小五数学第十五讲:牛吃草(教师版)——刘文静.doc
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1、第十五讲 牛吃草问题牛吃草问题是牛顿问题,因牛顿提出而得名的。“一堆草可供 10 头牛吃 3 天,供 6 头牛吃几天?”这题很简单,用 3106=5(天),如果把“一堆草 ”换成“一片正在生长的草地”,问题就不那么简单了。因为草每天走在生长,草的数量在不断变化。这类工作总量不固定(均匀变化)的问题就是“牛吃草”问题。解题思路培养:解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,因为是匀速生长,所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草,问题就容易解决了。掌握四个基本:公式解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是 假设定一头牛一
2、天吃草量为“1” 1)草的生长速度(对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数 吃的较少天数)(吃的较多天数吃的较少天数); 2)原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数; 3)吃的天数原有草量(牛头数草的生长速度); 4)牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。 1.牧场上有一片牧草,可供 27 头牛吃 6 周,或者供 23 头牛吃 9 周。如果牧草每周匀速生长,可供 21 头牛吃几周?答案:12 周解析:276=162239=207207-162=4545/(9-6)=15 每周生长数162-156=72(原有量)72/(21-15)=12 周2.有一口水井,如果水位降低,水就不断地匀速涌出,且到
3、了一定的水位就不再上升。现在用水桶吊水,如果每分吊 4 桶,则 15 分钟能吊干,如果每分钟吊 8 桶,则 7 分吊干。现在需要 5 分钟吊干,每分钟应吊多少桶水?答案:11 桶解析:415=6087=5660-56=44/(15-7)=0.5(每分钟涌量)60-150、5=52、5(原有水量)52、5+/(50.5)/5=11 桶3.有一片牧草,每天以均匀的速度生长,现在派 17 人去割草,30 天才能把草割完,如果派 19 人去割草,则 24 天就能割完。如果需要 6 天割完,需要派多少人去割草?答案:49 人解析:1730=5101924=456510-456=5454/(30-24)=
4、9 每天生长量510-309=240 原有草量 240+69=294294/6=49 人4.有一桶酒,每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒,现在这桶酒如果给 6 人喝,4 天可喝完;如果由 4 人喝,5 天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天?答案:4 人解析:64=2445=2024-20=44/(5-4)=4 每天漏掉数24+44=40 原有数这桶酒每天漏掉的酒可供 4 人喝一天5.一水库存水量一定,河水均匀入库。5 台抽水机连续 20 天可抽干;6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干。若要 6 天抽干,需要多少台同样的抽水机?答案:12 台解析:520=100615=90100-90=1
5、010/(20-15)=2 每天入库数100-202=60 原有库存数 60+26=7272/6=12 台6.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶,小明和小红要从扶梯上楼,已知小明每分钟走 20 梯级,小红每分钟走 14 梯级,结果小明 4 分钟到达楼上,小红用 5 分钟到达楼上,求扶梯共有多少级?答案:120解析:204=80145=7080-70=1010/(5-4)=10 每分钟减少数80+410=120 原有数 70+510=120A1.牧场上长满了牧草,牧草每天匀速生长,这片牧草可供 10 头牛吃 20 天,可供 15头牛吃 10 天。问:这片牧草可供 25 头牛吃多少天? 答案:5 天解
6、析:假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的生长量:(200-150)(20-10)=5 份 1020=200 份原草量+20 天的生长量 原草量:200-205=100 或 150-105=100 份 1510=150 份原草量+10 天的生长量 100(25-5)=5 天2.牧场上长满了青草,而且每天还在匀速生长,这片牧场上的草可供 9 头牛吃 20 天,可供15 头牛吃 10 天,如果要供 18 头牛吃,可吃几天?解析:假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的生长量:(180-150)(20-10)=3 份920=180 份原草量+20 天的生长量 原草量:1
7、80-203=120 份 或 150-103=120份1510=150 份原草量+10 天的生长量 120(18-3)=8 天3.由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天,或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算,可供多少头牛吃 10 天?解析:假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的减少量:(100-90)(6-5)=10份205=100 份原草量-5 天的减少量 原草量:100+510=150 或 90+610=150 份156=90 份原草量-6 天的减少量 (150-1010)10=5 头4.由于天气逐渐寒
8、冷,牧场上的牧草每天以均匀的速度减少,经测算,牧场上的草可供 30头牛吃 8 天,可供 25 头牛吃 9 天,那么可供 21 头牛吃几天? 解析:假设 1 头牛 1 天吃的草的数量是 1 份 草每天的减少量:(240-225)(9-8)=15份308=240 份原草量-8 天的减少量 原草量:240+815=360 份或 220+915=360 份259=225 份原草量-9 天的减少量 360(21+15)=10 天5.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走 20 级梯级,女孩每分钟走 15 级梯级,结果男孩用了 5 分钟到达楼上,女孩用了 6分钟到达
