小学五年级第十八讲：用方程问题解决路程问题（教师版）--顺义马兰雪

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1、第十八讲 方程法解行程1、方程方程：含有未知数的等式叫做方程。如 4x-3=21，6x-2(2x-3)=20方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。如上式解得 x=6解方程：求方程的解的过程叫做解方程。解方程的步骤：1、去括号：（1）运用乘法分配律；（2）括号前边是“” ，去掉括号要变号；括号前边是“” ，去掉括号不变号。2、移项：法 1运用等式性质，两边同加或同减，同乘或同除；法 2符号过墙魔法，越过“=” 时，加减号互变，乘除号互变。注意两点：（1）总是移小的；（2）带未知数的放一边，常数值放另一边。3、合并同类项：未知数的系数合并；常数加减计算。4、系数化为 1：利用同乘或同除，使

2、未知数的系数化为 1。5、写出解：未知数放在“=”左边，数值（即解）放右边；如 x=66、验算：将原方程中的未知数换成数，检查等号两边是否相等！注意：（1）做题开始要写“解：” （2）上下“=”要始终对齐二、列方程解应用题的基本步骤1.设未知数 应认真审题，分析题中的数量关系，用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。2.寻找相等关系 可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。3.列方程 列方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。4.解

3、方程 方程的变形应根据等式性质和运算法则。5.写出答案 检查方程的解是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。三、解行程问题的应用题要用到路程、速度、时间之间的关系。如果用 s、v、t 分别表示路程、速度、时间，那么 s、v、t 三个量的关系为 s= vt ，或 v= st ，或 t= sv 。四、相遇问题1.相向而行同时出发到相遇时甲、乙两人所用的时间 相等 。2.基本公式：速度和相遇时间相遇路程五、追击问题1.同向而行同时出发到相遇（即追击）时，甲、乙两人所用的时间 相等 。2.基本公式：速度差追击时间追击路程1、 理解什么是方程，并会解方程。2、会画线段图分析相遇、追击问题，并能根

4、据线段图找出等量关系3、会列方程解决此类问题例 1、x-5=13 解： x-5+5=13+5 x=18 例 2、 3(x+5)-6=18解： 3x+35-6=183x+15-6=183x+9=183x=18-93x=9x=93x=3例 33(x+5)-6=5(2x-7)+2解: 1.去括号： 3x+35-6=52x-57+23x+15-6=10x-35+2 3x+9=10x-33 2.移项： 33+9=10x-3x （注意：移小的，如-33, 3x）3.合并同类项： 42=7x 4.系数化为 1： 427=7x7 6=x5.写出解： x=6 6.验算：3(6+5)-6=5(2x6-7)+231

5、1-6=55+227=27例 4. A、B 两地相距 960 千米，甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向开出，6 小时后两车相遇；已知甲车的速度是乙车的 1.5 倍。求甲、乙两车的速度各是多少？960 千米6 小时相遇A B甲车 1.5x x 车乙分析：如上图，设一倍数（乙车）的速度是 x 千米小时，那么甲车的速度就是 1.5x 千米小时。从图上可以看出：甲车行的路程+乙车行的路程总路程（960 千米） ，我们可以利用这个等量关系列出方程：6x61.5x 960，解法如下：解：设乙车的速度是 x 千米小时，那么甲车的速度就是 1.5x 千米小时。6x61.5x 96015x960x 641.

6、5x1.5 6496答：甲的速度是 96 千米小时，乙车的速度是 64 千米小时。例 5、A、B 两地相距 230 千米，甲队从 A 地出发两小时后，乙队从 B 地出发与甲相向而行，乙队出发 20 小时后与甲队相遇，已知乙的速度比甲的速度每小时快 1 千米，求甲、乙的速度各是多少？230 千米甲车 2 小时行的 20 小时相遇 A B甲队 队乙分析：如上图，甲队总共行了 2+2022 小时，乙队行了 20 小时。设甲队的速度是 x 千米小时，那么乙队的速度就是（x1 ）千米小时。从图上可以看出：甲队行的路程+乙队行的路程总路程（230 千米） ，我们可以利用这个等量关系列出方程：（220）x2

