2018年贵州省黔东南州凯里一中高考数学二模试卷（文科）含答案解析

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1、2018 年贵州省黔东南州凯里一中高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知 i 为虚数单位，则 （  ）A52i B5+2i C6i D82 （5 分）已知 Ax| 1x3，Bx|x 23x +20 ，则 AB（  ）A （，+ ） B （1，2） C （1，3） D （1，3）3 （5 分）已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 （  ）A3 B4 C6 D84 （5 分）点（4，2）到直线 的距离是（  ）A1 B2 C D65 （

2、5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（  ）A B C D6 （5 分）已知 a0.5 2.1，b2 0.5，c0.2 2.1，则 a、b、c 的大小关系是（  ）Aacb Bbac Cbac Dc ab7 （5 分）若函数 的图象关于 y 轴对称，则 的一个值为（  ）A B C D8 （5 分）已知抛物线 的焦点 F 是椭圆 （ab0）的一个焦点，且该第 2 页（共 25 页）抛物线的准线与椭圆相交于 A、B 两点，若FAB 是正三角形，则椭圆的离心率为（  ）A B C D9 （5 分）中国传统数学中

3、许多著名的“术”都是典型的算法如南宋秦九韶的“大衍总数术”就是一次剩余定理问题的算法，是闻名中外的“中国剩余定理” 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 Nn（modm） ，例如 101（mod 3） 我国南北朝时代名著孙子算经中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩问物几何？”就可以用源于“中国剩余定理”思想的算法解决执行如图的程序框图，则输出的 n（  ）A16 B18 C23 D2810 （5 分）设 m、nR，已知 mlog a2，nlog b2，且 （a1，b1） ，则的最大值是（  ）A1 B2 C D11

4、（5 分）如图是棱长为 2 的正八面体（八个面都是全等的等边三角形） ，球 O 是该正八面体的内切球，则球 O 的表面积为（   ）第 3 页（共 25 页）A B C D12 （5 分）已知函数 ，函数 F（x）f（x）ax 有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是（  ）A （0，e） B C e，+ ） D二、填空题：（本题共 4 小题每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知 x、y 满足约束条件 ，则目标函数 zx+2y 的最大值与最小值之和为     14 （5 分）已知 A、B、C 是ABC 的三个内角，且 tanB+tanC3，ta

5、nBtanC2，则tanA     15 （5 分）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于 ， （a、b 分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长） 已知双曲线（a0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，若点 M 是双曲线 C 上位于第四象限的任意一点，直线 l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线， MQl 于点 Q，且|MQ|+|MF1|的最小值为 3，则双曲线 C 的通径为     16 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，f '（x）是 f（x）的导函数，当 x0 时，f（x）+ xf&#

6、39;（x ）0，若 log2af（log 2a）f （1） ，则实数 a 的取值范围是     三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知数列a n满足 an+13a n+2，且 a12（）求证：数列a n+1是等比数列；第 4 页（共 25 页）（）数列b n满足 bnlog 3（a n+1） ，判断数列 的前 n 项和 Tn 与 的大小关系，并说明理由18 （12 分）2018 年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80 名

7、群众进行调查，将他们的年龄分成 6 段：20，30 ） ，30 ，40） ，40，50） ，50，60 ） ，60，70） ，70 ，80 ，得到如图所示的频率分布直方图问：（）求这 80 名群众年龄的中位数；（）若用分层抽样的方法从年龄在20，40）中的群众随机抽取 6 名，并从这 6 名群众中选派 3 人外出宣传黔东南，求选派的 3 名群众年龄在30，40）的概率19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PDDA ，PDDC（）若 E 是 PA 的中点，求证：PC平面 BED；（）若 PDAD4，PE AE，求三棱锥 ABED 的高20 （12 分）已知抛

8、物线 C： y22py（p0）的焦点曲线 ：12x 24y 23 的一个焦点，O 为坐标原点，点 M 为抛物线 C 上任意一点，过点 M 作 x 轴的平行线交抛物线的准线第 5 页（共 25 页）于 P，直线 OP 交抛物线于点 N（）求抛物线 C 的方程；（）求证：直线 MN 过定点 G，并求出此定点的坐标21 （12 分）已知函数 f（x ）lnx，g（x）a（x1）（）当 a2 时，求函数 h（x）f （x）g（x）的单调递减区间；（）若 x1 时，关于 x 的不等式 f（x）g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围；（）若数列a n满足 an+1 1+an，a 33，记a n的前 n 项

