小五数学第9讲：工程问题（教师版）—平谷王培珍

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1、第九讲 工程问题1 基本公式：工作总量=工作效率工作时间 工作效率=工作总量工作时间 工作时间=工作总量工作效率 2 解题关键： 这类题一般不给出总量，所以要把工作总量看做单位“1” ，那么工效=1/时间 3 用分数解工程问题的方法：把工作总量看作单位“1” 。 分别找出各自的工作效率和合作工作效率。 根据“工程总量工作效率和=合作的时间”列式解答。 4 基本题型普通合作问题、交替工作问题、功效变化问题、方程组型问题、水池注水问题熟记基本公式，把工作总量看作单位 1例 1、一项工作，甲独做 12 天完成，乙独做 20 天完成。甲乙合做 1 天完成全工程的几分之几？ 甲乙合做 3 天完成全工程的

2、几分之几？还剩几分之几没完成？甲乙合做几天可完成全工程？甲乙合做几天完成全工程的一半？甲乙合做 5 天后，余下的再由乙单独完成，还需几天？ 甲先做 2 天后，余下的乙也参加同做，还需几天完成？答案：2/15 2/5 3/5 15/2 15/4 20/3 75/12解析：甲乙合做 1 天完成全工程的 1/12 + 1/20=2/15 甲乙合做 3 天完成全工程的 2/15 3= 2/5 还剩 1-2/5=3/5 12/15=15/2 1/2 2/15 =15/4 甲乙合做 5 天完成 2/15 5=2/3 还剩 1-2/3=1/3 乙单独完成，还需 1/3 1/20 = 20/3 甲先做 2 天

3、完成 1/12 2=1/6 还剩 1-1/6=5/6 5/6 2/15 =75/12例 2、一堆沙子，甲车运完要 6 小时，乙车运完要 8 小时，丙车运完要 9 小时。甲、乙、丙三车合运 1 小时，可以运走这堆沙子的几分之几？甲、乙、丙同时合运几小时可运完？甲、乙、丙合运几小时，还剩这堆沙子的 2/3？甲、乙同时合运 3 小时后，丙也参加，还需几小时运完？答案： 29/72 72/29 24/29 9/29解析：甲车的工作效率为 1/6,乙车的工作效率为 1/8,丙车的工作效率为 1/9.甲、乙、丙三车合运 1 小时，可以运走这堆沙子的 1/6+1/8+1/9=29/72 129/72=72/

4、29 1/3 29/72 =24/29甲、乙同时合运 3 小时后完成 (1/6+1/8)3=7/8 ，1-7/8=1/81/8 29/72 = 9/29例 3 、一件工作，甲单独做 12 小时完成，乙单独做 9 小时可以完成。如果按照甲先乙后的顺序，每人每次 1 小时轮流进行，完成这件工作需要几小时？答案 ：31/3解析：设这件工作为“1” ，则甲、乙的工作效率分别是 1/12 和 1/9。按照甲先乙后的顺序，每人每次 1 小时轮流进行，甲、乙各工作 1 小时，完成这件工作的 7/36，甲、乙这样轮流进行了 5 次，即 10 小时后，完成了工作的 35/36，还剩下这件工作的 1/36，剩下的

5、工作由甲来完成，还需要 1/3 小时，因此完成这件工作需要 31/3 小时。例 4 甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工程需要 12 天。二队完成乙工程需要 15 天；在雨天，一队的工作效率要下降 40，二队的工作效率要下降10。结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？答案： 10解析：晴天，一队完成甲工程的工作效率为 1/12 ，二队完成乙工程的工作效率为 1/15，雨天，一队完成甲工程的工作效率为 1/1260%=1/20 ，二队完成乙工程的工作效率为1/1590=3/50 设雨天 x 天， （1-1/20x）1/12 = （1-3/50 x）1/

6、15 x= 10例 5 一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共 3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可完成，需付两组费用共3480 元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需 12 天完成，乙组单独做需 24 天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？ 答案：甲组单独做一天商店应付 300 元，乙组单独做一天商店应付 140 元。乙组单独做费用最少解析：(1)设甲组单独做一天商店应付 x 元，乙组单独做一天商店应付 y 元，依题意得：解得答：甲组单独做一天商店应付 300 元，乙组单独做一天商店应

7、付 140 元。(2)单独请甲组做，需付款 300123600 元，单独请乙组做，需付款241403360 元，故请乙组单独做费用最少。答：请乙组单独做费用最少。例 6 一个游泳池，甲管放满水需 6 小时，甲、乙两管同时放水，放满需 4 小时。如果只用乙管放水，则放满需多少小时？答案：12 小时解析：设游泳池放满水的工作量为 1，甲管放满水需 6 小时，则甲每小时完成工作量的 1/6甲、乙两管同时放水，放满需 4 小时，则甲乙共同注水，每小时可注游泳池的 1/4，则乙每小时注水的量为 1/41/61/12，则如果只用乙管放水，则放满需 12 小时。另法：甲乙同时放水需要 4 小时=甲 4 乙

