人教版初一（下）数学第19讲：二元一次方程组的应用（教师版）

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1、1二元一次方程组的应用_1.掌握二元一次方程组的简单应用；2.掌握二元一次方程组应用题的解法；3.会找应用题中的等量关系.1 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答” 五步，即：(1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；(2)找：找出能够表示题意两个相等关系；(3)列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；(4)解：解这个方程组，求出两个未知数的值；(5)答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案2.列方程解应用题的基本关系量：行程问题：_2顺水速度=静水速度 水流速度 逆水速度=静水速度

2、 水流速度工程问题：_浓度问题：溶液 浓度= 溶质银行利率问题：免税利息=本金 利率时间3.列方程组解应用题的常见题型：和差倍总分问题：较大量=较小量+ 多余量，总量=倍数 倍量产品配套问题：加工总量成比例速度问题：速度 时间= 路程航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类顺流（风）：航速= 静水（无风）中的速度+ 水（风）速逆流（风）：航速= 静水（无风）中的速度-水（风）速工程问题：工作量= 工作效率 工作时间（一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问题）增长率问题：原量 （1 增长率）=增长后的量原量（1减少率） =减少后的量浓度问题：溶液 浓度= 溶质银

3、行利率问题：免税利息=本金 利率时间税后利息=本金 利率时间本金利率 时间税率利润问题：利润= 售价 进价，利润率 =（售价进价） 进价100%盈亏问题：关键从盈（过剩） 、亏（不足）两个角度把握事物的总量数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的参考答案：2.速度 时间= 路程; 工作效率 工作时间=工作量31.数字问题【例 1】一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大 9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大 27，求这个两位数【解析】：设这个两位数十位

4、上的数为 x，个位上的数为 y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：【答案】解：设这个两位数十位上的数为 x，个位上的数为 y。根据题意得，解方程组得 ，10927xy 14答：所求的两位数是 14练习 1一个两位数，十位上的数字是个位上数字的 2 倍，如果把个位上的数与十位上的数对调得到的数比原数小 36，求原来的两位数.【答案】84练习 2一个两位数的十位数字与个位数字的和是 7，把这个两位数加上 45 后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是多少？【答案】162.年龄问题十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数 x y 10x+y 10x+y=x+y+

5、9新两位数 y x 10y+x 10y+x=10x+y+274【例 2】兄弟二人今年分别为 15 岁和 9 岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的 2 倍？【解析】根据年龄增长的特点，两人年龄是同时增长的。【答案】解：设 x 年后，兄的年龄是弟的年龄的 2 倍，则 x 年后兄的年龄是 15+x，弟的年龄是 9+x由题意，得 2（9+x）=15+x18+2x=15+x，2x-x=15-18x=-3答：3 年前兄的年龄是弟的年龄的 2 倍练习 3小刚问妈妈的年龄，妈妈笑着说： “我们两人的年龄和为 52 岁，我的年龄是你的年龄的 2 倍多 7，你能用学过的知识求出我们的年龄吗？”求小刚和妈妈的年龄？【答

6、案】15 岁和 37 岁练习 4.师傅对徒弟说“我像你这样大时，你才 4 岁，将来当你像我这样大时，我已经是 52 岁的人了” 问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？【答案】现在师傅 36 岁，徒弟 20 岁3.利润问题【例 3】一件商品如果按定价打九折出售可以盈利 20%；如果打八折出售可以盈利 10 元，问此商品的定价是多少？ 【解析】商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价 利润率（盈利百分数） 特别注意“ 利润”和“ 利润率” 是不同的两个概念因此，设此商品

7、的定价为 x 元，进价为 y 元，则打九折时的卖出价为 0.9x 元，获利(0.9x-y)元，因此得方程 0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为 0.8x 元，获利(0.8x-y)元，可得方程 0.8x-y=10.【答案】解：设此商品的定价为 x 元，进价为 y 元，根据题意得，解得 ，0.92%81xy2015答：商品定价为 200 元练习 5.(2018 年贵州黔东南州立志中学期中)某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知 5 件甲种玩具的进价与 3 件乙种玩具的进价的和为 231 元，2 件甲种玩具的进价与 3 件乙种玩具的进价的和为 141 元求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

