小五数学第7讲：容斥定理（教师版）.——平谷王培珍

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1、第七讲 容斥定理1 两集合容斥定理如果被计数的事物有 A、B 两类，那么，A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数 既是 A 类又是 B 类的元素个数。（AB = A+B - AB)2 三集合容斥定理如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么，A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数 既是 A 类又是 B 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的元素个数 既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。三个集合的容斥关系公式：ABC = A+B+C - AB - BC -

2、CA +ABC教学重点：两集合容斥定理找对 A BAB AB教学难点：三集合容斥定理例 1.某区 100 个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的 75 人,既懂英语又懂俄语的 20 人,那么懂俄语的教师为人.答案 45解析：依题意，被计数的事物懂英语的教师和懂俄语的教师有两类，懂英语的教师称为“A 类元素”，懂俄语的教师称为“B 类元素”， 设懂俄语的教师为 x 人AB = A+B - AB=75+x-20=100X=45 例 2.有长 8 厘米,宽 6 厘米的长方形与边长为 5 厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米.答案 67解析:依题

3、意，被计数的事物长方形的面积与正方形的面积有两类，长方形的面积称为“A类元素”，正方形的面积称为“B 类元素”， AB = A+B - AB=68+55-431/2=678 6543例 3. 求不超过 20 的正整数中是 2 的倍数或 3 的倍数的数共有多少个。答案 13解析：依题意，被计数的事物不超过 20 的正整数中是 2 的倍数与不超过 20 的正整数中是3 的倍数有两类，不超过 20 的正整数中是 2 的倍数称为“A 类元素”，不超过 20 的正整数中是 3 的倍数称为“B 类元素”，A=202=10 B=203=62 AB=206=32AB = A+B - AB=10+6-3=13例

4、 4. 一个班有 42 人，参加合唱队的有 30 人，参加美术组的有 25 人，有 5 人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？答案 8解析：依题意，被计数的事物有参加合唱队，美术组两类，参加合唱队”称为“A 类元素”，“参加美术组”称为“B 类元素”， AB = A+B - AB=30+25-x=42-5 X=8 例 5. 某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：短跑游泳投掷短跑、游泳短跑、投掷游泳、投掷短跑、游泳、投掷1 7 1 8 1 5 6 6 5 2求这个班的学生共有多少人？答案 35解析：依题意，记 A

5、 类元素为：短跑达优秀。B 类元素为：游泳达优秀。C 类元素为：投掷达优秀。ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=17+18+15-6-6-5+2=35例 6 某校六班有学生 45 人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25 人，参加排球队的有 22 人，参加游泳队的有 24 人，足球、排球都参加的有 12 人，足球、游泳都参加的有 9 人，排球、游泳都参加的有 8 人，问：三项都参加的有多少人？答案 3解析 记 A 类元素为：参加足球队的人数；记 B 类元素为：参加排球队的人数； 记 C 类元素为：参加游泳队的人数。设三项都参加的有 x 人ABC =

6、A+B+C - AB - BC - CA +ABC=25+22+24-12-9-8+X=45 X=3例 7 对某单位的 100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中 58 人喜欢看球赛，38 人喜欢看戏剧，52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则有既喜欢看球赛又喜欢看电影的有多少人?答案 3解析 记 A 类元素为：喜欢看球赛的人；记 B 类元素为：喜欢看戏剧的人； 记 C 类元素为：喜欢看电影的人。设既喜欢看球赛又喜欢看电影的有 x 人ABC = A+B+C - AB - BC - C

7、A +ABC=58+38+52-18-16-x+12=100X=26A1. 某单位有青年员工 85 人，其中 68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有 12 人，则既会骑车又会游泳的有( ) 人A.57 B.73 C.130 D.69答案 A解析 记 A 类元素为：会骑自行车；记 B 类元素为：会游泳。设既会骑车又会游泳的有 x人。AB = A+B - AB=68+62-AB=85-122.在 1 至 10000 中不能被 5 或 7 整除的数共有个.答案 6857解析 记 A 类元素为：在 1 至 10000 中能被 5 整除的数 A=1000052000记 B 类元素为