8、4=甲 6 则乙=0.5 甲，需要 12 小时。A1、修一条路，甲队独修要 12 天，乙队独修要 15 天。两队合修，多少天可以完成？甲队先修 4 天后，剩下的由乙队来修，还要多少天才能修完？两队合修 5 天后，剩下的由甲队来修，还要多少天才能修完？答案：20/3 10 3解析：甲乙合修一天完成 1/12+1/15=3/2013/20=20/3甲队先修 4 天后完成 1/124=1/3 ，还剩 1-1/3=2/3，2/3 1/15 =10两队合修 5 天后完成 3/20 5=3/4，还剩 1-3/4=1/4，1/4 1/12 =32、一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成。现在甲

9、先做了 3 天，余下的工作由乙继续完成，乙还需要做几天可以完成全部工作？答案： 4解析： 甲的工作效率为 1/9，乙的工作效率为 1/6.甲先做了 3 天完成 1/9 3=1/3，还剩1-1/3=2/3. 2/3 1/6 = 43 一件工程，甲、乙合作天可以完成。现在甲、乙合作天后，余下的工程由乙独做又用天正好做完。这件工程如果由甲单独做，需要几天完成？答案：12解析：甲、乙合作天，甲 2 乙 2，剩下应该是甲 4 乙 4=乙 8.则甲=乙，所以甲单独完成需要甲 6+乙 6=12 天。4、加工一批零件，单独 1 人做，甲要 10 天完成，乙要 15 天完成，丙要 12 天完成。如果先由甲、 乙

10、两人合做 5 天后，剩下的由丙 1 人做，还要几天完成？ 答案： 2解析： 甲的工作效率 1/10，乙的工作效率 1/15，丙工作效率 1/12.甲、 乙两人合做 5 天后完成（1/10+1/15）5=5/6. 还剩 1-5/6=1/6，丙还需做 1/61/12=2 天5.甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要 20 小时，16 小时.丙水管单独开，排一池水要 10 小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5 小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时?答案：5解析：1/20+1/16=9/80 表示甲乙的工作效率9/805=45/80 表示 5 小时后进水量1-45/80=35/80

11、表示还要的进水量35/80(9/80-1/10)=35 表示还要 35 小时注满答：5 小时后还要 35 小时就能将水池注满。B6 一件工程，甲、乙合作天可以完成。现在甲、乙合作天后，余下的工程由乙独做又用天正好做完。这件工程如果由甲单独做，需要几天完成？答案： 12 解析：甲、乙合作天，甲 2 乙 2，剩下应该是甲 4 乙 4=乙 8.则甲=乙，所以甲单独完成需要 12 天。7、一项工作，甲、乙两人合作 8 天完成，乙、丙两人合作 9 天完成，丙、甲两人合作 18天完成。那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天？答案： 48解析： 甲、乙两人合作一天完成 1/8，乙、丙两人合作一天完成 1/

12、9，丙、甲两人合作一天完成 1/18，甲-丙=1/8-1/9=1/72，甲+丙=1/18，丙的工作效率=（1/18-1/72）2=1/48，完成这项工作需要 1 1/48=48 天8 有一条公路，甲队独修需 10 天，乙队独修需 12 天，丙队独修需 15 天，现在让三个队合修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了 6 天才把这条公路修完。当甲队撤出后，乙、丙两队一同合修了多少天才完成？答案： 34/15解析： 甲的工作效率=1/10，乙的工作效率=1/12， ,丙的工作效率=1/15设当甲队撤出后，乙、丙两队一同合修了 x 天才完成.(1/10+1/12+1/15)(6-x)+(1/12+1

13、/15)x=1 x=34/159 一件工程，甲、乙两人合作 8 天可以完成，乙、丙两人合作 6 天可以完成，丙、丁两人合作 12 天可以完成。那么甲、丁两人合作多少天可以完成？ 答案： 24解析： 总量为 1，工作效率 甲+乙=1/8，乙+丙=1/6，丙+丁=1/12，则甲+丁=1/8-1/6+1/12=1/24 甲、丁两人合作 11/24=24 天可以完成10 抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的 。如果三人合抄，只需 8 天就完成了，那么乙一人单独抄，51需要多少天才能完成？答案： 6解析：工作总量为 1，依题意，工作效率甲=

