人教版初一（上）数学第8讲：一元一次方程的应用（教师版）

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1、一元一次方程的应用_1、通过观察、归纳得出等数学模型的思想。2、通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实中的相等关系,体会代数方法的优越性。3、能够“找出实际问题中的已知数和求知数，分析它们之间的关系，高级求知数，列出方程表示问题中的相等立关系”，体会建立一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。4、通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。1.利息问题：本金利率年数=利息，本金+利息=本息和，利息税=_税率2.行程问题：速度_=路程 （1

2、）相遇问题（2）追击问题（3）距中点问题（4）环形跑道问题 3.行船问题：船速：船在静水中的速度水速：河流中水流动的速度顺水船速：船在顺水航行时的速度顺水速度=船速+_逆水速度：船在逆水航行时的速度逆水速度=船速-水速4.工程问题：工作总量=_工作时间5.年龄问题6.比赛积分问题7.和差倍分问题（生产、做工等各类问题）8.数字问题9.列方程解应用题的一般步骤是：（1）“找”：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的_；（2）“设”：用字母（例如 x）表示问题的_；（3）“列”：用字母的代数式表示相关的量，根据_列出方程；（4）“解”：解方程；（5）“验”：检查求得的值是否正确和符合实际情形

3、，并写出答（6）“答”：答出题目中所问的问题。参考答案1.利息2.时间3.水速 水速4.工作效率9.数量关系 量 等量关系1.利息问题：本金利率年数=利息，本金+利息=本息和，利息税=利息税率【例 1】王大伯 3 年前把手头一笔钱作为 3 年定期存款存入银行,年利率为 5%.到期后得到本息共 23000 元,问当年王大伯存入银行多少钱?【解析】设当年王大伯存入银行 X 元,年利率为 5%,存期 3 年,所以 3 年的利息为35%x 元.3 年到期后的本息共为 23 000 元。根据题意得 x+35%x=23 000解方程得 x=20 000答:当年王大伯存入银行 20 000 元。练 1.某同

4、学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7 元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）【解析】设年利率为 X，则半年利率为 x/2根据题意有：250（1+X/2）=252.7解之得 X=0.0216即 2.16%，半年期的年利率是 2.16%。练 2.小刚把压岁钱按定期一年存入银行，若一年定期存款的年利率为 4.14，利息税的税率为 5 ，到期支取时，扣除利息税后，小刚本利和为 519.665 元，问小刚存入银行的压岁钱有多少元？【解析】储蓄问题答案：设小刚存入银行的压岁钱为 X 元。由题意列方程得：X4.14%95%+X=519.6651.03933X=

5、519.665X=500答：小明存入银行的压岁钱有 500 元2.利润赢亏问题 商品利润=商品售价商品进价=商品标价折扣率商品进价商品利润率=商品利润/商品进价 商品售价=商品标价折扣率【例 2】一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？【解析】盈亏问题答案：设进价为 X 元依题意得：X(1+40%)80%-X=15解方程得 X=75练 3.某商店促销某种品牌彩电，2008 年元旦那天购买该彩电可分两期付款，在购买时先付一笔款，余下的部分及它的利息（年利率为 6%）在 2009 年元旦付清，该彩电售价是每台 6592

6、元，若两次付款相同，那每次应付款多少元？【解析】销售问题答案：设每次 x 元 第一笔就是 x 元， 第二笔就是 x(1+6%)依题意列方程：x+1.068x=6592 x3187.63.工程问题【例 3】一项工程，甲单独做要 10 天完成，乙单独做要 15 天完成，甲单独做 5 天,然后甲、乙合作完成，共得到 1000 元，如果按照每人完成工作量计算报酬，那么甲、乙两人该如何分配？【解析】此题注意的问题是报酬分配的根据是他们各自的工作量。所以甲、乙两人各得到 800 元、200 元.解:设甲乙合作了 x 天.甲的工作效率:1/10 乙的工作效率:1/15列方程:1/10*5+x(1/10+1/

