整数有多少种情况？10已知 a 与 b 的最大公约数是 14，a 与 c 的最小公倍数是 350，b 与 c 的最小公倍数也是 350.满足上述条件的正整数 a、b、c 共有多少组？11已知两个连续的两位数除以 5 的余数之和是 5，除以 6 的余数

7、之和是 5，除以 7 的余数之和是 1求这两个两位数12如图 8-1，在一个圆圈上有几十个孔（不到 100 个） 小明像玩跳棋那样从 A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A 孔，他先试着每隔 2 个孔跳一步，结果只能跳到 B 孔，他又试着每隔 4 个孔跳一步，也只能跳到 B 孔最后他每隔 6 个孔跳一步，正好回到 A 孔问：这个圆圈上共有多少个孔？超越篇1有 6 个互不相同且不为 0 的自然数，其中任意 5 个数的和都是 7 的倍数，任意 4 个数的和都是 6 的倍数请问：这 6 个数的和最小是多少？2设 N= 30130220052006，请问：(1)N 的末尾

8、一共会出现多少个连续的数字“0”？(2)用 N 不断除以 12，直到结果不能被 12 整除为止，一共可以除以多少次 12？3老师告诉贝贝和晶晶一个小于 5000 的四位数，这个四位数是 5 的倍数贝贝计算出它与5！的最小公倍数，晶晶计算出它与 10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的 5 倍锖问：这个四位数是多少？4一个正整数，它分别加上 75 和 48 以后都不是 120 的倍数，但这两个和的乘积却能被 120整除这个正整数最小是多少？5a、b、c 是三个非零自然数a 和 b 的最小公倍数是 300，c 和 a、c 和 b 的最大公约数都是20，且 abc请问：满足条件的 a、

9、b、c 共有多少组？6有一类三位数，它们除以 2、3、4、5、6 所得到的余数互不相同（可以含 0） 这样的三位数中最小的三个是多少？7有一个自然数除以 15、17、19 所得到的商与余数之和都相等，并且商和余数都大于 1，那么这个自然数是多少？8有 4 个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的 3 个数整除，请写出这 4 个数，第 8 讲 ： 数 论 综 合 一兴 趣 篇1. 如果某整数同时具备 如下 三个性质 ： 这个数与 1 的差是质数 ； 这个数除以 2 所得的商 也是质数 ； 这个数除以 9 所得的余 数是 5。 那么我们称这个整数 为 “幸运数 ”。 求出

10、所有的 两位 幸运数 。【 答案 】 14【分析 】方法一 ：从条 件 入手 ，则 概数应 为 5、14、23,而该 数 为 2 的 倍数 ，所以 应为 偶 数 ， 所以应 为 14、32、 50、68、86 中的 一组 ，满 足条 件的只 有1 个 ，14。方法二 ：题目 给出了 所谓 幸运数 具备 的三 个条 件 ，要求的 是所 有的 两位 幸运 数 这就 使求 解 的范围 缩小 在两 位数 之内 可 以先 从条 件 入 手， 再利用 条件 和 ，最终 求出所 有的 两位幸运数 设所求 的幸 运数 是质 数 p 的两 倍 ，即此 幸运 数为2 p 则 p 的 所有可 能取 值 为 5、7、

11、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47于是2 p 1 的所有 可能 取值 为 9、13、21、25、33、37、45、57、61、73、81、85、93根据 条件 ，2 p 1 应为质 数 ，因 此 2 p 1 只可能 为 13、37、61 或 73再 由条 件 知 2 p 1 除以 9 所 得余 数 应为 4，于 是2 p 1 只能等 于 13，从而 这个 幸运 数只 能是 2 p 14 2. 一个五位数 825 ， 空格中的 数 未知 。 请问 ：（ 1） 如 果该数能被 72 整除 ， 这个五位数是多 少 ？（ 2） 如果该数能被 55 整除 ， 这个五位数是多