8、：在 1 至 10000 中能被 7 整除的数 B=1000071428.6 B 取整数 B=1428AB=1000035285.7 B 取整数 B=285设在 1 至 10000 中不能被 5 或 7 整除的数共有 x 个。AB = A+B - AB=68+62-AB=2000+1428 - 285=10000-x x =68573.在 100 个学生要么对音乐有兴趣要么对体育有兴趣,音乐爱好者有 56 人,体育爱好者有75 人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人有人答案 31解析 记 A 类元素为：音乐爱好者；记 B 类元素为：体育爱好者。AB = A+B - AB=56+75-AB=100

9、AB=314. 电视台向 100 人调查前一天收看电视的情况，有 62 人看过 2 频道，34 人看过 8 频道，其中 11 人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？答案 15解析 记 A 类元素为：看过 2 频道的人数；记 B 类元素为：看过 8 频道的人数。设两个频道都没看过的有 x 人AB = A+B - AB=62+34-11=100-x x=155 某班统计考试成绩，数学得 90 分上的有 25 人;语文得 90 分以上的有 21 人;两科中至少有一科在 90 分以上的有 38 人。问两科都在 90 分以上的有多少人?答案 8解析 记 A 类元素为：数学得 90 分上的人数；记

10、 B 类元素为： 语文得 90 分以上的人数。AB = A+B - AB=25+21-38=86 某班同学中有 39 人打篮球，37 人跑步，25 人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?答案 51解析 记 A 类元素为：打篮球的人数；记 B 类元素为：跑步的人数。AB = A+B - AB=39+37-25=51B7、某车间有工人 100 人，其中有 5 个人只能干电工工作，有 77 人能干车工工作，86 人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人?答案 68解析 记 A 类元素为：能干车工工作的人数；记 B 类元素为：能干焊工工作的人数。设既能干车工

11、工作又能干焊工工作的有 x 人.AB = A+B - AB=77+86-x=100-5 x=688、 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有 23 人，参加语文小组的有 27 人，参加外语小组的有 18 人; 同时参加数学、语文两个小组的有 4 人，同时参加数学、外语小组的有 7 人，同时参加语文、外语小组的有 5 人;三个小组都参加的有 2 人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人?答案 54解析 记 A 类元素为：数学小组的人数；记 B 类元素为：语文小组的人数；记 C 类元素为：参加外语小组的人数。ABC = A+B+C - AB - BC - CA +AB

12、C=23+27+18-4-5-7+2=549、某大学有外语教师 120 名，其中教英语的有 50 名，教日语的有 45 名，教法语的有 40名，有 15 名既教英语又教日语，有 10 名既教英语又教法语，有 8 名既教日语又教法语，有 4 名教英语、日语和法语三门课，这三科都不教的有多少名？答案 14解析 记 A 类元素为：教英语的人数；记 B 类元素为：教日语的人数；记 C 类元素为：教法语的人数。设这三科都不教的有 x 名.ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=50+45+40-15-8-10+4=120-xX=1410、 某班有 35 个学生，每个学生至少参加英

13、语小组、语文小组、数学小组中的 个课外活动小组。现已知参加英语小组的有 17 人。参加语文小组的有 30 人，参加数学小组的有 13人。如果有 5 个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加两个小组?答案 30解析 记 A 类元素为：参加英语小组的人数；记 B 类元素为：参加语文小组的人数；记 C类元素为：参加数学小组的人数。ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=17+30+13-（ AB + BC +CA )+5=35 AB + BC +CA =30C11. 36名女生结伴购物，21人买了长裙，24人买了短裙，24人买了超短裙;14人买了长裙和短裙，15人买了短裙

