第1章-三角形的初步认识

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1、八年级上册第一章-三角形的初步认识2019.071目录1.1 认识三角形（一） 21.1 认识三角形（二） 41.2 定义与命 题（一） 71.2 定义与命题（二） 91.3 证明（一） 111.3 证明（二） 141.4 全等三角形 161.5 三角形全等的判定（一） 181.5 三角形全等的判定（二） 211.5 三角形全等的判定（三） 241.5 三角形全等的判定（四） 271.6 尺规作图 302第 1 章 三角形的初步知识1.1 认识三角形（一）1如图，图中共有 个三角形，以 AD 为边的三角形有 ，以 E 为顶点的三角形有 ，ADB 是 的内角，ADE 的三个内角分别是 .2三角形

2、的两边长分别是 2 和 3，若第三边的长是奇数，则第三边的长为 ；若第三边的长是偶数，则三角形的周长为 3在现实生活中，有些人为抄近路而践踏了草坪，这是一种不文明的现象，我们应予以制止或劝解请你用数学知识解释这一现象的原因： 4(1)已知在ABC 中，AB 6，BC4，则边 AC 的长可能是（ ）A. 11 B. 5 C. 2 D. 1(2)若等腰三角形中有两边长分别为 2 和 5，则这个三角形的周长为 （ ）A. 9 B. 12 C. 7 或 9 D. 9 或 125在三个内角互不相等的ABC 中，最小的内角为A，则在下列四个度数中，A最大可取（ ）A. 30 B. 59 C. 60 D.

3、896若一个三角形三个内角的度数之比是 237，则这个三角形一定是（ ）A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定7如图，在BCD 中，BC 4，BD5.(1)求 CD 的取值范围(2)若 AEBD，A55，BDE125 ，求C 的度数38若 a，b，c 是三角形的三边长，则化简| abc|acb|cab| （ ）A. 3abc B. ab 3c C. abc D. a3bc9三角形纸片上有 100 个点，连同三角形的顶点共 103 个点，其中任意三点都不共线现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形共有 个10各边长都是整数，且最大边长为 8 的

4、三角形共有多少个？11在农村电网改造中，四个自然村分别位于如图所示的 A，B，C，D 处，现计划安装一台变压器，使到四个自然村的输电线路的总长最短，那么这个变压器应安装在AC，BD 的交点 E 处，你知道这是为什么吗？12观察并探求下列各问题：(1)如图，在ABC 中，P 为边 BC 上一点，则 BPPC_ABAC(填“”“”或“”)(2)将(1)中的点 P 移到ABC 内，得图，试观察比较 BPC 的周长与ABC 的周长的大小，并说明理由(3)将(2)中的点 P 变为两个点 P1，P 2，得图，试观察比较四边形 BP1P2C 的周长与ABC 的周长的大小，并说明理由41.1 认识三角形（二）

5、1判断下列各小题中的ABC 的形状( 填“锐角三角形”“直角三角形”或“钝角三角形”) (1)AC B. ；(2)A B C. 12 13(3)ABC112. (4)ABC. ；(5)AB C. 132如图，在ABC 中，BD 是ABC 的平分线，已知ABC80，则DBC 3如图，过ABC 的顶点 A 作 BC 边上的高线，下列作法正确的是（ ）4下列关于三角形的高线的说法正确的是（ ）A. 直角三角形只有一条高线B. 钝角三角形的高线都在三角形的外部C. 只有一条高线在三角形内部的三角形一定是钝角三角形D. 钝角三角形的三条高线所在的直线的交点一定在三角形的外部55一个正方形和一个等边三角形