12、 少 ？【 答案 】 （ 1） 86256（ 2） 85250【分析 （1）从8 ，9 整 除 特征考 虑 ，8 需 要个 位填6 ；9 千 位填 6。（2）从5 ，11 的 特征考 虑 ，5 个 位填5 或0 ，当个位 为 5 时 ，该数 为 8a255，奇数位 数字 和为 ：15；偶 数位数 字和 为 ：a 5 ，则 不 符 合 情况 ；当个位 为 0 时 ，该数 为 8a250，奇数位 数字 之和 为 ：10，偶数位 数字 之和 为a 5 ，则 千 位 可填5。3. 在小于500 0 的自然数中 ， 能被 11 整除 、 并且所有数 字之和为13 的数共有多少 个 ？【 答案 】 18

13、个【分析 】令 为 abcd ，数位 不够 高位 补0 ，和为 奇数 有 (a c) (b d ) 11 ，且a b c d 13a c 12 ，b d 1 7 2=14 个 (b d ) (a c ) 11，且a c b d 13b d 12 ，a c 1共28 个7 2=14 个4. 一个各位数字均不为 0 的 三位数能被 8 整除 ， 将其 百位数字 、 十位数字 和个 位数字分 别划去后可以得到三 个两 位数 （ 例如 ， 按此方法由 247 将得到4 7、 27、 24。 已知这些两位数中一个是 5 的倍数 ， 另 一个是 6 的倍数 ， 还 有一个是 7 的倍数 ， 原来 的三位数

14、 是多少 ？【 答案 】 656【 分析 】 有 个5 ， 5 作十 位 考虑7 的倍 数 ： 56 656考虑6 的倍 数 ： 54 154只有6 56 是8 的 倍数 。5、 26460 的所 有 的 约数 中 ， 6 的 倍数 有多 少个 ？ 与6 互质 的有 多少 个 ？【 答案 】 36 个 ； 6 个【 分析 】 264606=4410=23 257 2 约数 个数 （ 1+1（ 2+1（ 1+1（ 2+1） =3626460 除去 2 与3 的 因数 ， 剩 下 为5 72 ， 约数 个 数 6 个 ， 这6 个 均 与6 互 质。6、 一 个自 然数N 共有 9 个 约数 ，

15、而N 1恰有 8 个约 数 。 满足条 件的 自然 数 中 ， 最 小的 和 第二小 的分 别是 多少 ？【 答案 】 196， 256【 分析 】 9=33 8=24=222考虑 到N 是个 完全 平方 数 ， 从最 小的 平方 数开 始尝 试 。7、 一 个自 然数 ， 它 最大 的 约数 和 次大 的约 数之 和 是 111， 这 个自 然数 是多 少 ？【 答案 】 74【 分析 】 最 大约 数就 是本 身 ， 是 次大 约数 的倍 数 。 所以1 11 是次 大约 数的 倍 数 。111=337， 次 大约 数为1 ， 3， 37 三 种， 尝试 得为3 7。111-37=748、

16、 有一 个算 式 6543 2 1。 小明 在上式 中把 一些 “”换 成“ ”， 计 算结果 还是 自然数 ， 那 么这 个自 然数 最小是 多少？【 答案 】 5【 分析 】 65 4321=59、 一 个两 位数 分别 处以7 、 8、 9， 所 得余 数的 和 为20 。 问 ： 这 个两 位数 是多 少 ？【 答案 】 62【 分析 】 20=8+7+5=7+7+6=8+6+6余数分 布 就3 种 情况 ， 只 有第3 种有 两位 数满 足 。10、 信息 在战 争中是 非常 重要的 ， 它常 以密文 的方 式传送 。 对方 能获取 密文 却很难 知道 破 译 密文的 密码 ， 这样

17、 就达 到保 密的作 用 。 有 一天 我军 截获 了敌军 的一 串密 文 ： A378B421C ， 字母表 示还 没有 被破 译出 来的数 字 。 如果 知道 密码 满足如 下条 件： 密文 由三 个三 位数 连在 一起组 成， 每个 三位 数的 三个数 字互 不相 同； 三个 三位 数除 以1 2 所 得 到的余 数是 三个 互不 相同 且不全 是奇 数 。 三个 字母 表示 的数 字互 不相同 且不 全是 奇数 。你能破 解此 密文 吗 ？【 答案 】 437854219【 分析 】 8B4 余 数 必为 2， 得 B=5； C 是奇 数 ， 所以 A 是 偶数 。21C 9C (mo