9、和为 Sn，求证：ln（1234n） Sn请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知直线 ， （t 为参数， 为倾斜角） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y24y0（）将曲线 C 的直角坐标方程化为极坐标方程；（）设点 M 的直角坐标为（ 2，4） ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A、B，求|MA|+|MB|的取值范围选修 4-5：不等式选讲23已知 a、b、c 均为正实数（）若 ab+bc+ca3，求证：a+b+c3（）若 a+b1，求证：第 6 页（共

10、 25 页）2018 年贵州省黔东南州凯里一中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知 i 为虚数单位，则 （  ）A52i B5+2i C6i D8【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： 故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题2 （5 分）已知 Ax| 1x3，Bx|x 23x +20 ，则 AB（  ）A （，+ ） B （1，2） C （1，3） D （1，3）【分析】解不等式化简集合 B，根

11、据并集的定义写出 AB【解答】解：Ax| 1x 3，B x|x23x+20x|1 x2，则 ABx| 1x 3（1，3） 故选：C【点评】本题考查了解不等式与并集的运算问题，是基础题3 （5 分）已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 （  ）A3 B4 C6 D8【分析】直接利用向量的数量积转化求解即可【解答】解：向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 cos 6故选：C【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力第 7 页（共 25 页）4 （5 分）点（4，2）到直线 的距离是（  ）A1 B2 C D6【分析】把直线化为一般形式，再求点到直线的距离【解答】解：直线

12、化为一般形式是：3x4y100，则点（4，2）到该直线的距离为：d 2故选：B【点评】本题考查了点到直线的距离计算问题，是基础题5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（  ）A B C D【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据判断最长的棱长与最短的棱长的关系，求解即可【解答】解：几何体的直观图如图，几何体是正方体的一部分，最长的棱为 SC，最短的棱为：SA，AB，AD，CD，BC，因为 CS 是正方体的体对角线，所以该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值相等且为 故选：D第 8 页（共 25 页）【点评】本题考查几何体

13、的三视图与直观图的关系，判断直观图的形状，是解题的关键，考查计算能力6 （5 分）已知 a0.5 2.1，b2 0.5，c0.2 2.1，则 a、b、c 的大小关系是（  ）Aacb Bbac Cbac Dc ab【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a0.5 2.1（0， 1） ，b2 0.51，c 0.2 2.1，yx 2.1 为增函数，0.5 2.10.2 2.1，ac，bac故选：B【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7 （5 分）若函数 的图象关于 y 轴对称，则 的一个值为（  ）A B C D【

14、分析】把已知函数利用辅助角公式化积，结合 f（0）为函数最值列式求解【解答】解：函数 2sin（x+ ）的图象关于y 轴对称，f（0）2sin（ + ）2+ ，k Z第 9 页（共 25 页）即 ，kZ取 k0，可得 故选：B【点评】本题考查 yA sin（ x+）型函数的图象和性质，是基础题8 （5 分）已知抛物线 的焦点 F 是椭圆 （ab0）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于 A、B 两点，若FAB 是正三角形，则椭圆的离心率为（  ）A B C D【分析】求得抛物线焦点坐标，根据椭圆的通径公式，求得|AB| ，利用椭圆的定义，列方程，即可求得 ，根据题意的离心率公式，即

15、可求得答案【解答】解：抛物线的标准方程：x 24y，焦点坐标为（0，1） ，则椭圆 （ab0）中 c1，由|AB| ，FAB 的周长为 4a，由FAB 是正三角形，则 4a，则 ，椭圆的离心率 e ，故选：C第 10 页（共 25 页）【点评】本题考查椭圆的通径公式及椭圆离心率的应用，考查抛物线的性质，考查转化思想，属于中档题9 （5 分）中国传统数学中许多著名的“术”都是典型的算法如南宋秦九韶的“大衍总数术”就是一次剩余定理问题的算法，是闻名中外的“中国剩余定理” 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 Nn（modm） ，例如 101（mod 3） 我国南北朝时代名著孙子算经

