人教版初一（上）数学第13讲：平行线的性质（教师版）

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1、1平行线的性质_1.理解平行线的概念；2.掌握平行线的公理及其推论；3.能熟练掌握平行线的应用.1平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“” 表示，如“ABCD”，读作“AB平行于 CD”。同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：_。注意：（1 ）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。（2 ）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。2.平行线公理及其推论2平行公理：经过直线外一点，_一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。3.平行线的性质（1 ）两直线平行，_相等。（2 ）两直线平行，_相等。（3

2、）两直线平行，_互补。【答案】1.相交或平行2.有且只有3.(1)同位角(2)内错角(3)同旁内角1.平行线的性质【例 1】 （2017辽宁阜新一中期中） （第 8 题，3 分）如图，直线 ab，被直线 c 所截，已知1=70，那么 2 的度数为 【解析】 先根据平行线的性质求出3 的度数，再由补角的定义即可得出结论解： 直线 ab，被直线 c 所截，1=70，3=1=70，2=1803=18070=110【答案】110 3【例 2】如图，把矩形 沿 对折后使两部分重合，若 ，则 =（ ）A110 B115 C120 D130【解析】对折前后图形对应角相等，再利用平行线的性质，两直线平行，同旁

3、内角互补即可求出 AEF.解：1=50BFE= 21(180-1)=65ADBCAEF+BFE=180AEF=115【答案】B【例 3】如图，ABCD，EF 与 AB、CD 分别相交于点 E、F，EP EF，与 EFD 的平分线 FP 相交于点 P，且BEP=50，则EPF=（ ）度A 70 B 65 C 60 D 554【解析】先由垂直的定义，求出PEF=90 ，然后由BEP=50，进而可求BEF=140 ，然后根据两直线平行同旁内角互补，求出EFD 的度数，然后根据角平分线的定义可求 EFP 的度数，然后根据三角形内角和定理即可求出 EPF 的度数解：如图所示，EPEF，PEF=90，BE

4、P=50，BEF=BEP+PEF=140，ABCD，BEF+EFD=180，EFD=40，FP 平分 EFD， =20，PEF+EFP+EPF=180，EPF=70【答案】A练习 1.（2017宁德）如图，将直线 l1 沿着 AB 的方向平移得到直线 l2，若1=50，则2 的度数是（ ）A40 B 50 C 90 D 1305【解析】根据平移的性质得出 l1l2，进而得出2 的度数解： 将直线 l1 沿着 AB 的方向平移得到直线 l2，l1l2，1=50，2 的度数是 50【答案】B练习 2.（2017 湖南邵阳中学期中）将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知 1=30，则 2的大小是（

5、）A 30 B 45 C 60 D 65【解析】 先根据两角互余的性质求出3 的度数，再由平行线的性质即可得出结论解：1+3=90，1=30，3=60直尺的两边互相平行，2=3=60【答案】C练习 3.（2017 湖北荆州中考）如图，直线 l1l2，直线 l3 与 l1，l 2 分别交于 A，B 两点，若1=70，则 2=（ ）A 70 B 80 C 110 D 1206【解析】 根据平行线的性质求出3= 1=70，即可求出答案解：直线 l1l2，1=70，3=1=70，2=1803=110，【答案】C练习 4.（2017 广东佛山）如图，在 ABC 中，点 D、E、F 分别是三条边上的点，E

6、FAC， DFAB， B=45，C=60则EFD=（ ）A80 B 75 C 70 D 65【解析】 根据 EFAC，求出 EFB=C=60，再根据 DFAB，求出DFC=B=45，从而求出EFD=1806045=75解： EFAC，EFB=C=60，DFAB，DFC=B=45，EFD=1806045=75，7【答案】B练习 5.（2017四川凉山州中考）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当2=38时， 1=（ ）A52 B38 C42 D60【答案】A练习 6.如图，在ABC 中，C 90若 BDAE， DBC 20，则CAE 的度数是A40B60 C 70 D80【答案】C练习