6、的位置如图所示若250则1（ ）A. 50 B. 60 C. 70 D. 806如图，在ABC 中，AD 是高 AEBF 是角平分线，它们相交于点O， CAB 50 ，C 60，求DAE 和BOA 的度数7如图，在ABC 中，ABAC ， P 是 BC 边上任意一点，PFAB 于点F， PE AC 于点 E， BD 为ABC 的高线，BD 8，求 PFPE 的值8如图，在ABC 中，点 DEF 分别在三边上，E 是 AC 的中点，ADBECF 交于一点 G， BD 2DC， SBDG 8S AGE 3，则 SABC （ ）A. 25 B. 30 C. 35 D. 409如图，在ABC 中，CD

7、AB 于点 D， CE 是ACB 的平分线，A20，B60，求 BCD 和ECD 的度数610如图在ABC 中(AB BC)AC2BCBC 边上的中线 AD 把ABC 的周长分成 60和 40 两部分求 AC 和 AB 的长11如图，已知ABC 的面积为 1.第一次操作：分别延长 ABBCCA 至点 A1B1C1，使 A1BAB ， B1CBC ， C1ACA 顺次连结点 A1B1C1 得到A 1B1C1.第二次操作：分别延长 A1B1B1C1C1A1 至点 A2B2C2， 使 A2B1A 1B1， B2C1 B1C1， C2A1C 1A1 顺次连结点A2B2C2 得到A 2B2C2按此规律，

8、要使得到的三角形的面积超过 2017，则最少经过 次操作71.2 定义与命题（一）1下列描述不属于定义的是（ ）A. 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形B. 正三角形是特殊的等腰三角形C. 在同一平面内三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形D. 含有未知数的等式叫方程2下列语句中，不属于命题的个数是（ ）延长线段 AB；自然数都是整数；两个锐角的和一定是直角；同角的余角相等A. 1 B. 2 C. 3 D. 43命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设是（ ）A. 垂直 B. 两条直线 C. 同一条直线 D. 两条直线垂直于同一条直线4下列语句中，不属于命题的是（ ）A. 若两角之和

9、为 90，则这两个角互补 B. 同角的余角相等C. 作线段的垂直平分线 D. 相等的角是对顶角5把“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式是 6指出下列命题的条件和结论(1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行(2)如果12，23，那么13.(3)锐角小于它的余角7把命题改写成“如果那么”的形式(1)对顶角相等(2)两直线平行，同位角相等(3)等角的余角相等8下列命题正确的是（ ）A. 若 ab，bc，则 ac B. 若 ab，则 acbcC. 若 ab，则 ac2bc 2 D. 若 ac2bc 2，则 ab9定义两种新变换：f(a，b)( a，b)，如 f(1，2)(

10、1，2)；g(a，b) (b，a)，如 g(1， 2)(2，1)据此得 g(f(5，6) 10用语言叙述这个命题：如图，直线 AB，CD 被 EF 所截，12180 ，EM，FN 分别平分BEF 和CFE，则 EMFN.811如图，定义：直线 l1 与 l2 交于点 O，对于平面内任意一点 M，点 M 到直线 l1，l 2的距离分别为 p，q，则称有序实数对(p，q) 是点 M 的“距离坐标”根据上述定义，求“距离坐标”是(1，2)的点的个数91.2 定义与命题（二）1有下列命题：无理数就是开方开不尽的数；一个实数的立方根不是正数就是负数；无理数包括正无理数，0，负无理数；如果一个数的立方根是

11、这个数本身，那么这个数是 1 或 0.其中假命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2有下列命题：三角形的两边之和大于第三边；相等的角是对顶角；若 a 与 b互为倒数，则 ab1；绝对值等于本身的数是正数其中真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D43能说明命题“对于任何实数 a，|a|a”是假命题的一个反例可以是（ ）A. a2 B. a C. a1 D. a13 24(1)定理是 命题(填 “真”或“假”，下同)“如果 ab0，那么 a0”是 命题“如果 a0，那么 ab0” 是 命题(2)“如果(a1)(a2)0，那么 a2”是假命题，反例是 5如图，若12，则 ABC

