2019年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

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1、2019 年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x2x 60 ，Bx|y lg （ x2），则 AB（  ）A B2，2） C （2，3 D （3，+）2 （5 分）设复数 z 满足（1+i）z2i （其中 i 为虚数单位） ，则下列结论正确的是（  ）A|z|2 Bz 的虚部为 iCz 22 Dz 的共轭复数为 1i3 （5 分）若函数 f（x ） ，则 f（f  （10） ）（  ）A9 B1 C D04 （5

2、 分） 算法统宗中有一图形称为“方五斜七图” ，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示 5，当内方的边长为 5 时，外方的边长为 5 ，略大于 7如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为（  ）A B C D5 （5 分）在等比数列a n中，若 a68a 38a 22，则 an（   ）Aa n2 n1 Ba n2 n Ca n3 n1 Da n3 n6 （5 分）为计算 T ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（  ）第 2 页（共 23 页）AWW i BWW（i+1） CW

3、W（i +2） DW W（i+3）7 （5 分）椭圆 C： 的左、右焦点为 F1，F 2，过 F2 垂直于 x 轴的直线交 C 于 A，B 两点，若AF 1B 为等边三角形，则椭圆 C 的离心率为（  ）A B C D8 （5 分）二项式（ 3x） 6 的展开式中的常数项为（  ）A540 B135 C270 D5409 （5 分）如图，直线 2x+2y30 经过函数 f（x）sin（x+） （ 0，| |）图象的最高点 M 和最低点 N，则（  ）A ， B ，0 C ， D ， 10 （5 分）已知双曲线 C： 1（b0） ，F 1，F 2 分别为 C 的左、

4、右焦点，过 F2的直线 l 交 C 的左、右支分别于 A，B，且|AF 1|BF 1|，则|AB|（  ）A4 B8 C16 D3211 （5 分）设函数 f（x ）ae x2sinx，x 0，有且仅有一个零点，则实数 a 的值为（  第 3 页（共 23 页）A B C D12 （5 分）一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（  ）A1 B C D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 （1，3） ， （m ，2） ，若 （ +

5、 ） ，则 m     14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+y 的最大值为     15 （5 分）在四面体 ABCD 中，ABBC1，AC ，且 ADCD，该四面体外接球的表面积为     16 （5 分）已知 O 为坐标原点，圆 M：（x+1） 2+y21，圆 N：（x2） 2+y24A，B分别为圆 M 和圆 N 上的动点，则 SOAB 的最大值为     三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第（22） ， （23）题

6、为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1+ n+1（1）求 Sn，a n；（2）若 bn（1） n1 ，b n的前 n 项和为 Tn，求 Tn18 （12 分）如图，ABC 中，ABBC 4，ABC90 ，E，F 分别为 AB，AC 边的中点，以 EF 为折痕把 AEF 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PBBE（1）证明：BC平面 PBE；（2）求平面 PBE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值第 4 页（共 23 页）19 （12 分）抛物线 C：y 22px（p0） ，斜率为 k 的直线 l 经过点 P

7、（4，0） ，l 与 C 有公共点 A，B ，当 k 时，A 与 B 重合（1）求 C 的方程；（2）若 A 为 PB 的中点，求| AB|20 （12 分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验在某普查小区，共有50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如表所示：普查对象类别 顺利 不顺利 合计企事业单位 40 1

8、0 50个体经营户 100 50 150合计 140 60 200（1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关” ；（3）以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为 X，写出 X 的分布列，并求 X 的期望值附：K 2P（K 2k 0） 0.10 0.010 0.001k0 2.706 6.635 10.828第 5 页（共 23 页）21 （12 分）已知函数 f（x ）ax ，a R（1）若 f（x） 0，求 a

9、的取值范围；（2）若 yf（ x）的图象与 ya 相切，求 a 的值（二）选考题：共 10 分请考生在第（22） ， （23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （其中 t 为参数，0） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos（1）求 l 和 C 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AB |8，求 选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 a，b 是正实数，且 a+b2，证明：（1

10、） + 2；（2） （a+b 3） （a 3+b）4第 6 页（共 23 页）2019 年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x2x 60 ，Bx|y lg （ x2），则 AB（  ）A B2，2） C （2，3 D （3，+）【分析】可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax| 2x 3，Bx|x2；AB（2，3 故选：C【点评】考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算