8、【解析】设每件甲种玩具的进价是 x 元，每件乙种玩具的进价是 y 元，根据“5 件甲种玩具的进价与 3 件乙种玩具的进价的和为 231 元，2 件甲种玩具的进价与 3 件乙种玩具的进价的和为 141 元” 列出方程组解决问题。【答案】解：设每件甲种玩具的进价是 x 元，每件乙种玩具的进价是 y 元，由题意得5，解得 ，答：件甲种玩具的进价是 30 元，每件乙种玩具的进价是 27 元。练习 6.福建欣欣电子有限公司向工商银行申请了甲、乙两种贷款，共计 68 万元，每年需付出利息 8.42 万元甲种贷款每年的利率是 12，乙种贷款每年的利率是 13，求这两种贷款的数额各是多少？【答案】解：设甲种贷

9、款 x 万元，乙种贷款 y 万元，则解得 6812%3.42xy426x答:甲种贷款 42 万元，乙种贷款 26 万元.4.配套问题【例 4】某厂共有 120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓 25 个或螺母 20 个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？【解析】产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（1 ） “二合一”问题：如果件甲产品和件乙产品配成一套，那么

10、甲产品数的倍等于乙产品数的倍，即 ab甲 产 品 数 乙 产 品 数；（2 ） “三合一”问题：如果甲产品件，乙产品件，丙产品件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是： c甲 产 品 数 乙 产 品 数 丙 产 品 数此题要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数 2=每天生产的螺母数 1【答案】解：设安排人生产螺栓，人生产螺母，则每天可生产螺栓 25个，螺母 20个，依题意，得1205xy，解之，得01xy答：应安排 20 人生产螺栓，100 人生产螺母6练习 7某种仪器由 1 种 A 部件和 1 个

11、B 部件配套构成每个工人每天可以加工 A 部件1000 个或者加工 B 部件 600 个，现有工人 16 名，应怎样安排人力，才能使每天生产的 A 部件和 B 部件配套？【答案】解：设安排 x 人生产 A 部件，安排 y 人生产 B 部件，由题意，得，解得： 答：设安排 6 人生产 A 部件，安排 10 人生产 B 部件，才能使每天生产的 A 部件和B部件配套练习 8.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 16 个，或盒底 43 个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有 150 张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒.【答案】64 张做盒底，86 张做盒身。5.行程问题

12、【例 5】在某条高速公路上依次排列着 A、B、C 三个加油站，A 到 B 的距离为 120 千米，B到 C 的距离也是 120 千米分别在 A、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往 A、C 两个加油站驶去，结果往 B 站驶来的团伙在 1 小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过 3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【解析】 “相向而遇” 和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到

13、两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇” 时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及” 时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离【答案】解：设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为 x、y 千米/时，则3120xy，整理，得4012，解得 ，804答：巡逻车的速度是 80 千米/ 时，犯罪团伙的车的速度是 40 千米/ 时练习 9.汽车从甲地到乙地，若每小时行驶 45 千米，就要延误 30 分钟到达；若每小时行驶 50 千米，那就可以提前 30 分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？【答案】A、B 距离为 450 千米，原计划行驶 9.5

14、小时；7练习 10.轮船沿江从 A 港顺流行驶到 B 港，比从 B 港返回 A 港少用 3 小时，若船速为 26 千米/ 小时，水速为 2 千米/时，则 A 港和 B 港相距_千米【答案】216.货运问题【例 6】某船的载重量为 300 吨，容积为 1200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为 6 立方米，乙种货物每吨的体积为 2 立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？【解析】“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“ 货物的总重量等于船的载重量” 且“货物的体积等于船的容积”【答案】解：设甲种货物装 x 吨，乙种货物装 y 吨，则，整理，得306

15、x，解得150xy，30621xy答：甲、乙两重货物应各装 150 吨练习 11甲桶装水 49 升，乙桶装水 56 升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的 ，求这两个水桶的容量。31【答案】甲的容量为 63 升，乙水桶的容量为 84 升练习 12.某城市规定：出租车起步价允许行使的最远路程为 3 千米，超过 3 千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了 11 千米，付了 17 元” ；乙说：“我乘这种出租车走了 23 千米，付了 35 元”请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以

16、及超过 3 千米后，每千米的车费是多少元？【答案】解：设出租车的起步价是 x 元，超过 3 千米后，每千米的车费是 y 元，由题意得：，解得： ，答：出租车的起步价是 5 元，超过 3 千米后，每千米的车费是 1.5 元7.工程问题【例 7】某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装 150 套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能8完成订货的45；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服 200 套，这样不仅比规定时间少用 1 天，而且比订货量多生产 25 套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？【解析