12、D，这是 命题(填“真”或“假”) 6判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例(1)如果一个数是偶数，那么这个数是 4 的倍数(2)两个负数的差一定是负数7对于同一平面内的三条直线 a，b，c，给出下列论断：ab；bc ；ab；ac；ac .请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题( 至少写两个命题) 8某班有 20 位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于 14 人”10乙说：“两项都参加的人数小于 5 人”对于甲、乙两人的说法，有下列命题，其中是真命题的是（ ）A. 若甲对，则乙对 B. 若乙对，则甲对C. 若乙错，则甲错 D. 若

13、甲错，则乙对9有下列命题：若 ab0 且 ab0，则 a0 且 b0；若 ab 且 ab0，则ab0；一个锐角的补角比它的余角小 90.其中属于真命题的是 (填序号) 10如图，ABC 的两边分别平行于DEF 的两边，且ABC25.(1)1 ，2 (2)请观察1，2 与ABC 分别有怎样的关系，请你由此归纳一个真命题11定义运算符号“*”的意义为：a*b (其中 a，b 均不为 0)下面有两个结论：a bab运算“*”满足交换律；运算“*”满足结合律其中（ ）A. 只有正确 B. 只有正确C. 和都正确 D. 和都不正确111.3 证明（一）1如图，下面的推理正确的是（ ）A12，ABCDB

14、ABCBCD180，ADBCCADBC，34DABCDAB 180，ADBC第 1 题 第 2 题 第 3 题2如图，若 ab，则1 的度数为（ ）A. 90 B. 80 C. 70 D. 603有一条直的宽纸带，按如图所示的方式折叠，则 的度数等于（ ）A. 50 B. 60 C. 75 D. 854字母 a，b，c，d 分别代表正方形、线段、正三角形、圆这四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形 的连接方式为 组合： 连接：ab bd dc5如图，ADBC 于点 D，EG BC 于点 G，E 3，试说明：AD 平分BAC.6如图，直线

15、 ab，三角形纸板的直角顶点 A 落在直线 a 上，两条直线分别交直线 b 于 B，C 两点若142，求2 的度数127如图，已知直线 ab，直角三角形 ABC 的顶点 B 在直线 a 上，C90， 55，求 的度数8如图，P 为ABC 内任意一点，12.求证： ACB 与BPC 互补9如图，已知 ABCD，EF 与 AB，CD 分别相交于点 E，F，EP EF，与EFD 的平分线 FP 相交于点 P，且BEP50，求 EPF 的度数10如图，在ABC 中，ACB 90，CD AB，BE 平分ABC，分别交AC，CD 于点 E，F.求证： CEF CFE.1311阅读：如图，CEAB ，1A

16、，2B ，ACD12AB.这是一个有用的事实，请用这个事实，在图中的四边形 ABCD 内引一条和边平行的直线，求出A B CD 的度数12如图，EOF90，点 A，B 分别在射线 OE，OF 上移动，连结 AB 并延长至点 D，DBO 的平分线与 OAB 的平分线交于点 C，试问：ACB 的大小是否随点A，B 的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点 A，B 的移动而发生变化，请给出变化的范围141.3 证明（二）1如图，在ABC 中，ACB70 ，12，则BPC 的度数为（ ）A. 110 B. 70 C. 130 D. 不能确定第 1 题 第 2 题 第 4 题2如图，l 1l

17、 2，则下列式子成立的是（ ）A180 B 180C 180 D 1803若三角形的三个外角的度数之比为 234，则与之对应的三个内角的度数之比为（ ）A. 432 B. 324 C. 531 D. 3154如图，CE 是ABC 的外角ACD 的平分线若B35，ACE60，则A （ ）A35 B95 C85 D755如图是一副三角尺叠放的示意图，则 第 5 题 第 6 题 第 7 题6如图，已知直线 ab，直线 AC 分别交 a，b 于点 B，C ，直线 AD 交 a 于点 D.若120，2 65 ，则3 7如图，点 A，C，F，B 在同一条直线上，CD 平分ECB，FGCD，若ECA 的度数