16、中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩问物几何？”就可以用源于“中国剩余定理”思想的算法解决执行如图的程序框图，则输出的 n（  ）第 11 页（共 25 页）A16 B18 C23 D28【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一个循环结构是输出 n 除以 3 余数是 2 的数，从 9 开始，如：11，14，17，20，23，第二个循环结构是输出 n 除以 5 余数是 3 的数，从 11 开始，如：23，28，第三个循环结构是输

17、出 n 除以 7 余数是 2 的数，从 23 开始，如：23，故输出 n 值为 23，故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题10 （5 分）设 m、nR，已知 mlog a2，nlog b2，且 （a1，b1） ，则的最大值是（  ）第 12 页（共 25 页）A1 B2 C D【分析】利用对数的运算法则化简所求的表达式，结合已知条件，利用基本不等式求解最值即可【解答】解：m、nR，已知 mlog a2，nlog b2，且 a1，b1，则 1当且仅当 ab 时， 的最大值是：1故选：A【点评】本题考查函数的对数运算法

18、则的应用，函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力11 （5 分）如图是棱长为 2 的正八面体（八个面都是全等的等边三角形） ，球 O 是该正八面体的内切球，则球 O 的表面积为（   ）A B C D【分析】根据该八面体的棱长为 2，利用几何体的体积，确定球 O 的半径，即可求出球O 的表面积【解答】解：由题意，该八面体的棱长为 2，设球 O 的半径为 r， ，解得 r所以球 O 的表面积为：4 故选：A第 13 页（共 25 页）【点评】本题考查球的内接几何体，考查球 O 的表面积，考查学生的计算能力，比较基础12 （5 分）已知函数 ，函数 F（x）f（x）

19、ax 有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是（  ）A （0，e） B C e，+ ） D【分析】作出 f（x ）的函数图象，结合函数图象求出当直线 yax 与 f（x）的图象有 4个交点时的斜率范围即可【解答】解：函数 ，函数的图象关于 xe 对称，令 F（x ）f（x）ax 0 得 f（x）ax，作出 f（x）在（ 0，2e）上的函数图象如图所示：设 yax 与 f（x）在区间1 ，e上的函数图象相切，则 ylnx，可得 y ，x1，函数 ylnx 是增函数，x e 时，a ，直线 yax 与 f（x）的图象有 4 个交点可得 a（0， ）故选：B第 14 页（共 25 页）【

20、点评】本题考查了导数的几何意义，函数的零点与函数图象的关系，属于中档题二、填空题：（本题共 4 小题每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知 x、y 满足约束条件 ，则目标函数 zx+2y 的最大值与最小值之和为 4 【分析】由题意作平面区域，化目标函数 zx+2y，求出最优解，求解最值，从而求得最大值与最小值之和【解答】解：由题意作 x、y 满足约束条件 的平面区域如下，化目标函数 zx+2y 为 y x+ z，结合图象可得，过点 B（2，1）时有最小值为z4，y x+ z 与 AO 重合时取得最大值 0，所以目标函数 zx+2y 的最大值与最小值之和为：4故答案为：4第 15 页（

21、共 25 页）【点评】本题考查了线性规划问题，同时考查了数形结合的思想应用14 （5 分）已知 A、B、C 是ABC 的三个内角，且 tanB+tanC3，tanBtanC2，则tanA 1 【分析】由题意利用诱导公式、两角和的正切公式，求得 tanA 的值【解答】解：已知 A、B、C 是ABC 的三个内角，且tanB+tanC3，tan BtanC2，tanA tan（B+C） 1，故答案为：1【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式的应用，属于基础题15 （5 分）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于 ， （a、b 分别为双曲线的实半轴

22、长与虚半轴长） 已知双曲线（a0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，若点 M 是双曲线 C 上位于第四象限的任意一点，直线 l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线， MQl 于点 Q，且|MQ|+|MF1|的最小值为 3，则双曲线 C 的通径为 2  【分析】根据题意，由双曲线的方程可得 b 的值以及渐近线方程，结合双曲线的定义可得|MF 1|MF 2|2a，则| MQ|+|MF1|MQ|+2a+|MF 2|2a+| MQ|+|MF2|，分析| MQ|+|MF2|的最小值为|F 2Q|，并由点到直线的距离公式计算 |F2Q|的值，分析可得 |MQ|+|MF1|的最小值为 2a+13，