14、和超短裙，13人买了长裙和超短裙;只有一位羞涩的小姑娘一条裙子都没买。请问，共有几名女生三种裙子都购买?答案7解析 记 A 类元素为：买了长裙的人数；记 B 类元素为：买了短裙的人数；记 C 类元素为：买了超短裙的人数。ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=21+24+24-14-15-13+ABC=36-1ABC=712.某进修班有 50 人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有 38 人,选修乙这门课有的 35 人,选修丙这门课的有 31 人,兼选甲、乙两门课的有 29 人,兼选甲、丙两门课的有 28人,兼选乙、丙两门课的有 26 人,甲、乙、丙三科均选的有

15、24 人.问三科均未选的人数?答案 5解析 记 A 类元素为：选修甲这门课的人数；记 B 类元素为：选修乙这门课的人数；记 C类元素为：选修丙这门课的人数。设三科均未选的人数为 xABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=38+35+31-29-26-28+24=50-xX=513.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63 人，准备参加英语六级考试的有 89 人，准备参加计算机考试的有 47 人，三种考试都准备参加的有 24 人，准备只选择两种考试都参加的有 46 人，不参加其中任何一种考试的有15 人。问接受调查的学生共有多少人？

16、答案 192解析 记 A 类元素为：参加注册会计师考试的人数；记 B 类元素为：参加英语六级考试的人数；记 C 类元素为：参加计算机考试的人数。设接受调查的学生共有 x 人ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=63+89+47-46+24=x-x-15X=19214.如图所示,A、B 、C 分别代表面积为 8、9、11 的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是 18,且 A 与 B,B 与 C,C 与 A 公共部分的面积分别是 5、3、4,求 A、B、C 三个图形公共部分(阴影部分)的面积.答案 2解析 设 A、B、C 三个图形公共部分 (阴影部分)的面积为

17、 xABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=8+9+11-5-3-4+x=18X=215. 某工作组有 12 名外国人,其中 6 人会说英语,5 人会说法语 ,5 人会说西班牙语;有 3 人即会说英又会说法,有 2 人既会说法又会说西;有 2 人既会说西又会说英;有 1 人这三种语言都会说. 则会说英语的人比一种语言都不会说的人多多少？答案 4解析 记 A 类元素为：会说英语的人数；记 B 类元素为：会说法语的人数；记 C 类元素为：会说西班牙语的人数。设一种语言都不会说的有 x 人ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=6+5+5-3-2-2+

18、1=12-x X=26-2=4A BC1 在 1100 的自然数中,是 5 的倍数或是 7 的倍数的数有个.答案 32解析 记 A 类元素为：在 1 至 100 中是 5 的倍数个数 A=100520记 B 类元素为：在 1 至 100 中能被 7 整除的数 B=100714.3 B 取整数 B=14AB=100352.8 B 取整数 B=2AB = A+B - AB=20+14-2=322 六一班有学生 46 人,其中会骑自行车的 17 人,会游泳的 14 人,既会骑车又会游泳的 4 人,问两样都不会的有人.答案 19解析 记 A 类元素为：会骑自行车的人数；记 B 类元素为：会游泳的人数；

19、设两样都不会的有 x 人.AB = A+B - AB=17+14-4=46-x x=193 某单位有青年员工 85 人，其中 68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有 12 人，则既会骑车又会游泳的有( )人A.57 B.73 C.130 D.69答案 A解析 记 A 类元素为：会骑自行车的人数；记 B 类元素为：会游泳的人数。AB = A+B - AB=68+62-AB=85-12 AB=574.一个班有 45 个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有 39 人,借数学课外书的有 32 人.语文、数学两种课外书都借的有多少人？答案

20、26 解析 记 A 类元素为：借语文课外书的人数；记 B 类元素为：借数学课外书的人数。AB = A+B - AB=38+32-AB=45AB=265 一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？答案 23解析 记 A 类元素为：数学得满分的人数；记 B 类元素为：语文得满分的人数。AB = A+B - AB=15+12-4=236 某班共有 30 名男生,其中 20 人参加足球队,12 人参加蓝球队,10 人参加排球队.已知没一个人同时参加 3 个队,且每人至少参加一个队,有 6 人既参加足球队又参

