小五数学第6讲组合（教师版）——张艳宏

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1、第 6 讲 组合组合定义：一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个（mn）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.从 n 个不同元素中取出 m 个元素（mn）的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个不同元素的组合数.记作 .nC一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素排成一列的排列数 可以分两步求得：mnP第一步：从 n 个不同元素中取出 m 个元素组成一组，共有 种方法；

2、nC第二步：将每一个组合中的 m 个元素进行全排列，共有 种排法.m故由乘法原理得到： ，因此 这nPCn1231mnPmn就是组合数公式.一般地，组合数有下面的重要性质： （mn）nC规定 1， 1.nC0n教学重点: 掌握组合应用题 教学难点：正确利用加法原理、乘法原理，计算出所要求的组合钟数 负数数学家、生物学家和物理学家坐在街头咖啡屋里，看着人们从街对面的一间房子走进走出。他们先看到两个人进去，时光流逝，他们又看到三个人出来。物理学家:“测量不够准确。”生物学家：“他们进行了繁殖。 ”数学家:“如果现在再进去一个人，那房子就空了。 ”1 某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间.那么，

3、船票共有几种价格（往返票价相同）？分析：这个问题实际上可以这样分两步完成：第一步是从三个城市中选两个城市，是一个组合问题，由组合数公式，有取 法.第二步是将取出的两个城市进行排列，由全排列公23C式，有 种排法，所以，由乘法原理得到 .故有： （32）2P232P232PC23 种价格. 答案：3 种。2. 计算：26C46C解析：组合计算解： 1526 1523463 计算： ； ； 19820C56C解析：组合计算解： =1540 1980202564 从分别写有 1、3、5、7、9 的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：有多少个不同的乘积？有多少个不同的乘法算式？分析 中

4、，要考虑有多少个不同乘积.由于只要从 5 张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题.中，要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题.解：由组合数公式，共有 个不同的乘积.1025PC由排列数公式，共有 5420 种不同的乘法算式.255 在一个圆周上有 10 个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的直线段，三角形，四边形？分析 由于 10 个点全在圆周上，所以这 10 个点没有三点共线，故只要在 10 个点中取 2 个点，就可以画出一条线段；在

5、 10 个点中取 3 个点，就可以画出一个三角形；在 10 个点中取 4 个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题.解：由组合数公式. 45210CP 10310 2410CP6 如下图，问：下左图中，共有多少条线段？下右图中，共有多少个角？分析 中，在线段 AB 上共有 7 个点（包括端点 A、B）.注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而 C27 表示从 7个点中取两个不同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有 C27 条线段.中，从 O 点出发的射线一共有 11 条，它们是 OA， OP1，OP 2，OP 3，OP9

6、，OB.注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从 11 条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角.显然，是组合问题，共有 C211 种不同的取法，所以，可组成 C211 个角.解：由组合数公式知，共有 条不同的线段；127P由组合数公式知，共有 521CA1.计算： ； ；315C19820C答案：455； 1998000；2.从分别写有 1、2、3、4、5、6、7、8 的八张卡片中任取两张作成一道两个一位数的加法题.问：有多少种不同的和？有多少个不同的加法算式？答案： 28； 56.3.某班毕业生中有 10 名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？答案：

7、 45.4.在圆周上有 12 个点.过每两个点可以画一条直线，一共可以画出多少条直线？过每三个点可以画一个三角形，一共可以画出多少个三角形？答案： 66； 220.5. 5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为多少种？答案： 240 种B1. 计算： 1098102C45312C答案：4948； 2302有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？答案： 433. 有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？答案： 34. 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多

8、少种？答案：共有 72 种。.5. 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？答案:3600 C1. 7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有_种（用数字作答） 。解析： 37410C，答案：1402.将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答） 答案 363 某校举行排球单循环赛，有 12 个队参加.问：共需要进行多少场比赛？答案： 由组合数公式知，共需进行 场比赛.621C4 某班要在 42 名同学中选出 3 名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在 4

9、2 人中选 3 人站成一排，有多少种站法？答案： 688805、由 0，1，2，3，4，5 这六个数字。（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（3）能组成多少个无重复数字且被 25 个整除的四位数？（4）组成无重复数字的四位数中比 4032 大的数有多少个？答案：（1）300(2)156 (3)21 (4)1121 由数字 0、1、2、3 可以组成多少个没有重复数字的偶数？答案：27 个 2. 国家举行足球赛，共 15 个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组 8 个队，第二组 7 个队.各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）.然后再由各

10、组的前两名共 4 个队进行单循环赛，决出冠亚军.问：共需比赛多少场？如果实行主客场制（即A、B 两个队比赛时，既要在 A 队所在的城市比赛一场，也要在 B 队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？答案：110 场3 在一个半圆周上共有 12 个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？四边形？答案：210 个 420 个4. 如下图，问下左图中，有多少个长方形（包括正方形）？下右图中，有多少个长方体（包括正方体）？答案：左图中共有 210 个长方形.右图中共有 900 个长方体.5甲、乙、丙、丁 4 人各有一个作业本混放在一起，4 人每人随便拿了一本，问：甲拿到自己作业本的拿法有多少种

11、？恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有多少种？谁也没有拿到自己作业本的拿法有多少种？解： 6 8 23 91计算： ； 384C682CP答案：224； 28.2.由数字 0、1、2、3、4 可以组成多少个三位数？没有重复数字的三位数？没有重复数字的三位偶数？小于 1000 的自然数？答案：100； 48； 30； 124.3. 将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法？答案： 44. 从 15 名同学中选 5 人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？某两人必须入选；某两人中至少有一人入选；某三人中恰入选一人；某三人不能同时

12、都入选.答案： 286； 1716； 1485； 2937. 5.如右图，两条相交直线上共有 9 个点，问：一共可以组成多少个不同的三角形？答案：60.6.计算下左图中有多少个梯形？答案： 225；26C7.计算下右图中有多少个长方体？答案 1500.25C6258.七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？七个人排成一排；七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；七个人排成一排，某两人必须站在两头；七个人排成一排，某两人不能站在两头；七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排.答案：5040；1440；240； 2400； 2880.课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：