小五数学第19讲：定义新运算（教师版）-黄庄张志焱

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1、第十九讲定义新运算一、 定义新运算（1） 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。（2） 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。（3） 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。（4） 注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：、等.如：235 236都是 2 和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这

2、个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“”，“”，“”，“”运算不相同.二、 定义新运算分类（1） 直接运算型（2） 反解未知数型（3） 观察规律型（4） 其他类型综合（1） 正确理解新运算的规律。（2） 把不熟悉的新运算变化成我们熟悉的运算。（3） 新运算也要遵守运算规律。例 1.规定 a*b=(ba)b，求(2*3)*5。答案：100。 解析：(2*3)*5= (32)3*5=15*5=(515)5=100例 2.对于数 a， b， c， d，规定a， b

3、， c，d=2ab-cd。已知1，3，5，x=7，求 x 的值。答案：6。解析：1，3， 5，x213-5x1x。例 3.如果 ab 表示(a-2)b，例如 34=(3-2)4=4， 那么当( a2)3=12 时， a 等于几？答案：5。解析：（a2）3=（a2）23（2a4）3（2a-4-2）36a-18，由 6a-18=12，解得 a=5。例 4. 答案：6。解析：x。55。x（3x-25）-（35-2x）5x-25，由 5x-255，解得 x6。例 5.对于任意的两个自然数 a 和 b，规定新运算“*”：a*ba(a1)(a2)(ab-1)。如果(x*3)*23660，那么 x 等于几？

4、答案：3。解析：a*b 的含意为，从 a 开始的 b 个连续自然数相乘。由 36606061知，x*3=60。三个连续自然数的乘积等于 60。只有 345，得到 x3。例 6.有 A，B，C，D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置 A将输入的数加上 5；装置 B将输入的数除以 2；装置 C将输入的数减去 4；装置 D将输入的数乘以 3。这些装置可以连接，如装置 A 后面连接装置 B 就写成 AB，输入 1 后，经过 AB，输出 3。(1)输入 9，经过 ABCD，输出几？(2)经过 BDAC，输出的是 100，输入的是几？(3)输入 7，输出的还是 7，用尽量少的装置该怎样连

5、接？答案：（1）9；（2）66；（3）CDAB。解析：（2）（1004）532=66。A1. 定义运算“” 如下: 对于两个自然数 a 和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为ab.比如:10 和 14,最小公倍数为 70,最大公约数为 2,则 1014=70-2=68.求 1221,515;答案：81,10 。2. 两个不等的自然数 a 和 b,较大的数除以较小的数,余数记为 ab,比如 52=1,725=4,68=2. 求 19912000,(519)19,(195)5;答案：9,3,1。3. 如果 、 、 是 3 个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即abc ab； 。()()ab

6、c现在规定一种运算“*“，它对于整数 a、 b、c 、d 满足：(,)*,(,)cdd。例： 4375)4357(43,1)请你举例说明，“*“运算是否满足交换律、结合律。答案：不满足。4.“华” 、“ 杯”、 “赛”三个字的四角号码分别是 “2440”、“4199”和“3088” ，将“华杯赛” 的编码取为 244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9 的补码，例如：0 变 9，1 变 8 等，那么“华杯赛”新的编码是_.答案：254948903981。5. 对于任意的两个自然数 和 ，规定新运算 ： abab，其中 、 表示自然数.求 1 100

7、 的值；已知(1)2)(1)aab10 75，求 为多少？xx答案：5050 ；3。B6. 已知： 103=14， 87=2， ，根据这几个算式找规律，如果 431 =1，那么 =.85x答案：1 /8。7. 国际统一书号 ISBN 由 10 个数字组成，前面 9 个数字分成 3 组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前 9 个数字按照一定的顺序算得。如：某书的书号是 ISBN 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是：7101908771675544332207 ；20711189； 1192 。这里的 2 就是该书号的核检码。依照上面的顺序