23、解可得 a 的值，代入通径公式计算可得答案【解答】解：根据题意，已知双曲线 （a0）中，b1，第 16 页（共 25 页）其渐近线为 y x，即 xay0，右焦点坐标为（c，0） ，其左、右焦点分别为 F1、F 2，点 M 是双曲线 C 上位于第四象限的任意一点，则|MF 1|MF 2|2a，则|MQ|+|MF 1|MQ|+2a+| MF2|2a+|MQ|+|MF 2|，分析可得：当 Q、M、F 三点共线时，| MQ|+|MF2|取得最小值，且|MQ|+|MF 2|的最小值为|F 2Q|，又由|F 2Q| b1 ，则|MQ|+|MF 1|的最小值为 2a+13，解可得 a1，则双曲线 C 的通

24、径 2；故答案为：2【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是分析|MQ|+|MF 1|取得最小值的条件16 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，f '（x）是 f（x）的导函数，当 x0 时，f（x）+ xf'（x ）0，若 log2af（log 2a）f （1） ，则实数 a 的取值范围是 （0， ）（2，+ ） 【分析】根据函数的奇偶性和条件，通过导函数判断函数 xf（x）的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可【解答】解：f（x ）是奇函数，当 x0 时，f（x）+xf'（x）0，等价为xf（x）0，可知 yxf（x） ，当 x（，0）时，函

25、数 xf（x）为减函数，第 17 页（共 25 页）f（x）是奇函数，yxf（x）为偶数，且当 x0 为增函数即 log2af（log 2a）f（1） ，等价于|log 2a|1，log 2a1，或 log2a1解得 a2 或 故答案为：（0， ）（2，+） 【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系的应用，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键，综合考查了函数性质的应用三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知数列a n满足 an+13a n+2，且 a12（）求证：数列a n+1是等比数列；（）数列b n满足 bnlog 3（

26、a n+1） ，判断数列 的前 n 项和 Tn 与 的大小关系，并说明理由【分析】 （）由数列a n满足 an+13a n+2，且 a12可得：a n+1+13（a n+1） ，又a1+130，即可证明（）解：由（）可知：a n+13 n，可得 bnn， ，利用裂项求和与数列的单调性即可得出【解答】 （）证明：由数列a n满足 an+13a n+2，且 a12可得：a n+1+13（a n+1） ，又 a1+130，故数列a n+1是以 3 为首项，3 为公比的等比数列（）解：由（）可知：a n+13 n，b nlog 3（a n+1）n， ，T n + ，故 Tn 【点评】本题考查了数列的递

27、推关系、等比数列的通项公式、裂项求和与数列的单调性、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第 18 页（共 25 页）18 （12 分）2018 年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80 名群众进行调查，将他们的年龄分成 6 段：20，30 ） ，30 ，40） ，40，50） ，50，60 ） ，60，70） ，70 ，80 ，得到如图所示的频率分布直方图问：（）求这 80 名群众年龄的中位数；（）若用分层抽样的方法从年龄在20，40）中的群众随机抽取 6 名，并从这 6 名群众中选派

28、 3 人外出宣传黔东南，求选派的 3 名群众年龄在30，40）的概率【分析】 （）设 80 名群众年龄的中位数为 x，利用频率分布直方图能求出 80 名群众年龄的中位数（）年龄在20，30）中的群众有 0.00510804 人，年龄在30 ，40）的群众有0.0110808 人，按分层抽样的方法随机抽取年龄在20，30）的群众有 2 人，记为1，2；随机抽取年龄在30， 40）的群众 4 人，记为 a，b，c，d利用列举法能求出选派的 3 名群众年龄在30，40 ）的概率【解答】解：（）设 80 名群众年龄的中位数为 x，则 0.00510+0.01010+0.02010+0.030（x 50

29、）0.5，解得 x55，即 80 名群众年龄的中位数 55（）由已知得，年龄在20，30）中的群众有 0.00510804 人，年龄在30，40）的群众有 0.0110808 人，按分层抽样的方法随机抽取年龄在20，30）的群众有 6 2 人，记为 1，2；随机抽取年龄在30，40）的群众 6 4 人，记为 a，b，c，d则基本事件有 20 个，分别为：第 19 页（共 25 页）（a，b，c） ， （a，b，d） ， （a，b，1） ， （a，b，2） ， （a，c，d） ， （a，c，1） ， （a，c，2） ，（a，d，1） ， （a，d，2） ， （b，c，d） ， （b，c，1） ，