7、15)=1解得:x=3甲:1000*1/10*(5+3)=800 元 乙:1000*(1/15*3)=200 元练 4.某车间 22 名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉 1200 个或螺母 2000 个，一个螺钉要配两个螺母,为了使每天生产的产品刚好配套,应该分配多少名工人生产螺钉 ,多少工人生产螺母？【解析】本题的配套关系是：一个螺钉配两个螺母，即螺钉数：螺母数=1：2。解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22x)名工人生产螺母.依题意得： 2 000(22x)21 200x .解方程，得：5(22x)6x， 1105x6x，x10.22x12答：应安排 10 名工人生产螺钉，12

8、名工人生产螺母【例 4】整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成.现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2 人与他们一起做 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应该安排多少人工作？【解析】把总重量设为 1，则人均效率(一个人做 1 h 完成的工作量)为由 x 人先做 4 h,完成的工作量为再增加 2 人和前一部分人一起做 8 h,完成的工作量为这项工作分两段完成任务,两段完成任务的工作量之和为解：设安排 x 人先做 4 h.依题意得：48(2)10x解方程，得：4x8(x2)40， 4x8x1640，12x24，x2.答：应先安排 2 人做 4 h.练 5.一套仪器由一个

9、 A 部件和三个 B 部件构成. 用 1 m3钢材可以做 40 个 A 部件或 240个 B 部件. 现要用 6 m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，多少钢材做 B 部件，恰好配成这种仪器多少套？【解析】配套问题解：设应用 Xm钢材做 A 部件，则用(6-x）m钢材做 B 部件。3x40x=240（6-x）120x=1440-240X120x240x=1440360x=1440x=4 A 部件用4m6-4=2mB 部件用 2m440=160 个 2240=480 个 480160=3 答：恰好配成这种仪器 160 套。【例 5】一条地下管线由甲工程队单独铺设需要 12 天，由乙工程

10、队单独铺设需要 24 天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？【解析】简单的工程问题，功效之和乘以工作时间等于工总。解：设工作时间为 x 天则 X/12+X/24=1 解方程 X=8答：如果由这两个工程队从两端同时施工，要 8 天可以铺好这条管线。练 6.一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？【解析】单位“1”减去甲乙合作的就是剩下的由单独做的。解：设乙还要 X 天才完成全部工程，则： + + =1 3152x=1- - =1-0.2-0.2512x=0.

11、55 =0.5512 x=6.6 7 答：乙还要 7 天才能完成全部工程。【例 6】一个装满水的内部长、宽、高分别为 300 毫米，300 毫米和 80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为 200 毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到 0.1 毫米， 3.14）【解析】此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为： 形状面积变了，周长没变；原料体积成品体积。解：设圆柱形水桶的高为 x 毫米，依题意，得 （ ） 2x=300300800x229.3答：圆柱形水桶的高约为 229.3

12、 毫米练 7.长方体甲的长、宽、高分别为 260mm，150mm，325mm，长方体乙的底面积为130130mm2，又知甲的体积是乙的体积的 2.5 倍，求乙的高？【解析】“等积”解：设乙的高为 xm,根 据 题 意 得2601532.103xx解 得答：乙的高为 300mm。4.行程问题练 8.甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。 （1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同

13、向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？【解析】此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。（1）分析：相遇问题，画图表示为： 甲 乙 等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480 公里。 解：设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480 解这个方程，230x=390 ,2316x答：快车开出 小时两车相遇2316（2）分析：相背而行，画图表示为：60 甲 乙 等量

14、关系是：两车所走的路程和+480 公里=600 公里。解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120 x= 231答： 小时后两车相距 600 公里。 （3）分析：等量关系为：快车所走路程慢车所走路程+480 公里=600 公里。 解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，(14090)x+480=600 50x=120 x=2.4 答：2.4 小时后两车相距 600 公里。 （4）分析：追及问题，画图表示为：甲 乙 等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480 公里。 解：设 x 小时后快车追上慢车。 由题意得，1

15、40x=90x+480 解这个方程，50x=480 x=9.6答：9.6 小时后快车追上慢车。（5）分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480 公里。解：设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480 50x=570 x=11.4 答：快车开出 11.4 小时后追上慢车。练 9.（2017 永城第一中学月考）甲乙两人在同一道路上从相距 5 千米的 A、B 两地同向而行，甲的速度为 5 千米/小时，乙的速度为 3 千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为 15 千米/小时