11、2 （5 分）设复数 z 满足（1+i）z2i （其中 i 为虚数单位） ，则下列结论正确的是（  ）A|z|2 Bz 的虚部为 iCz 22 Dz 的共轭复数为 1i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案【解答】解：由（1+i）z 2i ，得 z ，|z| ，z 的虚部为 1，z 2（1+i ） 22i，z 的共轭复数为 1i 正确的是 D故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）若函数 f（x ） ，则 f（f  （10） ）（  ）A9 B1 C D0【分析】推导出

12、f（10）lg101，从而 f（f  （10） ）f（1） ，由此能求出结果【解答】解：函数 f（x ） ，f（10）lg101，第 7 页（共 23 页）f（f （10） ）f（1）10 11 1故选：B【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4 （5 分） 算法统宗中有一图形称为“方五斜七图” ，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示 5，当内方的边长为 5 时，外方的边长为 5 ，略大于 7如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为（ &nbs

13、p;）A B C D【分析】由题意可得 S 内方 25，S 外方 50，根据概率公式计算即可【解答】解：由题意可得 S 内方 25，S 外方 50，则外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为 ，故选：A【点评】本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题5 （5 分）在等比数列a n中，若 a68a 38a 22，则 an（   ）Aa n2 n1 Ba n2 n Ca n3 n1 Da n3 n【分析】根据等比数列的通项公式即可求出【解答】解：若 a68a 38a 22，a 2q48a 2q8a 22，a 2q，q 38，即 q2，a 11a n12 n1 2 n1 ，故选：A【点评】

14、本题考查了等比数列通项公式，考查了运算能力，属于基础题第 8 页（共 23 页）6 （5 分）为计算 T ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（  ）AWW i BWW（i+1） CW W（i +2） DW W（i+3）【分析】根据程序的功能，寻找分子与分母之间的关系进行求解即可【解答】解：每个分式的分母比分子多 2，即 WW （i+2） ，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据分式特点是解决本题的关键7 （5 分）椭圆 C： 的左、右焦点为 F1，F 2，过 F2 垂直于 x 轴的直线交 C 于 A，B 两点，若AF 1B 为等边三角形，则椭圆 C 的离心率为

15、（  ）A B C D【分析】利用椭圆方程，求出焦点坐标，通过三角形是等边三角形求解椭圆的离心率即可【解答】解：椭圆 C： 的左、右焦点为 F1，F 2，过 F2 垂直于 x 轴的直线交 C 于 A，B 两点，若AF 1B 为等边三角形，可得 2c ，所以：2ac （a 2c 2） ，即： e2+2e 0，e（0，1） ，第 9 页（共 23 页）解得 e 故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力8 （5 分）二项式（ 3x） 6 的展开式中的常数项为（  ）A540 B135 C270 D540【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指

16、数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数项【解答】解：二项式（ 3x） 6 的展开式的通项公式为 Tr+1 （3） r ，令 0，求得 r2，可得展开式中的常数项为 9135，故选：B【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题9 （5 分）如图，直线 2x+2y30 经过函数 f（x）sin（x+） （ 0，| |）图象的最高点 M 和最低点 N，则（  ）A ， B ，0 C ， D ， 【分析】由 MN 分别是图象的最高点和最低点得 MN 的纵坐标为 1 和1，带入直线得横坐标，就可以得到f（x）的半个周期长，从而得到 的值把 M 点

17、代入 f（x）得到 的值【解答】解：因为 MN 分别是图象的最高点和最低点得 MN 的纵坐标为 1 和1，带入直线 2x+2y30 得 MN 横坐标为 和 ，故 M（ ，1） N（ ，1） 得 2，故 T4 ，故 第 10 页（共 23 页）M 代入 f（x）得 1sin （ ） ，故 2k + ，所以 2k + ，kZ因为| |，所以 ，故选：A【点评】本题着重考查了由 yAsin （ x+）的部分图象信息确定其解析式，属于中档题10 （5 分）已知双曲线 C： 1（b0） ，F 1，F 2 分别为 C 的左、右焦点，过 F2的直线 l 交 C 的左、右支分别于 A，B，且|AF 1|BF