30、 （b，c，2） ， （b，d，1） ， （b，d，2） ，（c，d，1） ， （c ，d，2） ， （a，1，2） ， （b，1，2） ， （c ，1 ，2） ， （d，1，2） ，参加座谈的导游中有 3 名群众年龄都在30，40）的基本事件有 4 个，分别为：（a，b，c） ， （a，b，d） ， （a，c，d） ， （b，c ，d） ，设事件 A 为“从这 6 名群众中选派 3 人外出宣传黔东南，选派的 3 名群众年龄都在30，40） ”，则选派的 3 名群众年龄在30，40）的概率 P（A） 【点评】本题考查中位数、概率的求法，考查频率分布表和频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力

31、，考查函数与方程思想，是基础题19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PDDA ，PDDC（）若 E 是 PA 的中点，求证：PC平面 BED；（）若 PDAD4，PE AE，求三棱锥 ABED 的高【分析】 （）连接 AC 交 BD 于 G，连接 EG，推导出 EGPC，由此能证明 PC平面BED（）在 Rt PAD 中，设 AD 的中点为 O，连接 EO，由 VABDE V EABD ，能求出点A 到平面 BED 的距离【解答】证明：（）连接 AC 交 BD 于 G，连接 EG，在ACP 中，E 是 PA 的中点，EG PC，EG平面 BED，PC平面

32、BED，第 20 页（共 25 页）PC平面 BED解：（）在 RtPAD 中，设 AD 的中点为 O，连接 EO，则 EO PD2，又 PDAD 4， ，设三棱锥 ABED 的高为 h又V ABDE VEABD ， ， ，解得 h 点 A 到平面 BED 的距离为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20 （12 分）已知抛物线 C： y22py（p0）的焦点曲线 ：12x 24y 23 的一个焦点，O 为坐标原点，点 M 为抛物线 C 上任意一点，过点 M 作 x 轴的平行

33、线交抛物线的准线于 P，直线 OP 交抛物线于点 N（）求抛物线 C 的方程；（）求证：直线 MN 过定点 G，并求出此定点的坐标第 21 页（共 25 页）【分析】 （）由曲线 是焦点在 x 轴上的双曲线，焦点坐标分别为 F1（1，0） ，F2（1，0） ，由抛物线的焦点坐标为 F（ ，0） ， （p0） ，知 1，由此能求出抛物线的方程（）由抛物线 y24x 的准线方程为 x1，设 P（1 ，m ） ，则 M（ ，m） ，从而直线 OP 的方程为 ymx ，联立直线与抛物线方程 ，得 N（ ） ，由此能证明直线 MN 的方程恒过定点 G（1，0） 【解答】解：（）由曲线 ：12x 24y

34、23，得 1，所以曲线 ： 1 是焦点在 x 轴上的双曲线，其中 ，c 2 ， 的焦点坐标分别为 F1（1，0） ，F 2（1，0） ，抛物线的焦点坐标为 F（ ，0） ， （p0） ，由题意知 1，p2，即抛物线的方程为 y24x 证明：（）由（）知抛物线 y24x 的准线方程为 x 1，设 P（1，m） ，由题意 m0M（ ，m） ，直线 OP 的方程为 ymx，联立直线与抛物线方程得 ，解得N（ ） ，当 ，即 m2 时，直线 MN 的方程为 x1，当 ，即 m2 时，直线 MN 的方程为 ym （ ） ，整理得 MN 的方程为 y （x1） ，此时直线恒过定点 G（1，0） ，Q （1

35、，0）也在直线 MN 上，故 MN 的方程为 x1，故直线 MN 的方程恒过定点 G（1 ，0） 【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线方程恒过定点的证明，考查双曲线、抛第 22 页（共 25 页）物线直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）lnx，g（x）a（x1）（）当 a2 时，求函数 h（x）f （x）g（x）的单调递减区间；（）若 x1 时，关于 x 的不等式 f（x）g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围；（）若数列a n满足 an+1 1+an，a 33，记a n的前 n 项和为 Sn，求证：ln（1234n）

