小五数学第5讲排列（教师版）——张艳宏

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1、第 5 讲 排列乘法原理：一般地，如果完成一件事需要 n 个步骤，其中，做第一步有 种不同的方1m法，做第二步有 种不同的方法，做第 n 步有 种不同的方法，那么，完成这件事2mm一共有 N=m1m2mn种不同的方法加法原理：一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 种不同做法，第1m二类方法中有 种不同做法，第 k 类方法中有 种不同的做法，则完成这件事共有2m2N=m1m2mn种不同的方法排列的定义：一般地，从 n 个不同的元素中任取出 m 个（mn）元素，按照一定的顺序排成一列叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个

2、排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样如果两个排列的元素不完全相同或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列从 n 个不同元素中取出 m 个（mn）元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，我们把它记作 。mnP一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个元素（mn）排成一列的问题，可以看成是从 n个不同元素中取出 m 个，排在 m 个不同的位置上的问题，而排列数 就是所有可能排法mnP的个数。那么，每个排列共需要 m 步，二每一步又有若干种不同的方法，排列数 可以mn这样计算：第一步：先排第一个位置上的元素，可以从 n 个元素中任选一个，有 n

3、 种不同的选法；第二步：排第二个位置上的元素这时，由于第一个位置已用去了一个元素，只剩下（n-1）个不同的元素可供选择，共有（n-1）种不同的选法；第三步：排第三个位置上的元素，有（n-2）种不同的选法；第 m 步：排第 m 个位置上的元素由于前面已经排了（m-1）个位置，用去了（m-1）个元素这样，第 m 个位置上只能从剩下的n-（m-1）=（n-m+1）个元素中选择，有（n-m+1）种不同的选法由乘法原理知，共有：n（n-1）（n-2）（n-m+1）种不同的排法，即：121nP这里，mn；且等号右边从 n 开始，后面每个因数比前一个因数小 1，共有 m 个因数相乘一般地，对于 m=n 的情

4、况，排列数公式变为12321mnm表示从 n 个不同元素中取 n 个元素排成一列所构成排列的排列数这种 n 个排列全部取出的排列，叫做 n 个不同元素的全排列教学重点：培养学生的思维的有序性、全面性 教学难点：根据需要引导总结计算规律 向日葵花盘中的数学奥妙向日葵中心种子的排列图案符合裴波那契数列，也就是 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144序列中每个数字是前两个数字的综合。在向日葵上面，这个序列以螺旋状从花盘中心开始体现出来。有两条曲线向相反方向延展，从中心开始一直延伸到花瓣，每颗种子都和这两条曲线形成特定的角度，放在一起就形成了螺旋形。例 1 某人到食堂去买饭，主食有三

5、种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？分析 某人买饭要分两步完成，即先买一种主食，再买一种副食（或先买副食后买主食）其中，买主食有 3 种不同的方法，买副食有 5 种不同的方法故可以由乘法原理解决解：由乘法原理，主食和副食各买一种共有 35=15 种不同的方法补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；每个步骤各有若干种不同的方法来完成这样的问题就可以使用乘法原理解决问题例 2 由数字 0、1、2、3 组成三位数，问：可组成多少个不相等的三位数？可组成多少个没有重复数字的三位数？分析 在确定由 0、1、2、3 组成的三位数的

6、过程中，应该一位一位地去确定所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成要求组成不相等的三位数所以，数字可以重复使用，百位上，不能取 0，故有 3 种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有 4 种不同的取法；个位上，也有 4 种不同的取法，由乘法原理，共可组成 344=48 个不相等的三位数要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取 0，有 3 种不同的取法；十位上，由于百位已在 1、2、3 中取走一个，故只剩下 0 和其余两个数字，故有 3 种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有 2 种取法，由乘法原理，共有 332=18 个没有重复数字的

7、三位数解：由乘法原理共可组成 344=48（个）不同的三位数；共可组成 3832=18（个）没有重复数字的三位数例 3 计算5P 284P分析：排列的计算解： 345 7825678=60 =1568例 4 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字 1、2、3、4、5、6将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？分析 要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑第一类，两个数字同为奇数由于放两个正方体可认为是一个一个地放放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即 1，3，5；放第二个正方体，出

8、现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有 33=9 种不同的情形第二类，两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有 33=9 种不同情形最后再由加法原理即可求解解：两个正方体向上的一面同为奇数共有 33=9（种）不同的情形；两个正方体向上的一面同为偶数共有 33=9（种）不同的情形所以，两个正方体向上的一面数字之和为偶数的共有 33+33=18（种）不同的情形例 5 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？分析 这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的