8、，求书号 ISBN-7-303-07618-的核检码。答案：2。8. 对于任意两个数 ，定义新运算和 ，规则如下： = ，x和 yxy2.如： = ， .由此计算： 3xy12123.03614_.2答案：17/25 。9. 对于任意两个数 ，定义新运算，运算规则如下： = ，,xyxy2x.按此规则计算： =_, 2xy3.62.0127.548_.答案：5.4;188/165。10. 用 表示 的小数部分， 表示不超过 的最大整数。例如：aaa记 ，请计算0.3,.0;4.5,.42()1xf的值。1,1,ffff答案：0.4；0 。C11. 表示成 ; 表示成 .试求下列642264f2

9、332435g的值: (1) 18f(2) (6)g(3) ;(276f(4)如果 x, y 分别表示若干个 2 的数的乘积, 试证明: . ()()fxyfy答案：7;81;8;略。12. 对于任意有理数 x, y,定义一种运算 “”，规定:xy= ,其中的 表示已知axbyc,abc数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道 12=3,2 3=4,xm=x(m0),则 m 的数值是 _。答案：-4。13. 两个不等的自然数 a 和 b,较大的数除以较小的数,余数记为 ab,比如 52=1,725=4,68=2. (1)已知 11x =2,而 x 小于 20,求 x; (2)已知(19x)

10、19=5, 而 x 小于 50,求 x. 答案：3,9,13;12 ，26，33，45。14. 设 a,b 是两个非零的数 ,定义 ab . (1)计算(23)4 与 2(3 4).(2)如果已知 a是一个自然数,且 a3=2, 试求出 a 的值. 答案：407/312,49/600;3。15. 定义运算“ ”如下: 对于两个自然数 a 和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为ab. 比如:10 和 14,最小公倍数为 70,最大公约数为 2,则 1014=70-2=68.已知 6x=27,求x 的值.答案：15。1. 定义运算“”如下：对于两个自然数 a 和 b，它们的最大公约数与最小公

11、倍数的和记为 ab。例如： 4 6=(4，6)4，6=212=14。 根据上面定义的运算， 1812 等于几？答案：42。2.两个整数 a 和 b，a 除以 b 的余数记为 a7 b。例如，13 5=3。根据这样定义的运算，(26 9) 4 等于几？答案：0。 3. 规定：符号“”为选择两数中较大的数的运算，“ ”为选择两数中较小的数的运算，例如，35=5，3 5=3。请计算下式： (70 3)5 5 (37)。答案：25。4. 规定： 6* 2=666=72， 2*3=222222=246， 1*4=1111111111=1234。求 7*5。答案：86415。 5. 如果用 (a)表示 a

12、 的所有约数的个数，例如 (4)=3，那么 (18)等于几？答案：4。1. 如果 12111，23222222 ，343333333333计算 （32）5。答案：180。2. 规定新运算，ab=3a-2 b.若 x(4 1)=7,则 x=. 答案：9。3. 规定 , 计算：（2 1） （1110） _.ab(2)(1ab 答案：505。4. 规定:62=6+66=72，23=2+22+222=246,14=1+11+111+1111=1234. 75= 答案：86415。5. 如图 2 一只甲虫从画有方格的木板上的 A 点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B，图 1 中的路线对应下面的算式：

13、 .请在图 2 中用粗线画出对应12126于算式： 的路线 2BAABBA答案：如上右图所示。6. “”表示一种新的运算符号，已知：23 ；72 ； 35348，按此规则，如果 n8 68，那么，n _.34567答案：5。7. 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号表示：羊羊=羊；羊狼= 狼；狼羊=狼；狼 狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号表示：羊羊=羊；羊狼=羊；狼羊=羊；狼狼= 狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼求下式的结果：羊( 狼羊) 羊(狼狼 ) 答案：狼。8. 一个数 n 的数字中为奇数的那些数字的和记为 ，为偶数的那些数字的和记为 ，SnEn例如 ， 134S134E； 2(0)S ()210E答案：501；400。课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：