21、加蓝球队,有 2 人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.答案 4解析 记 A 类元素为：参加足球队的人数；记 B 类元素为：参加蓝球队的人数；记 C 类元素为：参加排球队的人数。设既参加足球队又参加排球队的有 x 人ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=20+12+10-6-2-x+0=30 X=41.四年级一班有 54 人，定阅小学生优秀作文和数学大世界两种读物的有 13 人，订阅小学生优秀作文的有 45 人每人至少订阅一种读物，订阅数学大世界的有多少人？（ ）A13 B22 C33 D41答案 B解析 记 A 类元素为：定阅小学生优秀作文

22、的人数；记 B 类元素为：定阅数学大世界的人数。设订阅数学大世界的有 x 人AB = A+B - AB=45+x-13=54 x=222. 五年级有 122 名同学参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有 65 人，数学成绩优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有多少人？ （）A 30 B35 C57 D65答案 A解析 记 A 类元素为：语文成绩优秀的人数；记 B 类元素为：数学成绩优秀的人数。设语文、数学都优秀的有 x 人 AB = A+B - AB=65+87-x=122 x=303. 学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有 24 人，会弹电

23、子琴的有 17人，其中两样都会的有 8 人。这个文艺组共有 人。答案 33解析 记 A 类元素为：会拉手提琴的人数；记 B 类元素为：会弹电子琴的人数。AB = A+B - AB=24+17-8=33 4. 某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的人有 23 人，两题都答对的有 15 人，个同学两道题都没有答对答案 3解析 记 A 类元素为：答对第一题的人数；记 B 类元素为：答对第二题的人数。AB = A+B - AB=25+23-15=33 36-33=35.现 有 50 名 学 生 都 做 物 理 、 化 学 实 验 ， 如 果 物 理 实 验 做 正 确

24、 的 有 40 人 ， 化 学 实 验 做 正 确 的有 31 人 ， 两 种 实 验 都 做 错 的 有 4 人 ， 则 两 种 实 验 都 做 对 的 有 人 。答案 25解析 记 A 类元素为： 物 理 实 验 做 正 确 的人数；记 B 类元素为： 化 学 实 验 做 正 确 的 人数。AB = A+B - AB=40+31-AB=50-4 AB=256. 某大学有外语教师 120 名，其中教英语的有 50 名，教日语的有 45 名，教法语的有 40名，有 15 名既教英语又教日语，有 10 名既教英语又教法语，有 8 名既日语又教法语，有4 名教英语、日语和法语三门课，则不交三门课的

25、外语教师有多少名？答案 14解析 记 A 类元素为：会说英语的人数；记 B 类元素为：会说日语的人数；记 C 类元素为：会说法语的人数。设一种语言都不会说的有 x 人ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=50+45+40-15-10-8+4=120-x X=147. A、B、C 三本书，至少读过其中一本的有 20 人，读过 A 书的有 10 人，读过 B 书的有 12人，读过 C 书的有 15 人，读过 A、B 两书的有 8 人，读过 B、C 两书的有 9 人，读过 A、C两书的有 7 人。三本书全读过的有多少人？答案 7解析 记 A 类元素为：读过 A 书的人数；记

26、 B 类元素为：读过 B 书的人数；记 C 类元素为：读过 C 书的人数。设三本书全读过的有 x 人ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=10+12+15-8-9-7+x=20 X=78. 对厦门大学计算机系 100 名学生进行调查，结果发现他们喜欢看 NBA 和足球、赛车。其中 58 人喜欢看 NBA；38 人喜欢看赛车，52 人喜欢看足球，既喜欢看 NBA 又喜欢看赛车的有 18 人，既喜欢看足球又喜欢看赛车的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则既喜欢看足球又喜欢看 NBA 的有多少人？答案 26解析 记 A 类元素为：喜欢看 NBA 的人数；记 B 类元素为：喜欢看赛车的人数；记 C 类元素为：喜欢看足球的人数。设既喜欢看足球又喜欢看 NBA 的有 x 人ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=58+38+52-18-16-x+12=100X=26课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：