18、1|，则|AB|（  ）A4 B8 C16 D32【分析】求得双曲线的 a4，设|AF 1|BF 1|m，运用双曲线的定义可得|AB|4a，即可得到所求值【解答】解：由双曲线 C： 1（b0）可得 a4，设|AF 1| |BF1| m，由双曲线的定义可得|AF 2|AF 1|+2a2a+ m，|BF2|BF 1|2 am2a，可得|AB| AF2|BF 2|2a+m （m 2a）4a16故选：C【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查定义法的运用，以及数形结合思想，考查运算能力，属于基础题11 （5 分）设函数 f（x ）ae x2sinx，x 0，有且仅有一个零点，则实数 a

19、 的值为（  ）第 11 页（共 23 页）A B C D【分析】由函数的零点与函数图象的交点的相互转化得：函数 f（x）ae x2sin x，x0，有且仅有一个零点等价于 a ，x0，有且仅有一个解，即直线 ya 与 g（x ） ，x 0，的图象只有一个交点，由利用导数研究函数的图象得：g（x） ，x0，则 g（x），即 g（x）在0， ）为增函数，在（ ，为减函数，又g（0）0，g（）0，g（ ） ，则可得实数 a 的值为 ，得解【解答】解：函数 f（x ）ae x2sinx，x 0，有且仅有一个零点等价于a ，x0 ， 有且仅有一个解，即直线 ya 与 g（x ） ，x 0，的

20、图象只有一个交点，设 g（x） ，x 0， ，则 g（x） ，当 0x 时，g（x ）0，当 x 时，g（x）0，即 g（x）在0 ， ）为增函数，在（ ，为减函数，又 g（0）0，g（）0， g（ ） ，则可得实数 a 的值为 ，故选：B【点评】本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题及利用导数研究函数的图象，属中档题12 （5 分）一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（  ）第 12 页（共 23 页）A1 B C D【分析】根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半【

21、解答】解：正方体的对角线长为 2 ，故当正方体旋转的新位置的最大高度为 2 ，又水的体积是正方体体积的一半，容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为 故选：C【点评】本题考查了几何体的体积计算，属于基础题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 （1，3） ， （m ，2） ，若 （ + ） ，则 m 4 【分析】可求出 ，根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 m 的值【解答】解： ； ； ；m4故答案为：4【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+y 的

22、最大值为 7 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出 z 的最大值即可【解答】解：画出 x，y 满足约束条件 的平面区域，如图示：第 13 页（共 23 页）由 ，解得 A（2，3） ，由 z2x+y 得：y 2x +z，平移直线 y2x ，显然直线过 A（2，3）时，z 最大，z 的最大值是 7，故答案为：7【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题15 （5 分）在四面体 ABCD 中，ABBC1，AC ，且 ADCD，该四面体外接球的表面积为 2 【分析】易得ABC，ADC 为直角，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得外接球半径

23、【解答】解：如图，ABBC1，AC ，ABBC，又 ADCD，AC 中点即为外接球球心，半径为 ， 2故答案为：2第 14 页（共 23 页）【点评】此题考查了三棱锥外接球问题，难度不大16 （5 分）已知 O 为坐标原点，圆 M：（x+1） 2+y21，圆 N：（x2） 2+y24A，B分别为圆 M 和圆 N 上的动点，则 SOAB 的最大值为    【分析】以 ON 为直径画圆，延长 AO 交新圆于 E，BO 交新圆于 F 点，连接 FE，NF ，推得 F 为 BO 的中点，由对称性可得 OAOE，由三角形的面积公式推得，可得 SABO S EAO 2SEFO ，当 S

24、EFO 最大时， SABO 最大，故转化为在半径为 1 的圆内接三角形 OEF 的面积的最大值，运用三角形的面积公式和凸函数的性质，计算可得所求最大值【解答】解：如图以 ON 为直径画圆，延长 AO 交新圆于 E，BO 交新圆于 F 点，连接 FE，NF，则 NF 与 OB 垂直，又 NBNO，F 为 BO 的中点，由对称性可得 OAOE，由 SABO OAOBsinAOB，S EBO OEOBsin（AOB） OEOBsinAOB，可得 SABO S EAO 2S EFO ，当 SEFO 最大时， SABO 最大，故转化为在半径为 1 的圆内接三角形 OEF 的面积的最大值，由圆内接三角形

25、A'B'C'的面积 S a'b'sinC'，a'2sinA'，b'2sinB'，S2sinA'sinB'sinC'2（ ） 3，由 f（x）sinx ，x 0，为凸函数，可得 sinsin ，第 15 页（共 23 页）当且仅当 A'B'C' 时，取得等号，可得 2（ ） 32 即三角形 OEF 的面积的最大值为 进而得到 SABO 最大值为 2 ，故答案为： 【点评】本题主要考查了圆内接三角形面积最大值的求法，考查了解析几何中的对称思想以及等价转化思想，用不等式求最