36、Sn【分析】 （）把 a2 代入函数解析式，求出函数导函数，由导函数小于 0 可得函数h（x）f（x）g（x）的单调递减区间；（）由 f（x） g（x） ，得 a（x1）lnx0当 a0 时，a（x1）lnx0 显然不成立，因此 a0令 F（x）a（x 1）lnx，求其导函数，分 a1 和 0a1 分析导函数的符号，进一步分析使 f（x ）g（x）在（1，+）上恒成立时实数 a 的取值范围；（ III）由 an+11+a n，a 33，知数列a n是 a33，d1 的等差数列，可得ana 3+（n3）dn，得到 Sn，由（）得，lnxa（x1）x1x 在（1，+）上恒成立可得 ln22，ln3

37、3，ln44，lnnn，累加后即可证明ln（1234n） Sn【解答】 （）解：由 a2，得 h（x）f （x）g（x）lnx2x+2， （x0） ，h（x） 令 h（x）0，解得 x 或 x0（舍去） ，函数 h（x）f（x）g（x）的单调递减区间为（ ，+） ；（）解：由 f（x ）g（x） ，得 a（x1）lnx0当 a0 时，x1，a（x1）lnx 0 显然不成立，因此 a0令 F（x ）a（ x1）lnx ，则 F（x）a ，令 F（x）0，得x 当 a1 时，0 1，F（x）0，F（x ）F（1）0，a（x 1）lnx，即有 f（x）g（ x） 因此 a1 时，f（x ）g（x）在

38、（1，+）上恒成立第 23 页（共 25 页）当 0 a1 时， 1，F（x）在（1， ）上为减函数，在（ ）上为增函数，F（x ） min F（1）0，不满足题意综上，不等式 f（x ）g（x）在（1，+）上恒成立时，实数 a 的取值范围是1，+） ；（ III）证明：由 an+11+ an，a 33，知数列a n是 a33，d1 的等差数列，a na 3+（n3）dn ，由（）得，lnxa（x 1）x 1x 在（1，+）上恒成立ln22，ln33，ln44，lnnn将以上各式左右两边分别相加，得：ln2+ln3+lnn2+3+nln101，ln1+ln2+ln3+ lnn1+2+3+n S

39、 nln（1234n） Sn【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法与数学转化思想方法，训练了利用放缩法证明数列不等式，属难题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知直线 ， （t 为参数， 为倾斜角） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y24y0（）将曲线 C 的直角坐标方程化为极坐标方程；（）设点 M 的直角坐标为（ 2，4） ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A、B，求|MA|+|MB|的取值范围【分析】 （）由 2x 2+

40、y2，ysin ，能求出曲线 C 的极坐标方程（II）将直线 l 的参数方程代入 x2+y24y0，得 t2+4（sin +cos）t+40，由此能求出|MA |+|MB|的取值范围【解答】解：（）曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y24y0第 24 页（共 25 页）由 2 x2+y2，y sin，得 24sin，即 4sin ，曲线 C 的极坐标方程为 4sin （II）将直线 ， （t 为参数， 为倾斜角）代入 x2+y24y0，得t2+4（sin +cos）t+40， ，sin20，又 0 ，（0， ） ，且 t10，t 20，|MA |+|MB|t 1|+|t2|t 1+t2|4（s

41、in +cos）4 sin（ ） ，由 ，得 （ ） ， 故|MA |+|MB|的取值范围是（4，4 【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段和的取值范围的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲23已知 a、b、c 均为正实数（）若 ab+bc+ca3，求证：a+b+c3（）若 a+b1，求证：【分析】 （）要证原不等式成立，运用两边平方和不等式的性质，即可得到证明；（）运用分析法证明要证 a+b+c3，只需证明（a+b+c）2a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca9 即可【解答】证明：（）a 2+b22ab，b 2+c22bc，c 2+a22ca，三式相加可得a2+b2+c2ab+bc+ ca，（a+b+c） 2a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca（ab+ bc+ca）+2（ab+bc+ca）3（ab+bc+ca）9，又 a，b，c 均为正整数，a+b+c3 成立（）：a、b 为正实数，a+b1，a 2+2ab+b21，第 25 页（共 25 页）（ + ） （ + ）5+ 9，当且仅当 ，即 ab 时， “”成立【点评】本题考查不等式的证明，注意运用综合法证明，结合均值不等式和不等式的性质，考查推理能力，属于中档题