7、 7. 如图，l m，1115， 2 95，则3（ ）A120 B130 C140 D 150【答案】D练习 8.如图，直线 ABCD，A 70， C 40，则 E 等 于第 2 题图8（A）30 （B）40 （C ）60 （D）70【答案】A练习 9.如图，已知 /ABE， 65CF，则 BAC的度数为（ ）（A） 15 （B） 65 （C） 60 （D） 25【答案】B练习 10.如图，已知1= 07，如果 CDBE，那么 B 的度数为 （ ）A 07 B 01 C 01D 02【答案】C练习 11.如图，在ABC 中，B=40，过点 C 作 CDAB，ACD=65，则ACB 的度数为（

8、）A60 B65 C70 D 75【解析】首先根据 CDAB，可得 A=ACD=65；然后在ABC 中，根据三角形的内角和定理，求出 ACB 的度数为多少即可9解： CDAB，A=ACD=65，ACB=180AB=1806540=75【答案】ACB 的度数为 752.平行线的应用【例4】已知：如图，ABCD，求证：B+ D=BED。【解析】可以考虑把BED变成两个角的和。如图5，过E点引一条直线EFAB ，则有 B=1，再设法证明D= 2，需证EFCD，这可通过已知ABCD和EF AB得到。【答案】证明：过点E作EF AB，则 B=1（两直线平行，内错角相等） 。ABCD（已知） ，又EFAB

9、（已作） ，EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行） 。D=2（两直线平行，内错角相等） 。又BED=1+ 2，BED=B+D（等量代换） 。练习12.已知：如图6，ABCD，求证：BED=360-（B+ D） 。【解析】此题与例1的区别在于 E点的位置及结论。我们通常所说的 BED都是指小于平角的角，如果把BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例 1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。【答案】证明：过点E作EF AB，则 B+1=180（两直线平行，同旁内角互补） 。ABCD（已知） ，又EFAB（已作） ，EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行） 。A

10、 BE DC F10D+2=180（两直线平行，同旁内角互补） 。B+1+D+2=180+180（等式的性质） 。又BED=1+ 2，B+D+BED=360（等量代换） 。BED=360-（ B+D） （等式的性质） 。练习13. 已知：如图7，ABCD，求证：BED= D-B。【解析】此题与例1的区别在于 E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。【答案】证明：过点E作EF AB，则 FEB=B（两直线平行，内错角相等） 。ABCD（已知） ，又EFAB（已作） ，EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行） 。FED=D（两直线平行，内错角相等） 。BE

11、D=FED-FEB，BED=D-B（等量代换） 。1 （ 2017四川凉山州第 4 题）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当 2=38时， 1=（ ）A52 B 38 C 42 D 60【解析】 先求出3，再由平行线的性质可得1解：如图：113=2=38（两直线平行同位角相等） ，1=903=52，【答案】A2.（2017青海西宁）如图，AOB 的一边 OA 为平面镜，AOB=3736，在 OB 上有一点 E，从E 点射出一束光线经 OA 上一点 D 反射，反射光线 DC 恰好与 OB 平行，则 DEB 的度数是（ ）A7412 B 7436 C 7512 D 7536【解析】过点

12、 D 作 DFAO 交 OB 于点 F根据题意知，DF 是 CDE 的角平分线，故1=3；然后又由两直线 CDOB 推知内错角 1=2；最后由三角形的内角和定理求得DEB 的度数解：过点 D 作 DFAO 交 OB 于点 F入射角等于反射角，1=3，CDOB，1=2（两直线平行，内错角相等） ；2=3（等量代换） ；在 RtDOF 中， ODF=90，AOB=3736，2=903736=5224；在 DEF 中，DEB=180 22=7512【答案】C123.（2017毕节市） （第 11 题）如图，直线 ab，直角三角形 ABC 的顶点 B 在直线 a 上，C=90， =55，则 的度数为（