7、0 （x1）230 ，解法如下：解：设甲队的速度是 x 千米小时，那么乙队的速度就是（x1）千米小时。（220）x20（x 1）23022x20x 2023042x210x5x1 516答：甲队的速度是 5 千米小时，乙队的速度是 6 千米小时。例 6、甲、乙两车自西向东行驶，甲车的速度是每小时 48 千米，乙车的速度是每小时 72千米，甲车开出 2 小时后乙车开出，问几小时后乙车追上甲车？分析：设 x 小时后乙车追上甲车。甲走 x 小时所走的路程（48x）甲车先走 2 小时 的路程（482 ）乙走 x 小时所走的路程(72x)从图上可以看出：甲车行的路程乙车行的路程，我们可以根据这个等量关系

8、列出方程：48248x 72x，解法如下：解：设 x 小时后乙车追上甲车。48248x 72x9648x72x24x96x4答：4 小时后乙车追上甲车。例 7：甲，乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从 提hkm/80高到 ,运行时间缩短了 。甲，乙两城市间的路程是多少?hkm/10h3【分析】如果设甲，乙两城市间的路程为 ,那么列车在两城市间提速前的运行时间为xkm，提速后的运行时间为 .x810解：设甲，乙两城市间的路程为 xk。3-0xx 1200答：甲，乙两城市间的路程为 120km。【等量关系式】提速前的运行时间提速后的运行时间=缩短的时间.A 档1、 4 x +

9、15 = 6x + 3； 2.、 解方程：6(3+ x) =18解： 6(3+ x) =18 解：15 - 3 = 6 x - 4x63+ 6x =1812 = 2x 30 =10x6x =18-18x = 6x = 03、下列四组变形中，正确的是（ ）A 由 5x+7=0,得 5x= -7 B 由 2x-3=0,得 2x-3+3=0 C 由 6x=2,得 x=31 D 由 5x=7,得 x=35答案：A4下列四个式子中是方程的是（ ） 。（A） 13x；（B） 7134；（C） 321x；（D） 0234)(答案：C5、 x1 是方程 4kx10 的解，则 k_；答案：0.25B 档6、一架

10、飞机飞行在两个城市之间，风速为 24 千米/时. 顺风飞行需要 2 小时 50 分，逆风飞行需要 3 小时. 求飞机在无风时的速度及两城之间的飞行路程.解：设飞机在无风时的速度为 x 千米/时. 则它顺风时的速度为(x+24)千米/时,逆风时的速度为(x-24)千米/时.根据顺风和逆风飞行的路程相等列方程得 17(24)3()6xx=840答：飞机在无风时的速度是 840 千米/时.7、两车站相距 275km，慢车以 50km/一小时的速度从甲站开往乙站，1h 时后，快车以每小时 75km 的速度从乙站开往甲站，那么慢车开出几小时后与快车相遇？解：设慢车开出 x 小时后与快车相遇50x+75（

11、x-1）=275 50x+75x-75=275125x=350 x=2.8 小时答：需要 2.8 小时相遇。8、已知甲、乙两地相距 450 千米，乙的速度比甲每小时快 1 千米，甲先从 A 地出发 2 小时后，乙从 B 地出发，与甲相向而行经过 10 小时后相遇，求甲乙的速度？解：设甲的速度为 x 千米/小时。则 32450)1(2x答：甲乙的速度分别为 22 千米/小时、23 千米/小时。9、A、B 两地相距 300 千米，甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向开出，6 小时后两车相遇；已知甲车的速度是乙车的 1.5 倍。求甲、乙两车的速度各是多少？解：设乙车的速度是 x 千米小时，那么甲车

12、的速度就是 1.5x 千米小时。6x61.5x30015x300x201.5x1.52030答：甲的速度是 20 千米小时，乙车的速度是 30 千米小时。10、A、B 两地相距 180 千米，甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向开出，3 小时后两车相遇；已知甲车的速度是乙车的 2 倍。求甲、乙两车的速度各是多少？解：设乙车的速度是 x 千米小时，那么甲车的速度就是 2x 千米小时。3x32x1809x180x201.5x1.52030答：甲的速度是 20 千米小时，乙车的速度是 30 千米小时。C 档11、A、B 两地相距 460 千米，甲队从 A 地出发两小时后，乙队从 B 地出发与甲相向

13、而行，乙队出发 20 小时后与甲队相遇，已知乙的速度比甲的速度每小时快 2 千米，求甲、乙的速度各是多少？解：设甲队的速度是 x 千米小时，那么乙队的速度就是（x2）千米小时。（220）x20（x2）46022x20x4046042x420x10x210212答：甲队的速度是 10 千米小时，乙队的速度是 12 千米小时。12、甲、乙两车自西向东行驶，甲车的速度是每小时 40 千米，乙车的速度是每小时 70 千米，甲车开出 2 小时后乙车开出，问几小时后乙车追上甲车？解：设 x 小时后乙车追上甲车。40240x70x8040x70x30x80x8/3答：8/3 小时后乙车追上甲车。13、甲、乙