14、乙+丙，丙=（甲+乙）1/5，甲+乙+丙=1/8，代入得，乙=2 丙，代入得，乙+丙=1/4。由得乙=1/6 ，乙一人单独抄，需要 11/6=6 天才能完成。11 一份稿件,甲、乙、丙三人单独打各需 20、24、30 小时。现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用 12 小时全部完成。那么，甲只打了几小时？答案： 2解析：设打这份稿件的总工作量是“1” ，则甲、乙、丙三人的工作效率分别 1/20、1/24和 1/30。在甲中途撤出前后，其实乙、丙二人始终在打这份稿件，乙、丙 12 小时打了这份稿件的 9/10，还剩下稿件的 1/10，这就是甲打的。所以，甲只打了 2 小时。 C12 铺

15、设一条自来水管道，甲队单独铺设 8 天可以完成，而乙队每天可铺设 50 米。如果甲、乙两队同时铺设，4 天可以完成全长的 23，这条管道全长是多少米?A 1000 米 B 1100 米 C 1200 米 D 1300 米 答案： C解析：设乙需要 X 天完成这项工程，依题意可列方程（1/8+1/X）4=2/3 解得 X=24也即乙每天可完成总工程的 1/24，也即 50 米，所以管道总长为 1200 米。所以，正确答案为 C。另法：甲 4 天完成 1/2，乙 4 天完成 200 米=1/6，全长 1200 米。13.两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要 2 小时，而点完一根细蜡烛要 1 小时，一

16、天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来电了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的 2 倍，问：停电多少分钟?答案：40 分钟。解析：设停电了 x 分钟根据题意列方程1-1/120*x=(1-1/60*x)*2解得 x=4014.一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完工;如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需 17 天完成，甲单独做这项工程要多少天完成?答案：8.5解析：由题意可知1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲=11/乙+1/甲+

17、1/乙+1/甲+1/乙+1/甲0.5=1(1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多 0.5 天)1/甲=1/乙+1/甲0.5(因为前面的工作量都相等)得到 1/甲=1/乙2又因为 1/乙=1/17所以 1/甲=2/17，甲等于 172=8.5 天15.修一条水渠，单独修，甲队需要 20 天完成，乙队需要 30 天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划 16 天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天?答案：10解析：由

18、题意得，甲的工效为 1/20，乙的工效为 1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10=7/100，可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效。又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16 天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。设合作时间为 x 天，则甲独做时间为(16-x)天1/20*(16-x)+7/100*x=1x=10答：甲乙最短合作 10 天16 一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙.若同时开放甲、丙两管，20 小时可将满池水排空；若同时开放乙、丙两水管，30 小时可将满池水排空，若单独开丙管，60 小时可

19、将空池注满.若同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需几小时？ 答案：10解析：工程问题最好采用方程法。由题可设甲 X 小时排空池水，乙 Y 小时排空池水，则可列方程组1/X-1/60=1/20 解得 X=151/Y-1/60=1/30 解得 Y=20则三个水管全部打开，则需要 1（1/15+1/20-1/60）=10所以，同时开启甲、乙、丙三水管将满池水排空需 10 小时。1.师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了 1/2 时，徒弟完成了 120 个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了 4/5 这批零件共有多少个?答案：300 个解析：120(4/52)=300 个可以这样想：师傅第一

20、次完成了 1/2，第二次也是 1/2，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了 4/5，可以推算出第一次完成了 4/5 的一半是 2/5，刚好是 120 个。2.一件工作，甲、乙合做需 4 小时完成，乙、丙合做需 5 小时完成。现在先请甲、丙合做2 小时后，余下的乙还需做 6 小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时?答案： 20解析：由题意知，1/4 表示甲乙合作 1 小时的工作量，1/5 表示乙丙合作 1 小时的工作量(1/4+1/5)2=9/10 表示甲做了 2 小时、乙做了 4 小时、丙做了 2 小时的工作量。根据“甲、丙合做 2 小时后，余下的乙还需做 6 小时完成”可知甲做 2 小

21、时、乙做 6 小时、丙做 2 小时一共的工作量为 1。所以 1-9/10=1/10 表示乙做 6-4=2 小时的工作量。1/102=1/20 表示乙的工作效率。11/20=20 小时表示乙单独完成需要 20 小时。答：乙单独完成需要 20 小时。3.某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天?答案：6 天解析：由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知：乙做 3 天的工作量=甲 2 天的工作量即：甲乙的工作效率比是 3：2甲

22、、乙分别做全部的的工作时间比是 2：3时间比的差是 1 份实际时间的差是 3 天所以 3(3-2)2=6 天，就是甲的时间，也就是规定日期方程方法：1/x+1/(x+2)2+1/(x+2)(x-2)=1 解得 x=64. 小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 答案：选乙解析：设甲、乙两公司每周完成总工程的 和 ，由题意得：， 解得：所以甲、乙单独完成这项工程分别需要 10 周