17、】工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量= 工作时间工作效率” 以及它们的变式“工作时间=工作量工作效率，工作效率=工作量工作时间” 其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量【答案】解：设订做的工作服是 x 套，要求的期限是 y 天，依题意，得4150225yx，解得37518y.答：订做的工作服是 3375 套，要求的期限是 18 天。练习 13.（2018 江苏苏州中学期末）某地准备对一段长 120m 的河道进行清淤疏通若甲工程队先用 4 天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要 9天；若甲工程队先单独工作 8

18、 天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要 3 天设甲工程队平均每天疏通河道 x 米，乙工程队平均每天疏通河道 y 米，则（x+y）的值为 【答案】解：设甲工程队平均每天疏通河道 x 米，乙工程队平均每天疏通河道 y 米，由题意，得 ，解得： x+ y=20练习 14.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需 6 小时，乙独做需 4 小时，甲先做 30 分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？【答案】解：设甲、乙一起做还需 x 小时才能完成工作根据题意，得 16 2+（ + 4）x=1解这个方程，得 x= 515=2 小时 12 分答：甲、乙一起做还需 2 小时

19、12 分才能完成工作91.在二元一次方程 x+3y=2 中，当 x=4 时，y=_；当 y=1 时，x=_122.若 x3m3 2y n1 =5 是二元一次方程，则 m=_，n=_ 3.已知 是方程 xky=1 的解，那么 k=_,y4.已知x1+（2y+1） 2=0，且 2xky=4 ，则 k=_5.二元一次方程 x+y=5 的正整数解有 _6.以 为解的一个二元一次方程是_57xy7.已知 的解，则 m=_，n=_ 2316xmxyyn个8.(2018年山东东营月考) 如果实数 x，y 满足方程组 ，那么代数式（ +2）的值为 【答案】1. 10 2. ，2 3.1 4. 4 43435.

20、解： 14xxyy6.x+y=12 此题答案不唯一7.1 4 8.19某人用 140 元到商场买了 15 件商品，其中水桶每个 6 元，立顿奶茶每盒 16 元，问这个人买了几个水桶，几盒奶茶？若用会员卡，那么奶茶 8 折，水桶 9 折，则需付多少钱？10.初三（2 ）班的一个综合实践活动小组去 A，B 两个超市调查去年和今年 “五一节”期间的销售情况，下图是调查后小敏与其它两位同学进行交流的情景根据他们的对话，请你分别求出 A、B 两个超市今年“五一节 ”期间的销售额1011.用 8 块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽。 60cm 【答案】

21、9.买了 10 个水桶，5 盒奶茶。用会员卡，则需付 118 元。10.A 超市今年销售额为 115 万元，B 超市为 55 万元。11.每块地砖的长为 45cm，宽为 15cm。12.（ 2018 山东济南实验中学期末）2018 年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共 10 张，总价为 5800 元其中小组赛球票每张 550 元，淘汰赛球票每张 700 元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？【答案】解：设小李预定了小组赛球票 张，淘汰赛球票 y张，由题意有 x，解之 285807501yx答：小李预定了小组赛球票 8 张，淘汰赛球票 2 张13.七年

22、级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：李小波：阿姨，您好！售货员：同学，你好，想买点什么？李小波：我只有 100 元，请帮我安排买 10 支钢笔和 15 本笔记本售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵 2 元，退你 5 元，请清点好，再见根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？两超市销售额去年共为 150 万元，今年共为 170 万元B 超市销售额今年比去年增加10A 超市销售额今年比去年增加1511【答案】解：设钢笔每支为 x 元，笔记本每本 y 元，据题意，得 2105xy，解方程组，得 53.y，答：钢笔每支 5 元，笔记本每

23、本 3 元14.某商场准备购进两种摩托车共 25 辆，预计投资 10 万元。现有甲、乙、丙三种摩托车，甲种每辆 4200 元，可获利 400 元；乙种每辆 3700 元，可获利 350 元；丙种每辆 3100 元，可获利 300 元。10 万元资本全部用完。（1）请你帮助该商场设计进货方案；（2 ）从销售利润上考虑，应选择哪种方案？【答案】有三种方案：第一种：购甲乙两种摩托设甲摩托 x 辆，乙为 y 辆x+y=254200x+3700y=100000解方程得：x=15，y10可赢利：15400+103509500 元第二种方案：购甲丙两种摩托甲摩托 x 辆，丙为 y 辆x+y=254200x+

24、3100y=100000解方程得：x=20， y5可赢利：20400+1030011000 元第三种方案乙摩托 x 辆，丙为 y 辆x+y=253700x+3100y=100000解方程得：y 为负值，所以这种方案不成立12所以只有两种方案由于 110009500所以选择第二种方案15.某中学新建了一栋 4 层的教学大楼，每层楼有 8 间教室，进出这栋大楼共有 4 道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同，安全检查中，对 4 道门进行了测试：当同时开起一道正门和两道侧门时，2min 内可以通过 560 名学生;当同时开起一道正门和一道侧门时，4min 内可以通过 800 名学生。 （1）