18、为 ，则GFB (用含 的代数式表示)8如图，B36，D50，AM ，CM 分别平分BAD 和BCD，AM 交 BC 于点R，CM 交 AD 于点 Q，BC 与 AD 交于点 P.求M 的度数159如图，1，2，3，4 的关系为（ ）A. 1243 B. 1234C. 1243 D. 123410如图，在ABC 中，D 是 BC 边上一点，12，34，BAC63，则CAD 的度数为 11如图，在ABC 中，C90，ABC 的平分线与外角BAD 的平分线的反向延长线交于点 F，则F 12已知：如图，在ABC 中，B C ，AE 为BAC 的平分线，AD BC 于点 D.求证：DAE (BC)12

19、13如图，ABCDEFG 161.4 全等三角形1已知四边形 ABCD 的各边长如图上数据所示，且四边形 OPEF四边形ABCD， P 与 B ，E 与 C 分别是对应角，则 PE 的长为（ ）A. 3 B. 5 C. 6 D. 10第 1 题 第 2 题 第 3 题2如图，已知ABCCDA，AB 与 CD 是对应边，AB4，BC5，AC 6，则AD 的长为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定3如图，已知ABCCDE，其中 ABCD，BC DE，则下列结论中，不正确的是（ ）A. ACCE B. BACECD C. ACB ECD D. BD4边长都为整数的ABCDEF，AB 与

20、DE 是对应边， AB2，BC4.若DEF的周长为偶数，则 DF 的长为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 3 或 4 或 55如图，点 E，F 在线段 BC 上，ABFDCE，点 A 与点 D，点 B 与点 C 是对应点，AF 与 DE 交于点 M.若 DEC36 ，则AME（ ）A. 54 B. 60 C. 72 D. 756用三种方法将如图所示的等边三角形分成三个全等的图形7如图，点 B，F，C，E 在同一条直线上，ABC DEF，点 B 与点 E，点 A 与点D 分别是对应点，AB6，BC11，BF3，ACB30. 求DFE 的度数及 DE，CE 的长178如图，在梯形 ABCD

21、 中，ADBC，沿 AM 对折，使点 D 落在 BC 上的点 N 处若D90， AMD60，则ANB ，CMN 9如图，CCAM90，AC 8，BC 4，P，Q 两点分别在线段 AC 和射线 AM上运动，且 PQAB.若ABC 和PQA 全等，求 AP 的长度10如图是用 10 根火柴棒搭成的一个三角形，你能否移动其中的 3 根，摆出一对全等的三角形？画出你的修改方案移动其中 4 根能否摆出一对全等的三角形？请画图说明，并与同伴交流11如图，ABCADE，已知点 C 和点 E 是对应点， BC 的延长线分别交AD，DE 于点 F，G，且DAC10，BD 25， EAB 120 ，试求DFB 和

22、DGB 的度数12如图，在ABC 中，ACB90，AC 6，BC8.点 P 从点 A 出发沿路径AC B 向终点 B 运动；点 Q 从点 B 出发沿路径 BC A 向终点 A 运动点 P 和点 Q 分18别以 1 个单位/秒和 3 个单位 /秒的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某一时刻，过点 P 作 PEl 于点 E，过点 Q 作 QFl 于点 F.问：点 P 运动多少时间时，PEC 与CFQ 全等？请说明理由1.5 三角形全等的判定（一）1下列命题中，正确的是( )A. 三条边对应相等的两个三角形全等 B. 周长相等的两个三角形全等C. 三个角对应相等的两个三角形全等

23、 D. 面积相等的两个三角形全等2如图，点 C 在线段 AB 的延长线上，AD AE，BDBE，CDCE，则图中共有 对全等三角形，它们分别是 第 2 题 第 3 题3工人师傅常用角尺平分一个任意角做法如下：如图，AOB 是一个任意角，在边 OA，OB 上分别取 OMON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 M，N重合，过角尺顶点 C 作射线 OC. 由此做法得MOC NOC 的依据是 4现有长为 3 cm，4 cm ，6 cm ，8 cm 的木条各两根，小明与小刚都取了 3 cm 和4 cm 的两根，他俩如何取第三根木条才能使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等？答： 5如图，ABAE