16、，求此过程中，狗跑的总路程是多少？【解析】追击问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。狗跑的总路程=它的速度时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间。解：设甲用 X 小时追上乙，根据题意列方程5X=3X+5 解得 X=2.5，狗的总路程：152.5=37.5答：狗的总路程是 37.5 千米。练 10.某船从 A 地顺流而下到达 B 地，然后逆流返回，到达 A、B 两地之间的 C 地，一共航行了 7 小时，已知此船在静水中的速度为 8 千米/时，水流速度为 2 千米/时。A、C 两地之间的路程为 10 千米，求 A、B 两地之间的路程。 【解析】属于行船问题，这类问题中

17、要弄清：（1）顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；（2）逆水速度=船在静水中的速度水流速度。相等关系为：顺流航行的时间+逆流航行的时间=7 小时。 解：设 A、B 两码头之间的航程为 x 千米，则 B、C 间的航程为(x-10)千米， 由题意得，107283.5x解 这 个 方 程 得答：A、B 两地之间的路程为 32.5 千米。 练 11.有一火车以每分钟 600 米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多 5 秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的 2 倍短 50 米，试求各铁桥的长【解析】火车过桥问题解：设第一铁桥的长为 x 米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过

18、完第一铁桥所需的时间为 分过完第二铁桥所需的时间为 分依题意，可列出方程60x2506x+ = 解方程 x+50=2x-50 得 x=100522x-50=2100-50=150答：第一铁桥长 100 米，第二铁桥长 150 米练 12.（2018 北京文汇第一学期月考）已知甲、乙两地相距 120 千米，乙的速度比甲每小时快 1 千米，甲先从 A 地出发 2 小时后，乙从 B 地出发，与甲相向而行经过 10 小时后相遇，求甲乙的速度？【解析】设甲的速度为 x 千米/小时，则乙的速度为（x+1）千米/小时,依题意得，210()120x5x乙的速度为： 16答：甲的速度为 5 千米/小时，乙的速度

19、为 6 千米/小时。1、甲、乙两人相距 60 米，相向而行，甲从 A 地每秒走 3 米，乙从 B 地每秒走 2 米，如果甲 先走 10 米，那么几秒后两人相遇？ 2、甲、乙两人相距 60 米，相向而行，甲从 A 地每秒走 3 米，乙从 B 地每秒走 2 米，那么几 秒后两人相距 20 米？ 3、 甲、乙两人骑自行车同时从相距 65 千米的两地相向而行，小时后相遇。已知甲骑车 每小时比乙每小时多走 2 千米，求甲，乙两人的速度。4、（2017 北京 14 中月考）甲、乙两人同时同地同向而行，甲的速度是 4 千米/小时，乙的 速度比甲慢，半小时后，甲调头往回走，再走 10 分钟与乙相遇，求乙的速度

20、。5、甲、乙两人在相距 18 千米的两地同时出发，相向而行，1 小时 48 分相遇，如果甲比乙 早出发 40 分钟，那么在乙出发 1 小时 30 分时两人相遇，求甲、乙两人的速度。6、甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑 7 米，乙每秒跑 6.5 米，甲让乙先跑 5 米然后奋力去追， 求几秒后甲追上乙？ 7、（2018 盐城一中期末）甲乙两人在 400 米的环形跑道上跑步，从同一起点同时出发，甲 的速度是 5 米/秒，乙的速度是 3 米/秒。（1）如果背向而行，两人多久第一次相遇？（2）如果同向而行，两人多久第一次相遇？8、甲、乙两人分别从相距 140 千米的 A，B 两地同时出发，甲的速度为 40

21、千米/小时，乙的 速度为 20 千米/小时（1）若相向而行，经过多少小时两人相距 20 千米？（2）如果同向而行，经过多少小时两人相距 20 千米？9、（2017 北京 161 中学月考）休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了 1小时 后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时 6 千米的速度去追， 如果我和妈妈每小时行 2 千米，从家里到外婆家需要 1 小时 45 分钟，问爸爸能在我和 妈妈到外婆家之前追上我们吗？_10.某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需 16 天，乙队单独完成需 12 天。如先由甲队 做 4 天，然后两队合做，问再做几天后可完成工程的六分之五？