14、两车自西向东行驶，甲车的速度是每小时 40 千米，乙车的速度是每小时 70 千米，甲车开出 3 小时后乙车开出，问几小时后乙车追上甲车？解：设 x 小时后乙车追上甲车。40340x70x12040x70x30x120x4答：4 小时后乙车追上甲车。14、甲，乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从 hkm/80提高到 hkm/10,运行时间缩短了 h2。甲，乙两城市间的路程是多少?解：设甲，乙两城市间的路程为 x。2-8x800答：甲，乙两城市间的路程为 80km。15、甲，乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从 hkm/60提高到 hkm/10,运行时间

15、缩短了 h3。甲，乙两城市间的路程是多少?解：设甲，乙两城市间的路程为 xk。3-6xx450答：甲，乙两城市间的路程为 450km。1、 12 - 3 x = 7x -18解：12 +18 = 7 x + 3x30 =10xx = 32、 x9 是方程 b|1的解，那么 b_答案：13、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为 30 千米/时. 顺风飞行需要 2 小时 50 分，逆风飞行需要 3 小时. 求飞机在无风时的速度及两城之间的飞行路程.解：设飞机在无风时的速度为 x 千米/时. 则它顺风时的速度为(x+30)千米/时,逆风时的速度为(x-30)千米/时.根据顺风和逆风飞行的路程相等列方程

16、得 17(30)()6xx=1050答：飞机在无风时的速度是 1050 千米/时.4、两车站相距 300km，慢车以 50km/一小时的速度从甲站开往乙站，1h 时后，快车以每小时 75km 的速度从乙站开往甲站，那么慢车开出几小时后与快车相遇？解：设慢车开出 x 小时后与快车相遇50x+75（x-1）=300 50x+75x-75=300125x=375 x=3 小时答：需要 3 小时相遇。5、已知甲、乙两地相距 120 千米，乙的速度比甲每小时快 1 千米，甲先从 A 地出发 2 小时后，乙从 B 地出发，与甲相向而行经过 10 小时后相遇，求甲乙的速度？解：设甲的速度为 x 千米/小时。

17、则 65120)(12x答：甲乙的速度分别为 5 千米/小时、6 千米/小时。1、 20 + 4 x = 32 - 2x2、 15 - 3x =19 - 4x解：4 x + 2x = 32 - 20 解：4 x - 3x =19 -156x =12 x = 4x = 23、 x9 是方程 b|31的解，那么 b_答案：34、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为 18 千米/时. 顺风飞行需要 2 小时 50 分，逆风飞行需要 3 小时. 求飞机在无风时的速度及两城之间的飞行路程.解：设飞机在无风时的速度为 x 千米/时. 则它顺风时的速度为(x+18)千米/时,逆风时的速度为(x-18)千米/时

18、.根据顺风和逆风飞行的路程相等列方程得 17(8)3(1)6xx=630答：飞机在无风时的速度是 630 千米/时.5、两车站相距 425km，慢车以 50km/一小时的速度从甲站开往乙站，1h 时后，快车以每小时 75km 的速度从乙站开往甲站，那么慢车开出几小时后与快车相遇？解：设慢车开出 x 小时后与快车相遇50x+75（x-1）=425 50x+75x-75=425125x=500 x=4 小时答：需要 4 小时相遇。6、已知甲、乙两地相距 230 千米，乙的速度比甲每小时快 1 千米，甲先从 A 地出发 2 小时后，乙从 B 地出发，与甲相向而行经过 10 小时后相遇，求甲乙的速度？

19、解：设甲的速度为 x 千米/小时。则 11023)1(02xx答：甲乙的速度分别为 10 千米/小时、11 千米/小时。7、甲、乙两车自西向东行驶，甲车的速度是每小时 40 千米，乙车的速度是每小时 70 千米，甲车开出 6 小时后乙车开出，问几小时后乙车追上甲车？解：设 x 小时后乙车追上甲车。40640x70x24040x70x30x240x8答：8 小时后乙车追上甲车。8、甲，乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从 hkm/80提高到 hkm/10,运行时间缩短了 h4。甲，乙两城市间的路程是多少?解：设甲，乙两城市间的路程为 xkm。4-8xx1600答：甲，乙两城市间的路程为 160k。课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：