24、 ，ACAD，BDCE.求证：ABCAE D.6如图，在ABC 中，ABA C.分别以点 B，C 为圆心，BC 长为半径在 BC 下方画弧，设两弧交于点 D，与 AB，AC 的延长线分别交于点 E，F，连结 AD，BD，CD.19求证：AD 平分 BAC.7在学习了利用尺规作一个角的平分线后，爱钻研的小聪发现，只有一把刻度尺也可以作出一个角的平分线她是这样作的(如图) ：(1)分别在AOB 的两边 OA，OB 上各取一点 C，D，使得 OCOD.(2)连结 CD，并量出 CD 的长度，取 CD 的中点 E.(3)过 O，E 两点作射线 OE，则 OE 就是AOB 的平分线请你说出小聪这样作的理

25、由8在如图所示的 44 正方形网格中，1234567 第 8 题 第 9 题9在如图所示的 55 方格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，ABC 是格点三角形( 即顶点恰好是正方形的顶点) ，则与ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是 10如图，在四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，连结 AC，AE .若ABAC，AECD，ADCE ，则图中的全等三角形有几对？2011如图，已知 ABDC，DB AC.(1)求证：ABDDCA.注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据(2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？12如图，已知 ACAB，AE AD，CEBD

26、 ，B，E，D 三点在同一条直线上(1)求证：1 2.(2)求证：AE 平分CED.(3)若 CEAD，求1 的度数211.5 三角形全等的判定（二）1如图，在ABC 与ADC 中，已知 ADAB，在不添加任何辅助线的前提下，要使ABC ADC，则只需添加的一个条件可以是 第 1 题 第 2 题 第 3 题2如图，在ABC 中，B C ，BD CE，BECF.若A40，则DEF 的度数为 3如图，AB，CD，EF 相交于点 O，且它们均被点 O 平分，则图中共有 对全等三角形4如图，ABC 的两边 AB 和 AC 的垂直平分线分别交 BC 于 D，E 两点若 BC边长为 8 cm，则 ADE

27、的周长为( )A. 8 cm B. 16 cm C. 4 cm D. 不能确定5如图，OAOB ，OC OD，O50，D35，则AEC 等于( )A. 60 B. 50 C. 45 D. 30226如图，在直角三角形 ABC 中，ACB 90，B30，AD 平分CAB.(1)求CAD 的度数(2)延长 AC 至点 E，使 CEAC，连结 DE.求证：DADE.7如图，在ABC 与ABD 中，BCBD ，ABCABD ， E，F 分别是 BC，BD 的中点，连结AE，AF.求证：AE AF.8如图，在ABC 中，AB8，AC6，AD 是 BC 边上的中线，则 AD 长的取值范围是( )A. 6A

28、D8 B. 2AD4 C. 1AD7 D. 无法确定9如图，在ABC，ADE 中，BAC DAE 90 ，ABAC，ADAE，C，D， E 三点在同一条直线上，连结 BD.(1)求证：BADCAE.(2)试猜想 BD，CE 有何特殊位置关系，并证明2310如图，已知在ABC 中，ABAC，BE，CF 都是ABC 的高线，P 是 BE 上一点，且 BP AC，Q 是 CF 延长线上一点，且 CQAB ，连结 AP，AQ，QP.求证：(1)AQPA.(2)APAQ .11如图，在长方形 ABCD 中，AB4，AD 6，延长 BC 到点 E，使 CE2，连结 DE，动点 P 从点 B 出发，以每秒