18、d12) C=9 余3 或C =1 余7 （ 重复 数字 ）A37 A01 (mod12) A=2 余9 ； A=4 余5 ； A=6 余 1； A=8 余9拓展篇1、 已 知 3a7 b0c 是 495 的倍 数 ， 其 中 a 、 b 、 c 分别代 表不 同的 数 字 。 请问 ： 三 位数 abc 是 多少 ？【 答案 】 865【 分析 】 495=5911， 特征考 虑 ， b 0c 是5 和1 1 的 倍 数 。 所以b =6 ， c=5，3 a7 是 9 倍数 。 a=8。2、 11 个 连续 两位 数乘 积 的末 4 位都 是0 ， 那 么这 11 个数 的总 和最 小是 多

19、少 ？【 答案 】 220【 分析 】 11 个连 续两 位数 ， 至 多 3 个 5 的倍 数 ， 那 么还 有 1 个 25 的倍 数 。 把 25 放 最后 一 个是最 小 ， 这八 个数 为1 5 25。3、 有 一个 算式 9876 5432 1。 小明 在上式 中把 一些 “”换 成“ ”， 计 算 结果还 是自 然数 ， 那 么这 个自然 数最 小是 多少？【 答案 】 70【 分析 】 7 和 5 前面 的没 法改 ， 2 的 因子 个数 奇数 个 ， 除 不完 。4、 有 15 位同 学 ， 每位 同 学都有 个编 号 ， 他们 的编 号是 1 号 到 15 号 。 1 号

20、同 学写了 一个 自 然数 ， 2 号 说“ 这个 数能 被他的 编号 数整 除。 1 号 一一作 了验 证 ： 只有 两个 同学 （ 他们 的编号 是连 续的 ） 说 得不 对 ， 其 余同 学都 对 。 问 ：（ 1） 说的 不对 的两 位同 学 他们 的 编号 是哪 两个 连续 的自然 数 ？（ 2） 如果 1 号 同学 写的 自 然数是 一个 五位 数 ， 那么 这个自 然数 为多 少 ？【 答案 】 （ 1） 出 错的 是8 号和 9 号同 学 （ 2） 60060【 分析 】 （ 1） 都 列出 后发 现 ， 肯 定 是1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 10， 12， 1

21、4， 15 的倍 数 。（ 2） 600605、 有2008 盏灯 ， 分 别对 应 编号 为1 至200 8 的2008 个开关 。 现 在有 编号 为1 至200 8 的200 8 个人 来 按动 这些 开关 。 已 知第1 个人 按的 开关 的编 号是 1 的倍 数 （ 也就 是说 他把所 有的 开 关都按 了一 遍 ， 第 2 个 人按的 开关 的编 号 是 2 的 倍数 ， 第 3 个人 按的 开关 的编号 是 3 的倍数 依此 做下 去 ， 第2008 个人 按的 开关 的编 号是 2008 的 倍数 。 如 果刚 开始的 时候 ， 灯 全是 亮着 的 ， 那么 这200 8 个

22、人按 完后 ， 还 有 多少盏 灯是 亮着 的 ？【 答案 】 1964 盏【 分析 】 约数 个数 为奇 数个 的灯灭 了， 所 以完 全平 方数 都灭了 。 剩下 的为 亮的 ， 2008-44=19646、 狐 狸和 黄鼠 狼进 行跳 跃 比赛 ， 狐 狸每 次跳 4 1 米 ， 黄 鼠狼 每 次跳 2 3 米 ， 它们 每秒 钟都只2 4跳一 次 。 在 比 赛道 路 上 ， 从起点 开 始 每 隔 12 3 米设有一 个陷阱 。 请问 ： 当它 们之 中有一8个掉进 陷阱 时 ， 另一 个跳 了多少 米 ？【 答案 】 40.5 米【 分析 】 9 , 99 99 狐 狸跳1 1 次

23、掉 进 2 8 21 1 99 99 9 黄先掉 ， 狐 狸跳 2 9=40.5 米 。 ， = 黄鼠 狼跳 9 次 掉 进 4 8 47、 一个偶 数恰 有6 个约 数不 是3 的 倍数 ， 恰有8 个约 数不 是5 的 倍数 。 请 问： 当它们 之中有一个 掉进 陷阱 时 ， 另一 个跳了 多少 米 ？【 答案 】 1350【 分析 】 这 个偶 数 含2 ， 3 ， 5 的 因子 ， 分 别设 为 a、 b、 c 个 。不是3 的倍 数有 （ a+1） （ c+1） 个 ， 显 然无法 有 别的 质 因子 ， a 1 c 1 6 a 1 b 1 8 a 1 2 c 1 3 b 1 4a

