2019秋人教A版数学必修1《第三章函数的应用》单元评估验收试卷（含解析）

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1、单元评估验收( 三)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1函数 f(x)1log 3x 的零点是( )A(1， 1) B1C(3，0) D3解析：令 1log 3x0，得 x3，所以零点为 3.答案：D2函数 f(x)e x 的零点所在的区间是 ( )1xA. B.(0， 12) (12， 1)C. D.(1， 32) (32， 2)解析：因为 f(1)e 1 e10，11f e 20 ，f(0.5)0 ，f(0.625)8，则水费y1622(x 8) 4x1620，所以 x9.答

2、案：D11设 a 是函数 f(x)|x 24| ln x 在定义域内的最小零点，若 00 Bf(x 0)ln x 0，20即 f(x0)0.答案：A12记x 表示不超过 x 的最大整数，如1.31，1.32.记函数 f(x)x x，若方程 1f(x)log ax 有且仅有 3 个实数根，则正实数 a 的取值范围为( )A(3， 4 B3，4)C2，3) D(2，3解析：由题意得：方程 1f(x) 1xx，所以方程 1f(x)log ax 有且仅有 3 个实数根，即 1x xlog ax 有且仅有 3 个实数根，即函数 y1xx 和函数 ylog ax 的图象有三个不同的交点，分别作出两函数的图

3、象，如图所示，要使得函数 y1 xx 和函数 ylog ax 的图象有三个不同的交点则loga31，且 loga41，解得 3a18，)即 y 10，018. )(2)将 x20 代入函数关系式，得 y1.820 5.630.4( 元) 故乘车 20 km，要付车费 30.4 元18(本小题满分 12 分) 已知一次函数 f(x)满足：f(1)2，f (2)3.(1)求 f(x)的解析式；(2)判断函数 g(x)1lgf 2(x)在区间0，9 上零点的个数解析：(1)设 f(x)axb，由已知条件得解得 ab1，所以 f(x)x1(x R)a b 2，2a b 3，)(2)因为 g(x)1lg

4、 f2(x)1lg( x1) 2 在区间 0，9上为增函数，且g(0)10 ，所以函数 g(x)在区间0，9上零点的个数为 1 个19(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)2 (13)x ， x 0，12x2 x 1， x0.)(1)请在直角坐标系中画出函数 f(x)的图象，并写出该函数的单调区间；(2)若函数 g(x)f(x) m 恰有三个不同零点，求实数 m 的取值范围解：(1)函数 f(x) 的图象如图所示：2 (13)x ，x 0，12（x 1）2 12，x0)由图象得，函数 f(x)的单调递减区间是 (0，1)，单调增区间是 (，0) 和(1， )(2)作出直线 ym，函数 g

5、(x)f(x )m 恰有 3 个不同零点等价于函数 ym与函数 f(x)的图象恰有三个不同公共点由函数 f(x) 的图2 (13)x ，x 0，12（x 1）2 12，x0)象易知 m .故 m 的取值范围为 .(12，1) (12，1)20(本小题满分 12 分) 某同学在用 120 分钟做 150 分的数学试卷(分为卷和卷两部分) 时，卷和卷所得分数分别为 P(单位：分)和 Q(单位：分)，在每部分做了 20 分钟的条件下发现它们与投入时间 m(单位：分钟)的关系有经验公式，P m36，Q652 .15 3m(1)试建立数学总成绩 y(单位：分)与对卷投入时间 x(单位：分)的函数关系式，

6、并指明函数定义域；(2)如何计划使用时间，才能使得所得分数最高？解：(1)若对卷 投入 x 分钟，则对卷 投入(120x)分钟，所以 yPQ (120x)36652 x2 125，其定义域为15 3x 15 3x20，100(2)令 t 2 ，10，x 5则函数为关于 t 的二次函数：y t22 t125 (t5 )2140.15 3 15 3所以当 t5 ，即 x75 时，y max140.3即当卷用 45 分钟，卷用 75 分钟时，所得分数最高21(本小题满分 12 分) 已知关于 x 的二次函数 f(x)x 2(2t1)x12t.(1)求证：对于任意 tR ，方程 f(x)1 必有实数根

7、；(2)若 0，12 34 (34 t)f(0)12t2 0，(12) 14 12 34因为 f(1) f(0)0，f(0)f 0，(12)所以方程 f(x)0 在区间(1，0)和 内各有一个实数根(0，12)22(本小题满分 12 分) 近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染已知过滤过程中废气的污染物数量 P(单位：mg/L)与过滤时间 t(单位：h)间的关系为 P(t)P 0e kt(P0，

8、k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中 P0 为 t0 时的污染物数量若经过 5 h 过滤后还剩余 90%的污染物(1)求常数 k 的值；(2)试计算污染物减少到 40%至少需要多长时间( 精确到 1 h，参考数据：ln 0.21.61，ln 0.31.20，ln 0.40.92，ln 0.5 0.69，ln 0.90.11)解：(1)由已知得，当 t 0 时，PP 0；当 t5 时，P90% P 0.于是有 90%P0P 0e5k, 解得 k ln 0.9(或 k0.022)15(2)由(1)，知 PP 0e t，当 P40% P0 时，(15ln 0.9)有 0.4P0P 0e t，(15ln 0.9)解得 t 42.ln 0.415ln 0.9 0.9215（ 0.11） 4.600.11故污染物减少到 40%至少需要 42 小时