29、2 个单位的速度沿 BCCD DA 向终点 A 运动，设点 P 的运动时间为 t(s)，当 t 为何值时，ABP 和 DCE 全等？241.5 三角形全等的判定（三）1如图，某同学不小心将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是( )A带去B带去C带 去D带和去2如图，点 B，E 在线段 CD 上，若CD，则添加下列条件，不一定能使ABCEFD 的是( )A. BCFD，ACEDB. ADEF，AC EDC. ACED，ABEFD. ABCEFD ，BCFD3根据下列已知条件，能画出唯一ABC 的是( )A. AB3，BC4，C50B. AB4，BC3

30、，A30C. A60，B45，AB4D. C90，AB64如图，AD 和 CB 相交于点 E，BEDE，请添加一个条件，使ABECDE，你所添加的条件是 (只添一个即可)255如图，BACDAE，ABDACE，ABAC. 求证：BDCE.6如图，在ABD 和ACE 中，有下列判断：ABAC；B C ；BACEAD；ADAE .请用其中的三个判断作为条件，余下的一个判断作为结论(用序号的形式)，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子，并说明理由7如图，已知CABDBA，CBDDA C.求证： BCAD.8如图，E 是 BC 边上一点，ABBC 于点 B，DC BC 于点C，AB BC，ACBD，

31、AE 与 BD 交于点 O，有下列结论：AEBD ； AEBD； BECD；AOB 的面积等于四边形 CDOE 的面积其中正确的结论有( )A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个269如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， 12，34.求证：AC 垂直平分 BD.10如图，线段 AC 与线段 BD 相交于点 O，连结AB，BC，CD，AD，OA OD.求证：12.11如图，在ABC 中，ACB 90，ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过点C 作 AE 的垂线 CF，垂足为 F，过点 B 作 BDBC，交 CF 的延长线于点 D.(1)求证：AECD.(2)若

32、AC12 cm ，求 BD 的长12如图，在ABC 中，A 90，AB AC，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点D，CEBD ，交 BD 的延长线于点 E.试猜想 CE 与 BD 的数量关系，并说明理由271.5 三角形全等的判定（四）1如图，已知ABCBAD，添加下列条件不能判定 ABCBAD 的是( )A. ACBDB. CABDBAC. CDD. BCAD2如图，在方格纸中，以 AB 为一边作ABP ，使之与ABC 全等，从P1，P 2，P 3，P 4 四个点中找出符合条件的点 P，则点 P 有( )A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个3如图，P 是AOB 的平分线

33、 OC 上的一点，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E，延长 DP 交 OB 于点 F，延长 EP 交 OA 于点 G，则图中有 对全等三角形，它们分别是 4如图，BD，请添加一个条件( 不得添加辅助线) ，使得ABCADC，28你所添加的条件是 (只添一个即可)5如图，在ABC 中，ACB 90，ACBC，ADCE，BECE，D，E 为垂足求证：DEBECE.6如图，已知点 B，E，F ，C 在同一条直线上，AD，BECF，且ABCD. 求证：AFED.7如图，在正方形 ABCD 中，G 是 BC 上任意一点，连结 AG，DE AG 于点E，BF DE 交 AG 于点 F，探究线段 DE，B

34、F ，EF 三者之间的数量关系，并说明理由8如图，已知 AEAB 且 AEAB，BCCD 且 BC CD，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图形的面积 S 等于（ ）A. 50B. 62C. 65D. 689如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，ABC CDA90，BEAD 于点29E，且四边形 ABCD 的面积为 9，则 BE( )A. 2B. 3C. 4D. 510如图，在ABC 中，ABC 90，AB BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线 l1，l 2，l 3 上，且 l1，l 2 之间的距离为 1，l 2，l 3 之间的距离为 2，过点 A 作AEl 3 于点 E，求 BE 的长11如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，BE，CE 分别平分ABC，BCD，且点 E 在 AD 上求证：BCABC D.12如图，在直角三角形 ABC 中，ACB 90，B60，AD ，CE 是角平分线，AD 与 CE 相交于点 F，FMAB ，FNBC，垂足分别为 M，N.求证：FE FD.