24、 1c 2b 3原数 为2 3 352=13508、 一 个合 数 ， 其最 大的 两 个约数 之和 为1 164。 求 所 有满足 要求 的合 数 。【 答案 】 776、 873、 1067【 分析 】 最 大约 数为 本身 ， 是次 大约 数的 倍数 ， 1164 是次 大的 倍数 。 1164=22397次大 为9 7， 原数 9711=1067 次大 为9 72， 原数 1945=970 次大 为9 73， 原数 9733=873 次大 为9 74， 原数 9742=776 9、 已 知 a 与b 是两 个正 整 数 ， 且a b。 请问 ：（ 1） 如果 它们 的最 小公 倍 数是

25、 36， 那么 这两 个正 整 数有多 少种 情况？（ 2） 如果 它们 的最 小公 倍 数是 120， 那么 这两 个正 整数有 多少 种情 况？【 答案 】 （ 1） 12 种 （ 2） 31 种36=22 3 2a 36, 8种 a 18 2种 12种a 12 1种 a 9 ,1种 除（ 2） 120=2335a 120 15种 a 60 3 种 a 40 6 种a 30 2 种 31种a 24 4 种a 15 1 种10、 已知a 与 b 的最大公约数是 14， a 与c 的最小公倍数是 350， b 与c 的最小公倍数也是350。 满足上述条件的正整 数 a、 b、 c 共有多少组

26、？【 答案 】 20 组a、 b 均为 14 的 倍数 。350=1425 a 、 b 只 能是 14 的1 ， 5 或2 5 倍 。 a=2514 b=14c=25 或5 0 或25 7 或2 514 4 种 a=5 14 b =14c=25 或5 0 或25 7 或2 514 4 种 a=14， b =14c=25 或5 0 或25 7 或2 514 4 种 b=145 a =14 同 4 种 b=1425 a=14 同 4 种 共20 组 。11、 已知 两个 连续 的两 位 数除 以 5 的余数 之和 是 5， 余 数 6 的余数 之和 是5 ， 除 以7 的余数 之和 是1 。 求这

27、 两个 两位 数 。【 答案 】 77 和7 8除 以 71【 分析 】 大数 以 6 3 太 大除 以 5 3除 以 71 大数 除 以 6 0 78除 以 5 312、 如 图， 在 一个 圆圈 上 有几十 个孔 （ 不 到1 00 个 。 小明 像玩 跳棋 那样 从A 孔出发 沿着 逆 时针方 向 ， 每隔 几个 孔跳 一步 ， 希望 一圈 以后 能跳 回到 A 孔 。 他 先试 着每 隔 2 个 孔跳一步 ， 结果 只能 跳到 B 孔 。 他 又 试着 每隔 4 个 孔跳 一步 ， 也只 能跳 到 B 孔 。 最后 ， 他 每隔6 个孔 跳一 步 ， 正好 回到 A 孔 。 问 ： 这

28、个圆 圈 上共有 多少 个孔 ？除【 答案 】 91 个除 以 3 1【 分析 】 以 5 1 91除 以 7 0超越篇1、 有6 个 不相 同且 不为0 的自然 数 ， 其中 任 意5 个 数的和 都 是 7 的 倍数 ， 任 意 4 个 数的 和 都是 6 的倍 数 。 请问 ： 这6 个数 的和 最小 是多 少 ？【 答案 】 756【 分析 】 必 然对 于7 和6 均同余 都 是7 的 倍数 ， 除 以 6 余0 或3 。 最小2 1， 21+42， 21+422， ， 21+425， 和 7562、 设N =301 30220052006， 请 问：（ 1） N 的末 尾一 共会