26、值是难点，属于难题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第（22） ， （23）题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1+ n+1（1）求 Sn，a n；（2）若 bn（1） n1 ，b n的前 n 项和为 Tn，求 Tn【分析】 （1）利用数列的递推关系式，通过 anS nS n1 求解数列的通项公式（2）化简 bn（1） n1 （ + ） ，通过当 n 为偶数时，当 n 为奇数时，分别求解数列的和即可另解：T nb 1+b2+bn 通过裂项

27、消项法，求解即可【解答】解：（1）令 n1，得 a1+ 2， （ +2） （ 1）0，得 a11，所以 n，即 Snn 2当 n2 时，a nS nS n1 2n1，第 16 页（共 23 页）当 n1 时，a 11 适合上式，所以 an2n1（6 分）（2）b n（1） n1 （1） n1 （1） n1 （ + ）（8 分）当 n 为偶数时，T nb 1+b2+bn（ + ）（ + ）+（ + ）（ + ）+（ + ）1 ，当 n 为奇数时，T nb 1+b2+bn（ + ）（ + ）+（ + ）（ + ）+（ + ）1+ ，综上所述，T n （12 分）另解：Tnb 1+b2+bn（ +

28、）（ + ）+（ + ）（ + ）+（ 1） n1 （ + ）1+（1） n1 （12 分）【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力18 （12 分）如图，ABC 中，ABBC 4，ABC90 ，E，F 分别为 AB，AC 边的中点，以 EF 为折痕把 AEF 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PBBE（1）证明：BC平面 PBE；（2）求平面 PBE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值第 17 页（共 23 页）【分析】 （1）由 E，F 分别为 AB，AC 边的中点，可得 EFBC，由已知结合线面垂直的判定可得 EF平面 PBE，从而得到 BC平

29、面 PBE；（2）取 BE 的中点 O，连接 PO，由已知证明 PO平面 BCFE，过 O 作 OMBC 交 CF于 M，分别以 OB，OM ，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 PCF 与平面 PBE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面 PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值【解答】 （1）证明：E，F 分别为 AB，AC 边的中点，EFBC，ABC90，EF BE，EFPE，又BEPEE，EF平面 PBE，BC平面 PBE；（2）解：取 BE 的中点 O，连接 PO，由（1）知 BC平面 PBE，BC 平面 BCFE，平面 PBE平面 BCFE

30、，PBBEPE，POBE，又PO 平面 PBE，平面 PBE平面 BCFEBE，PO平面 BCFE，过 O 作 OMBC 交 CF 于 M，分别以 OB，OM，OP 所在直线为 x，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则 P（0，0， ） ，C（1，4 ，0） ，F  （1，2，0） （1，4， ） ， （1，2， ） ，设平面 PCF 的法向量为 （x，y，z） ，由 ，取 y1，得 （1，1， ） ，第 18 页（共 23 页）由图可知 （0，1，0）为平面 PBE 的一个法向量，cos ，平面 PBE 与平面 PCF 所成锐二面角的余弦值 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查

31、空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题19 （12 分）抛物线 C：y 22px（p0） ，斜率为 k 的直线 l 经过点 P（4，0） ，l 与 C 有公共点 A，B ，当 k 时，A 与 B 重合（1）求 C 的方程；（2）若 A 为 PB 的中点，求| AB|【分析】 （1）当 k 时，可得直线 l 的方程，联立方程组，根据判别式即可求出 p 的值，可得抛物线的方程，（2）直线 l：y k（x+4） ，k0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 可得 y2y+160，根据韦达定理和弦长公式即可求出【解答】解：（1）当 k 时，直线 l：y （x+

32、4）即 x2y+40，此时直线 l 与抛物线 C 相切，由 ，得 y24py+8p0，由0 即 16p232p0，解得 p2，C 的方程为 y24x，（2）直线 l：y k（x+4） ，k0，第 19 页（共 23 页）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 可得 y2 y+160，y 1+y2 ， y1y216，又 A 为 PB 的中点，可得 y1 y2，解得 k2 ，|AB| 2 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，韦达定理和弦长公式，转化思想以及计算能力是，属于中档题20 （12 分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、