23、、15 周。设需要付甲、乙每周的工钱分别是 万元， 万元，根据题意得：，解得：故甲公司单独完成需工钱： （万元）；乙公司单独完成需工钱： （万元）。 答：甲公司单独完成需 6 万元，乙公司单独完成需 4 万元，故从节约的角度考虑，应选乙公司单独完成. 5 、甲乙两根进水管，单开甲管 10 小时注满水池，单开乙管 15 小时注满水池，若两管齐开，几小时可注满水池？答案： 6解析：单开甲管每小时注入 1/10，单开乙管每小时注入 1/15,两管齐开每小时注入1/10+1/15=1/6 注满水池需 11/6=66 一个池上装有 3 根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20 分钟可将满池水放完，丙管也

24、是出水管，30 分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了 18 分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完?答案: 45 分钟。解析：1(1/20+1/30)=12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。1/12*(18-12)=1/12*6=1/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了 6 分钟的水，也就是甲 18 分钟进的水。1/218=1/36 表示甲每分钟进水最后就是 1(1/20-1/36)=45 分钟。1 .一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽 6 棵;如果单份给女生栽，平均每人栽 10 棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵

25、?答案: 15 棵解析：1(1/6-1/10)=15 棵2 蓄水池有甲丙两条进水管和乙丁两台排水管。要注满一池水，单开甲管要 3 小时，单开丙管要 5 小时。要排光一池水，单开乙管要 4 小时，单开丁管要 6 小时。现知池内有 1/6池水，如果按甲乙丙丁、甲乙丙丁的顺序轮流各开一小时，问多少时间后，水开始溢出水池？ 答案： 20.75解析：甲乙丙丁四条水管各开一个小时以后，也就是一个轮回，水池的水量是： （1/3+1/5）-（1/4+1/6）=7/60； 当 N 个轮回结束，水池水量超过 2/3 时候，再单独开甲就要有水溢出。1/6+N 7/60=2/3 解得 N4.3，取 N=51-1/6-

26、5 7/60=1/4 需要 3/4 小时。则总时间为 45+3/4=20.753 一项工程，甲独做需 10 天，乙独做需 15 天，如果两人合做，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的 54，乙只能完成原来的 ，现在要 8 天完成这项工程，两人合作109天数尽可能少，那么两人要合作多少天？答案： 5解析：甲单独做的工作效率为 1/10, 乙单独做的工作效率为 1/15。甲乙合作后，甲的工作效率为 1/10 4/5 =2/25 ，乙的工作效率为 1/15 9/10 =3/50 ，甲乙合作每小时完成 2/25+3/50=7/50。甲的速度比乙快，正确做法甲单独做+两人合作，设两人要合作 x 天,

27、则 1/10（8-x）+ 7/50x=1 x=54 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。问：甲队干了多少天？答案： 12解析：甲的工作效率为 1/36，乙的工作效率为 1/45，乙队做了 18 天完成 1/4518=2/5甲乙共完成了 1-2/5=3/5，甲乙合作 3/5（1/36+1/45）=125 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了 6 天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？答案： 3

28、解析： 甲的工作效率=1/10，乙的工作效率=1/15，丙的工作效率=1/20；甲乙丙合作一天完成 1/10+1/15+1/20=13/60；乙丙合作一天完成 1/15+1/20=7/60；设甲队实际工作了 x 天，13/60（6-x）+7/60 x=1 x=36 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做 60 个零件。这批零件共有多少个？答案： 300解析： 把工作总量看作单位 1，则张师傅的工作效率为 1/20，王师傅的工作效率为 1/30.张师傅王张师傅完成总量需 1（1/20+1/30）=12 小时。张师傅比王师傅多

29、做（1/20-1/30）12=1/5. 这批零件共有 601/5=300 个7 搬运一个仓库的货物，甲需要 10 小时，乙需要 12 小时，丙需要 15 小时.有同样的仓库A 和 B，甲在 A 仓库、乙在 B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？答案： 丙帮助甲、乙各 3 小时，5 小时解析： 根据题意三个人一共完成两个仓库的任务，因三个人自始至终都在工作，所用时间2（1/10+1/12+1/15）=8 小时，在这个工程甲完成一个仓库的 1/108= 4/5 ，则丙运这个仓库的 1-4/5=1/5，丙帮甲用了 1/51/15=3 小时，则帮乙工作 8-3=5 小时。8 一部书稿，甲单独打字要 14 小时完成，乙单独打字要 20 小时完成。如果先由甲打 1 小时，然后由乙接着甲打 1 小时，再由甲接替乙打 1 小时，两人如此交替工作。那么，打完这部书稿时，甲、乙二人共用了多少小时？答案： 16.4解析： 甲的工作效率 1/14，乙的工作效率 1/20，甲乙工作一小时完成1/14+1/20=17/140，甲乙完成 8 个交替后，还剩 1-17/1408=1/35，甲在需 1/351/14=2/5甲乙共用 82+2/5=16.4 小时课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：