29、出现 多少个 连续 的数 字“ 0”？（ 2） 用N 不 断除 以 12， 知道结 果不 能 被12 整除 为 止 ， 一 共可 以除 以多 少 次 12？【 答案 】 （ 1） 426 个 （ 2） 850 次【 分析 】（ 1） 1 2006 末 尾 0 的 个数 2006 2006 2006 2006 =401 80 16 3=500 5 25 125 6251 300 末尾 0 的 个数 300 300 300 =60 12 2=74 5 25 125 500-74=426 个 （ 2） 12=223 按 照（ 1） 中算 法 ， N 中含 2， 1702 个 含3 ， 850 个 2

30、 还 富余2 个3、 老 师告 诉贝 贝和 晶晶 一 个小 于 5000 的 四位 数 。 这 个四位 数 是 5 的 倍数 。 贝 贝计算 出它 的5 ！ 的最 小公倍 数 ， 晶 晶计 算出它 的 10！ 的最 大公约 数 ， 结果 发现 贝贝的 计算 结果恰 好 是晶晶 的 5 倍 。 请问 ： 这 个四位 数是 多少 ？【 答案 】 3000【 分析 】 由5 倍 得四 位数 含3 个5 的 因子 ， 并 且 5！ 含全 部因 子它 都有 。24125=3000， 因 为小 于5000 ， 只有 一个 。4、 一个 正整 数 ， 它分 别加 上 75 和48 以后 都不 是1 20 的

31、倍 数 ， 但 这两 个和 的乘 积却能 被1 20整除 。 这个 正整 数最 小是 多少 ？ 最 小【 答案 】 117【 分析 】 120=233 5， 因为7 5 和48 都 是3 的倍 数 ， 所 以此 数必 为 3 的倍 数 。 A+75 是5 的倍 数 A最 小 120A+48 是8 的 倍数 A+75 是8 的倍 数 A 117A+48 是5 的 倍数 5、 a、 b、 c 是 三个 非零 自 然数 。 a 和b 的 最小 公倍 数是3 00， c 和a 、 c 和b 的最大 公约 数都 是2 0， 且a b c。 请问 ： 满 足 条件 的a 、 b、 c 共 有多少 组 ？【

32、 答案 】 8 组【 分析 】 8 组30020=15 a=300， b=100，c 可以 是2 0 的1 倍 ， 2 倍 ， 4 倍 3 种 a=300， b=60c 是2 0 的1 倍 ， 2 倍 ， 4 倍 3 种 （ 这 里原 先 给的解 析应 该少 了4 倍的 ） a=100， b=60c 是2 0 的1 倍 ， 2 倍 2 种6、 有 一类 三位 数 ， 它 们除 以 2、 3 、 4、 5 、 6 所 得到 的余数 互不 相同 （ 可以 含0 。 这样 的三 位数中 最小 的三 个是 多少 ？【 答案 】 118、 119、 155【 分析 】 2， 3， 4， 5 ， 6=60

33、 120 1=119 ， 119 和1 18 满足 条件 。 2余 0 6 余 4 3余 14余 2 5余 3 最小1 18， 次小 118+60=178。 2余 1 6 余 5 3余 2 4余 3 5余 0 或 4最小1 19， 115。 2余 1 6 余 3 3余 0 4余 3 5余 4余 数重 复 。7、 有 一个 自然 数除 以 12、 17、 19 所得 到的 商与 余 数之和 都相 等 ， 并且 商和 余数都 大 于1 ，那么这 个自 然数 是多 少 ？【 答案 】 1082【 分析 】 所 有商 均不 一样 ， 余数 也不 一样 ， 先 看 15 和17 ， 135 以上 商才

34、有区 别 。 商 是 15的大 ， 所以 余数 要1 7 的 大。 设 k=15a +b=17c+d=19e+f=14a+(a+b)=16c+(c+d)=18e+(e+f) 14a=16c=18e a:c:e=72:63:561572=10801080+2=10828、 有 4 个互 不相 同的 三位 数 ， 它 们的 首位 数字 相同 ， 并且 它们 的和 能被 它们 之中的3 个 数整除 。 请写 出 这4 个 数。【 答案 】 108、 117、 135、 180【 分析 】 设 为a 、 b、 c、 d， 和 是a 、 b、 c 的倍 数 ， 且a b c。 和 =5a=4b=3c a:b:c=12:15:208 份 100， 1 份 12， a=108， b=135， c=180， d=117。 和 =6a=5b=4 c a :b :c=20:24:3010 份 100， 1 份 9 ， 无解 。