9、楼上。问:该扶梯共有多少级? 解析:男孩:205 =100(级) 自动扶梯的级数-5 分钟减少的级数女孩;156=90(级) 自动扶梯的级数-6 分钟减少的级数每分钟减少的级数=(205-156) (6-5)=10(级)自动扶梯的级数=205+510=150(级)B6.两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走,男孩每秒可走 3 级阶梯,女孩每秒可走 2 级阶梯,结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒,女孩走了 300 秒。问该扶梯共有多少级?解析:3100=300 自动扶梯级数+100 秒新增的级数2300=600 自动扶梯级数+300 秒新增的级数每秒新增的级数:(2300-3100)
10、(300-100)=1.5(级)自动扶梯级数=3100-1001.5=150(级)7.有一片牧场,操每天都在匀速生长(每天的增长量相等),如果放牧 24 头牛,则 6 天吃完草,如果放牧 21 头牛,则 8 天吃完草,设每头牛每天的吃草量相等,问:要使草永远吃不完,最多只能放牧几头牛?解析:假设 1 头 1 天吃 1 个单位24*6=14421*8=168168-144=24每天长的草可供 24/2=12 头牛吃最多只能放 12 头牛8.有一片草地,草每天生长的速度相同。这片草地可供 5 头牛吃 40 天,或 6 供头牛吃 30天。如果 4 头牛吃了 30 天后,又增加 2 头牛一起吃,这片草
11、地还可以再吃几天?解析:假设 1 头 1 天吃 1 个单位5*40=200;6*30=180200-180=20每天长的草:20/(40-30)=2原有草:200-2*40=1204*30=120 ,30*2=60 60/4=15 天9.假设地球上新增长资源的增长速度是一定的,照此推算,地球上的资源可供 110 亿人生活 90 年,或可供 90 亿人生活 210 年,为了人类不断繁衍,那么地球最多可以养活多少亿人?解析:假设 1 亿人头 1 天吃 1 个单位110*90=9900;90*210=1890018900-9900=90009000/(210-90)=7510.两只蜗牛由于耐不住阳光
12、照射,从井顶走向井底,白天往下走,一只蜗牛一个白天能走 20 分米,另一只只能走 15 分米;黑夜里往下滑,两只蜗牛下滑速度相同,结果一只蜗牛 5 昼夜到达井底,另一只却恰好用了 6 昼夜。问井深是多少?解析:205=10015*6=90100-90=1010/(6-5)=10 黒夜下滑数100+510=150156+106=150C11.李村组织农民抗旱,从一个有地下泉的池塘担水浇地。如果 50 人担水,20 小时可把池水担完。如果 70 人担水,10 小时可把池水担完。现有 130 人担水,几小时可把池水担完?解析:5020=10007010=7001000-700=300300/(20-
13、10)=30 每小时增加 1000-3020=400 原有400/(130-30)=4 小时12.一片青草地,每天都匀速长出青草,这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头牛吃 9 周,那么这片草地可供 21 头牛吃几周?解析:这片草地上的草的数量每天都在变化,解题的关键应找到不变量即原来的草的数量。因为总草量可以分成两部分:原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变,但应注意到是匀速生长,因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。假设 1 头牛一周吃的草的数量为 1 份,那么 27 头牛 6 周需要吃 276=162(份),此时新草与原有的草均被吃完;23 头牛 9 周需吃 239=20
14、7(份),此时新草与原有的草也均被吃完。而 162 份是原有的草的数量与 6 周新长出的草的数量的总和; 207 份是原有的草的数量与 9 周新长出的草的数量的总和,因此每周新长出的草的份数为:( 207-162)(9-6)=15(份),所以,原有草的数量为:162-156=72 (份)。这片草地每周新长草 15 份相当于可安排 15 头牛专吃新长出来的草,于是这片草地可供 21 头牛吃 72(21-15)12(周) 13.一块 1000 平方米的牧场能让 12 头牛吃 16 个星期,或让 18 头牛吃 8 个星期,那么一块 4000 平方米的牧场 6 个星期能养活多少头牛?解析:1216-1
15、88=192-144=4848/(16-8)=6 每星期生长数192-166=96 原有数 96+66=132132/6=22224=88 头14.有一只船有一个漏洞,水用均匀的速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果用 12 个人淘水,3 小时可以淘完。如果只有 5 个人淘水,要 10 小时才能淘完。现在要想2 小时淘完,需要多少人?解析:123=36510=5050-36=1414/(10-3)=2 每小时增加数36-32=30 原有 30+22=3434/2=17 人15.有一个水井,水不断由泉涌出,井满则溢出。若用 4 台抽水机,15 小时可把井水抽干。若用 8 台抽水机,7 小时
16、可把井水抽干。现在要用几台抽水机,能 5 小时把井水抽干?解析:415=6087=5660-56=44/(15-7)=0.560-150.5=52.552.5+50.5=5555/5=11 台1. 一片草地,每天都匀速长出青草。如果可供 24 头牛吃 6 天,或 20 头牛吃 10 天吃完。那么可供 19 头牛吃几天?答案:12 天解析:6 天时共有草:24614410 天时共有草:2010200草每天生长的速度为:(200144)(106)14原有草量:14461460可供 19 头牛: 60(1914)12(天)2.牧场有一片青草,每天生成速度相同。现在这片牧场可供 16 头牛吃 20 天
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