25、求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? （2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低 20%,安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在 5min 内通过这 4 道门安全撤离。假设这栋大楼每间教室最多有 45名学生。问：建造的这 4 道门是否符合安全规定？请说明理由。【答案】解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过 x 名学生，一道侧门可以通过 y 名学生，根据题意得： 804562YX解得： 1答：平均每分钟一道正门可以通过 120 名学生，一道侧门可以通过 80 名学生。（2）因为紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低 20%,所以紧急情况平均每分钟一道正门可以通过

26、 120（1-20%）=96 名学生，一道侧门可以通过 80（1-20%）=64 名学生所以在紧急情况下，在 5min 内可通过这 4道门的学生数为：5296+5264=1600 （人）因为是 4 层的教学大楼，每层楼有 8 间教室，共有 32 个教室，因为 160032=50 （人）4550所以建造的这 4 道门是符合安全规定的；_13_1 在方程 3x+4y=16 中，当 x=3 时，y=_，当 y=-2 时，x=_若 x、y 都是正整数，那么这个方程的解为_；2.方程 2x+3y=10 中，当 3x-6=0 时，y=_；3.如果 0.4x-0.5y=1.2，那么用含有 y 的代数式表示的

27、代数式是_ ；4.若 是方程组 的解，则 ；1124axb_ba5.方程|a|+| b|=2 的自然数解是_；6.如果 x=1，y=2 满足方程 ，那么 a=_；14yax7.已知方程组 有无数多解，则 a=_，m=_ ；myx26438.若方程 x-2y+3z=0，且当 x=1 时，y=2 ，则 z=_；9.若 4x+3y+5=0，则 3(8y-x)-5(x+6y-2)的值等于_；【答案】1. ，8， ； 2.2； 3. ； 4.a=3，b=1；7144125yx5. 6. ； 7.3，-4； 8.1； 9.20；20ba02ba10.（ 2018 山东聊城一中期中）某服装店用 6000 元

28、购进 A，B 两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润 3800 元（毛利润=售价进价） ，这两种服装的进价、标价如表所示：类型价格A 型 B 型进价（元/件） 60 100标价（元/件） 100 160（1）这两种服装各购进的件数；14（2）如果 A 中服装按标价的 8 折出售，B 中服装按标价的 7 折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？【答案】解：（1）设 A 种服装购进 x 件，B 种服装购进 y 件，由题意，得，解得： 答：A 种服装购进 50 件，B 种服装购进 30 件；（2）由题意，得380050（1000.860）30（1600.7 100）=3800

29、1000360=2440（元） 答：服装店比按标价出售少收入 2440 元11.皇帝巧算牛马价有一年，康熙皇帝微服南巡，在扬州城一个集市上看见两个公差正和几个卖牛马的伙争执，只听伙计苦苦央求两公差：“这位大爷，按我们讲好的价钱，您买 4 匹马，6 头牛，共 48两银子；这位大爷，您买 3 匹、5 头牛，共 38 两银子，加起来，一共是 86 两银子，可是你们只给了 80 两，还少 6 两，我们可亏不起这么多呀！”而两位公差不仅不补给银子，反而瞪眼呵斥，强赶牛、马要走正在这时，身着便服的康熙，走到公差面前说：“买卖公平，这是天经地义的事，一匹马，一头牛都有个价，要想买牛马，该付多少银子，就付多少

30、银子，怎么能仗势欺人！” 甲公差见此人竟敢当众管教他们，大怒：“你找死呀！你知道一匹马、一头牛是什么价？” 康熙微微一笑，略略思索了一会儿，便说：“我事先不知道，但可以算出来，马每匹 6 两，牛每头 4 两！” 伙计们和围观的人一听无不惊奇，而公差去恼羞成怒，上前就要抓康熙，此时，康熙从口袋里掏出玉玺，公差一看，方知皇帝驾到，吓得魂飞魄散，连忙跪下求饶原来，康熙是一位精通数学的皇帝，他当时是用算术的方法求出马和牛的价格的同学们，你不妨用二元一次方程算一算，看与康熙皇帝求得的结果一样吗？【答案】 解：设马每匹 x 两，牛每头 y 两，根据题意，得 4686354yxy,个 ，与康熙皇帝用算术方法求得的结果是一致的15