22、11. 某件文件需要打印，小李独立完成需要 6 个小时，小王独立完成需要 8 个小时，如果两 人合作的话，需要多少时间可以完成。 12. （2018 北京铁二中学月考）一项工作甲工程队单独施工需要 30 天才能完成，乙队单独 需要 20 天才能完成。现在由甲队单独工作 5 天之后，剩下的工作再由两队合作完成， 问他们需要合作多少天？13、一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 10 天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的 部分由甲独做，先后共花 12 天完成，问乙做了几天？14、理一批图书，由一个人做要 40 小时完成。现计划由一部分人先做 4 小时，再增加 2人 和他们一起做 8 小时，完

23、成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人 工作。15.某车间加工 30 个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半 完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做 1 个零件，问甲工人每天能做几个零件？原计 划几天完成？16.整理一批数据，由一个人做需 80 小时完成任务。现在计划由一些人先做 2 小时，再增加 5 人做 8 小时，完成任务这项工作的 3/4。怎样安排参与整理数据的具体人数？17.某中学的学生自己动手整修操场，如果让初一学生单独工作，需要 7.5 小时完成；如果 让初二学生单独工作，需要 5 小时完成。如果让初一、初二学生一起工作 1 小时，再由 初二

24、学生单独完成剩余部分，共需几小时完成？18.甲车队有 50 辆汽车，乙车队有 41 辆汽车，如果要使乙队汽车数比甲队汽车数的 2 倍还 多 1 辆，应从甲队调多少辆到乙车队？19.甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调12人到乙队后，甲队剩下来的人数是原乙队人数的 一半还多15人。求甲、乙两队原有人数各多少人？20.甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车 间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲 乙车间的人数。21.学校分配学生住宿，如果每室住 8 人，还少 12 个床位，如果每室住 9 人，则空出两个房 间。求房间

25、的个数和学生的人数。22.学校春游，如果每辆汽车坐 45 人，则有 28 人没有上车；如果每辆坐 50 人，则空出一辆 汽车，并且有一辆车还可以坐 12 人，问共有多少学生，多少汽车？23.小明看书若干日，若每日读书 32 页，尚余 31 页；若每日读 36 页，则最后一日需要读 39 页，才能读完，求书的页数。24.一份试卷共有 25 道题，每道题都给出了 4 个答案，其中只有一个正确答案，每道题选对 得 4 分，不选或错选倒扣 1 分，如果一个学生得 90 分，那么他做对了多少道题。25.在全国足球甲级 A 组的前 11 场比赛中，某队保持连续不败，共积 23 分，按比赛规则，胜一场得 3

26、 分，平一场得 1 分，那么该队共胜了多少场？ 26.有一个三位数，个位数字为百位数字的 2 倍，十位数字比百位数字大 1，若将 此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的 2 倍少 49，求原数。参考答案当堂检测1.10秒2.8秒3.甲：17.25km/h;乙：15.25km/h4.2km/h5.甲：4.5km/h;乙：5.5km/h6.10秒7.50秒，200秒8.2小时，6小时9.1 小时 45 分钟=1.75 小时小明家到外婆家的距离:1.75*2=3.5 千米小明到外婆家还需要的时间:1.75-1=0.75 小时 0.75 小时爸爸能走的路程:0.75*6=4.5 千米 4.53.5 所以能追上家庭作业10.4天11.24/7小时12.10天13.8天14.2人15.4个 7.5天16.设先有X人做两个小时。后来有X+5人做。则由题意，一个人每小时完成1/80 列式为：2X/80+8（X+5）/80=3/4 （10X+40）/80=60/80 X=2 开始为 2人 后来为7人17.13/3小时或4小时20分18.20辆19.甲：36人；乙：18人20.甲380人；乙：180人21.252人；30个房间22.18辆；838人23.255页24.23道25.6胜5平26.346