13、 ）A 15 B 25 C 35 D 55【解析】 首先过点 C 作 CEa，可得 CEab，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案解：过点 C 作 CEa，ab，CEab，BCE=，ACE=55，C=90，=BCE=ABCACE=35【答案】C4.（2017甘肃天水，第 7 题）如图，将矩形纸带 ABCD，沿 EF 折叠后，C、D 两点分别落在C、D的位置，经测量得 EFB=65，则AED 的度数是（ ）A 65 B 55 C 50 D 25【解析】 先根据平行线的性质求出DEF 的度数，再由图形翻折变换的性质求出 DED的度数，根据补角的定义即可得出结论解：ADBC，EFB=65 ，

14、13DEF=65，DED=2DEF=130，AED=180130=50【答案】C5.（2017湖北省咸宁市，第 4 题）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若1=50，则 2 的度数为（ ）A.50 B.40 C.30 D.25【解析】 由两直线平行，同位角相等，可求得3 的度数，然后求得2 的度数解：如图， ，1=50，3=1=50，2=9050=40【答案】B6.（2017湖北省随州市，第 2 题）如图，ABCD，A=50，则1 的大小是（ ）A.50 B.120 C.130 D.150【解析】 由平行线的性质可得出2，根据对顶角相得出1解：如图：14ABCD，A+2=180

15、，2=130，1=2=130【答案】C7.如图，把一块含有 45的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上如果 1=20，那么 2 的度数是（ ）A.15 B.20 C.25 D.30【解析】 根据两直线平行，内错角 相等求出3，再求解即可解： 直尺的两边平行，1=20，3=1=20，2=4520=25【答案】C8.如图，已知 ABCD， o180，则 2o15【答案】1009.（2017江苏盐城中考）一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若 1=60，则 2 的度数为（ ）A 85 B 75 C 60 D 45【解析】 首先根据1=60，判断出3= 1=60，进而求出 4 的度数；然后对顶角相等

16、，求出 5 的度数，再根据 2=5+6，求出2 的度数为多少即可解：如图 1， ，1=60，3=1=60，4=9060= 30，5=4，5=30，2=5+6=30+45=7516【答案】B10.（ 2017江苏泰州中考）如图，直线 l1l2，=，1=40，则2= 【解析】先根据平行线的性质，由 l1l2 得3= 1=40，再根据平行线的判定，由= 得ABCD，然后根据平行线的性质得 2+3=180，再把 1=40代入计算即可解：如图，l1l2，3=1=40，=，ABCD，2+3=180，2=1803=18040=140【答案】140 11.（ 2017湖南湘西州中考）如图，直线 a，b 被直线

17、 c 所截，且 ab，1=40，则 2= 度【解析】 根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补解答即可解： ab，1=40，172=18040=140，【答案】14012.（ 2017甘肃庆阳中考）已知三条不同的直线 a、b、c 在同一平面内，下列四条命题：如果 ab，a c，那么 bc； 如果 ba，ca，那么 bc；如果 ba， ca，那么 bc；如果 ba，c a，那么 bc其中真命题的是 （填写所有真命题的序号）【解析】 分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案 解：如果 ab，a c，那么 bc 是真命题，故 正确；如果 ba，ca，那么 bc 是

18、真命题，故 正确；如果 ba， ca，那么 bc 是假命题，故错误；如果 ba， ca，那么 bc 是真命题，故正确【答案】_1.如图，直线 ab，三角板的直角顶点 A 落在直线 a 上，两条直线分别交直线 b 于 B、C 两点若1=42，则 2 的度数是 【解析】 先根据两角互余的性质求出3 的度数，再由平行线的性质即可得出结论解：BAC=90， 1=42，3=901=9042=4818直线 ab，2=3=48【答案】482.（2017云南,第 11 题）如图，直线 l1l2，并且被直线 l3，l 4 所截，则= 【解析】 首先根据三角形外角的性质，求出1 的度数是多少；然后根据直线 l1l