33、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验在某普查小区，共有50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如表所示：普查对象类别 顺利 不顺利 合计企事业单位 40 10 50个体经营户 100 50 150合计 140 60 200（1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关” ；（3）以频率作为

34、概率，某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为 X，写出 X 的分布列，并求 X 的期望值附：K 2P（K 2k 0） 0.10 0.010 0.001第 20 页（共 23 页）k0 2.706 6.635 10.828【分析】 （1）真假判断抽样的方法即可（2）利用联列表求出 k2，然后判断即可（3）推出 X 可取 0，1，2，3，4求解概率，然后求解分布列，得到期望即可【解答】解：（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可） （2 分）（2）将列联表中的数据代入公式计算得K2 3.1752.706，所以，有 90%的把握认为“此普查

35、小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”（6 分）（3）以频率作为概率，从该小区随机选择 1 家企事业单位作为普查对象，入户登记顺利的概率为 ，随机选择 1 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为 X 可取 0，1，2，3，4P（X0） （ ） 3 ，P（X1） （ ） 3+ C31 （ ） 2 ，P（X2） C31 （ ） 2+ C32（ ） 2 ，P（X3） C32（ ） 2 + （ ） 3 ，P（X4） （ ） 3 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4PE（X）0 +1 +2 +3 +4 （12 分）【点评】本题考查离散型随机变量的期望以及分布列，独立检验思想的应用，考查计

36、算能力21 （12 分）已知函数 f（x ）ax ，a R（1）若 f（x） 0，求 a 的取值范围；（2）若 yf（ x）的图象与 ya 相切，求 a 的值第 21 页（共 23 页）【分析】 （1）由题意可得 a ，设 g（x） ，求得导数和单调性、极值和最值，即可得到所求范围；（2）设 yf（ x）的图象与 ya 相切于点（t ，a） ，求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点满足曲线方程，解方程即可得到所求值【解答】解：（1）由 f（x ）0 得 ax 0，从而 ax ，即 a ，设 g（x） ，则 g（x） ， （x 0）所以 0x 时，g（x ）0，g（x ）单调递增；x 时，g

37、（x ）0，g（x ）单调递减，所以当 x 时，g（x ）取得最大值 g（ ） ，故 a 的取值范围是 a ；（2）设 yf（ x）的图象与 ya 相切于点（t ，a） ，依题意可得因为 f（x） a ，所以 ，消去 a 可得 t1（2t1）lnt0令 h（t）t1（2t1）lnt ，则 h（t）1（2t1） 2lnt 2lnt1，显然 h（t）在（0，+）上单调递减，且 h（1）0，所以 0t1 时，h（t）0，h（t）单调递增；t1 时，h（t）0，h（t）单调递减，所以当且仅当 t1 时 h（t）0故 a1【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程思想和运算能

38、力、推理能力，属于中档题第 22 页（共 23 页）（二）选考题：共 10 分请考生在第（22） ， （23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （其中 t 为参数，0） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos（1）求 l 和 C 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AB |8，求 【分析】 （1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果（2）利用直线和曲线的位置关系的

39、应用建立一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函数的值，进一步求出结果【解答】解：（ 1）直线 l 的参数方程为 （其中 t 为参数，0） 当 时，直线的方程为 x1当 时，直线的方程为：ytan  （x1） 曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos，转换为直角坐标方程为：y 24x（ 2）将直线 l 的参数方程代入曲线  C 的直角坐标方程得： sin2t24（1+t cos） ，整理得：sin 2t24cost40， （t 1 和 t2 为 A、B 对应的参数）所以： ， 由于|AB| 8解得：因为 0，所以： 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标

40、方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 a，b 是正实数，且 a+b2，证明：（1） + 2；第 23 页（共 23 页）（2） （a+b 3） （a 3+b）4【分析】 （1）利用基本不等式证明即可（2）利用综合法，通过重要不等式证明即可【解答】证明：（1）a，b 是正实数，a+b2 ， 1，（ + ） 2a+ b+2 4， + 2，当且仅当 ab1 时，取“” （4 分）（2）a 2+b22ab，2（a 2+b2）a 2+b2+2ab（ a+b）  24，a 2+b22，（a+b 3） （a 3+b）a 4+b4+a3b3+aba 4+b4+2a2b2（a 2+b2）  24，当且仅当 ab1 时，取“” （10 分）【点评】本题考查不等式的证明，综合法的应用，基本不等式的应用，是基本知识的考查