9、问题由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中n=5，m=3解：由排列数公式知，共可组成 种不同的信号603453P补充说明：这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化例 6 用 1、2、3、4、5、6、7、8 可组成多少个没有重复数字的五位数？分析 这是一个从 8 个元素中取 5 个元素的排列问题，且知 n=8，m=5解：由排列数公式，共可组成： 个不同的五位数67204578PA1. 书架上有 6 本不同的外语书，4 本不同的语文书，从中任取外语、语

10、文书各一本，有多少种不同的取法？答案：从架上各取一本共有 64=24 种不同的取法 2书架上有 6 本不同的画报和 7 本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？答案：从书架上最多拿两本共有 6+7+15+21+67=91（种）不同的拿法。提示：拿两本的情况分为 2 本画报或 2 本书或一本画报一本书3 计算8P78P答案： 67 23456=336 =403204. 幼儿园里 3 名小朋友去坐 6 把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？答案：由排列公式，共有： 种不同的坐法1204536P5有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，

11、问共可以组成多少种不同的信号？答案：6 种B1. 王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100 米跑、200 米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？答案：由乘法原理，报名的结果共有 444=64 种不同的情形2. 如下页图，一只小甲虫要从 A 点出发沿着线段爬到 B 点，要求任何点和线段不可重复经过问：这只甲虫有多少种不同的走法？答案：从 A 点先经过 C 到 B 点共有：13=3（种）不同的走法从 A 点先经过 D 到 B 点共有：23=6（种）不同的走法所以，从 A 点到 B 点共有：3+6=9（种）不同的走法3. 计算（1） （2）246P36

12、P答案：（1）=708 （2）=91264. 有 4 个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他 3 人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时 3 人站成一排）答案：由排列数公式，共可能有： 种不同的拍照情况。2434P5班集体中选出了 5 名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员问：有多少种不同的分工方式？答案：120 种。C1. 右图中共有 16 个方格，要把 A、B、C、D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子问：共有多少种不同的放法？答案：由乘法原理，共有 16941=576 种不同的放法2在 11000 的自然数中，一共有多少个数字 0

13、？答案：9+180-9+3=183（个） 3 计算2547P 315P答案：（1）=3320 （2 ）=314. 4 名同学到照相馆照相他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？答案：由排列数公式知，共有 种不同的排法12434P5由数字 1、2、3、4、5、6 可以组成多少没有重复数字的三位数？个位是 5 的三位数？百位是 1 的五位数？六位数？答案：120 20 120 7201 某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有 3 条路可以走，从乙地到丙地有 2 条路可以走，从丙地到丁地有 4 条路可以走问，罪犯共有多少种逃走的方法？答案：32 4=24（种） 2.从甲地到乙

14、地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？ 答案：33+24=17（种）3计算475P435P答案：1680；1564. 5 个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？答案：由排列数公式知，共有 种不同的排法12434P5某铁路线共有 14 个车站，这条铁路线共需要多少种不同的车票答案： 182 种1.一个篮球队，五名队员 A、B、C、D、E，由于某种原因，C 不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上问：共有多少种不同的站位方法？答案：44321=96（种） 2.学校组织读书活动，要求每个同学读一本书

15、小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书 150 本，不同的科技书 200 本，不同的小说 100 本那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？答案：小明借一本书共有：150+200+100=450（种）不同的选法3. 一个口袋内装有 3 个小球，另一个口袋内装有 8 个小球，所有这些小球颜色各不相同问：从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？答案：从两个口袋中任取一个小球共有 3+8=11（种），不同的取法从两个口袋中各取一个小球共有 38=24（种）不同的取法4.计算243P 152P答案：12；45. 某客轮航行于天津、青岛、大连三个城

16、市之间问：应准备有多少种不同船票？答案：6 种6由数字 1、2、3、4、5、6、7、8 可组成多少个三位数？三位偶数？没有重复数字的三位偶数？百位为 8 的没有重复数字的三位数？百位为 8 的没有重复数字的三位偶数？答案：888=512（个）； 488=256（个）；476=168（个）； 176=42（个）；136=18（个）7某市的电话号码是六位数的，首位不能是 0，其余各位数上可以是 09 中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？答案：91010101010=900000（部）8.由数字 1、2、3、4、5、6 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？答案：1809. 某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？答案：6 种10. 现有一角的人民币 4 张，贰角的人民币 2 张，壹元的人民币 3 张，如果从中至少取一张，至多取 9 张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？答案 94-1=35 种不同的情形课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：