19、2，可得=1，据此求出 的度数是多少即可解：如图 1， ，1+56=120，1=12056=64，又 直线 l1l2，=1=64【答案】643.（2017 广西崇左中考）若直线 ab，ac ，则直线 b c【解析】如图，因为 ab，ac，所以2= 1=90【答案】b c.194.（2017永州中考）如图，1= 2，A=60，则ADC= 120 度【解析】 由已知一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到 AB 与 DC 平行，再利用两直线平行同旁内角互补，由A 的度数即可求出 ADC 的度数解：1=2 ，ABCD，A+ADC=180，A=60，ADC=120【答案】1205.（2017衡阳中

20、考）如图，已知直线 ab，1=120 ，则 2 的度数是 60 【解析】 两直线平行，同旁内角互补，据此进行解答解：ab ，1=120 ，202=1801=180120=60，【答案】606.将一副三角板如图放置，使点 A 在 DE 上，BC DE，则AFC 的度数为A45 B50 C60 D75【答案】D 7.如图，已知170如果 CDBE，那么 B 的度数为（ ）A70 B100 C110 D120【答案】C8.如图 1，已知直线 AB/CD，BE 平分 ABC，交 CD 于 D， CDE=150，则 C 的度数为（ ）A150 B130 C120 D100A BCDE图 1【答案】C9.

21、如图，已知1 70，如果 CDBE，那么 B 的度数为（ ）A70 B100 C110 D12021【答案】C10.如图， ABD ， EFAB于 ， 交 CD 于 F，已知 160，则 2（ ）A30 B20 C25 D35【答案】A11.如图 1，直线 ab，C 与 a、 b 均相交，则 （ ）A60 B100 C120 D150 【答案】C12.如图，直线 PQMN，C 是 MN 上一点，CE 交 PQ 于 A，CF 交 PQ 于 B，且ECF90，如果 FBQ50 ，则 ECM 的度数为A60 B50 C40 D3022【答案】C 13如图，BCAE ，垂足为 C，过 C 作 CDAB

22、若 ECD=48则B= E DCBA【答案】 04214.如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线 a、b 上，已知1=55，则 2 的度数为（ ）A. 45 B. 35 C. 55 D.125【答案】B 15如右图 4，a b，如果 1=50，则 2 的度数是A130 B50 C100 D120 【答案】A16.如图，直线 cba直 线,/分别与 a、b 相交于点 A、B，已知232,351则的度数为 （ ）A165 B155 C145 D135【答案】C17.如图 2，ABCD，EF AB 于点 E，EF 交 CD 于 F，已知 2=30，则 1 是（ ）A20 B60

23、C30 D45【答案】B18.如图，梯子的各条横档互相平行，若1=80 ，则2 的度数是A80 B100 C110 D120 【答案】B19.三条直线 a、b、c ，若 ac，b c，则 a 与 b 的位置关系是Aa b Bab Cab 或 ab D无法确定【答案】B2420.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到 ab 的是( )A.1=2 B.2=4 C.3=4 D.1+4=180【答案】D21.如图 1，ABCD， A=50， C=E，则 C 等于（ ）A20 B25 C30 D 40【答案】B22.如图，已知 ab， l分别与 a、 b相交，下列结论中错误的是（ ） A1= 3 B.

24、 2=3 C. 1=4 D. 2=5【答案】D23.如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50o 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40o 方向，则从 C 岛看 A，B 两岛的视角ACB 等于 25【答案】90 o24将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则 1+2=_。【答案】90 25.如图, 已知 1 =2 =3 = 62，则 4 . 【答案】11826.如图，直线 ab，直线 c与 a、 b相交， 1 70 ，则 2 【答案】7027.如图，直线 DE 交ABC 的边 BA 于点 D，若 DEBC，B=70，则ADE 的度数是 26【答案】7028.如图（五） ，AB CD，直线 MN 分别与 AB、 CD 相交于点 E、 F，若 MEB65，则CFN_FENMAC DB【答案】6529.如图所示，ABCD， ABE66， D54，则 E 的度数为_【答案】1230.如图 1，已知直线 AB/CD，直线 EF 与直线 AB、CD 分别交于点 E、F，且有1=70， 则2= .【答案】 1031.如图 4，已知直线 ab，1=40，则2= 27【答案】 40